陳　華(1．西安科技大學能源學院，陜西西安710054; 2．延安大學校辦，陜西延安716000)

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一類具有媒體播報效應(yīng)的謠言傳播模型的定性分析*

陳華1，2
(1．西安科技大學能源學院，陜西西安710054; 2．延安大學校辦，陜西延安716000)

摘要:為了準確刻畫謠言傳播機理，抑制謠言傳播，文中研究了一類具有媒體播報效應(yīng)的謠言傳播模型。利用常微分方程穩(wěn)定性理論，詳細分析了系統(tǒng)平衡點的存在性及局部漸近穩(wěn)定性;通過比較定理證明了邊界平衡點E0(rumor-free equilibrium)的全局漸近穩(wěn)定性，利用Lyapunov-La-Salle不變性原理給出了正平衡點E+(rumor-endemic equilibrium)全局漸近穩(wěn)定的充分條件。結(jié)論表明，隨著時間的推移，要么傳謠者的數(shù)量趨于0，要么謠言持續(xù)，媒體報道對謠言傳播的規(guī)模有一定影響。最后，通過數(shù)值模擬驗證了媒體播報對謠言傳播和控制的影響。

關(guān)鍵詞:謠言傳播;穩(wěn)定性; Lyapunov函數(shù);媒體播報

0　引言

突發(fā)公共事件應(yīng)急管理是公共安全保障的核心問題，包含著豐富而深刻的復(fù)雜性科學問題。突發(fā)公共事件應(yīng)急管理的研究已經(jīng)成為不同領(lǐng)域?qū)＜?、學者共同關(guān)注的研究課題［1－5］。突發(fā)公共事件會引發(fā)高度的社會關(guān)注，在信息傳播過程中容易出現(xiàn)消息失真、輿論失實的情況，加之部分民眾的主觀猜測與惡意關(guān)聯(lián)，致使謠言比平時更容易滋生、感染和傳播。謠言是作為一種普遍的社會輿論現(xiàn)象，具有信息性、傳播性和未知性等特點。在突發(fā)事件乃至各種危機中，一些關(guān)于國家發(fā)展、社會生活及個人利益的敏感信息、丑聞信息或謠言信息等，在經(jīng)過社交網(wǎng)絡(luò)媒介的發(fā)酵之后，可迅速發(fā)展為網(wǎng)絡(luò)突發(fā)事件，引起巨大的負面效應(yīng)，造成社會心理恐慌和非理性反應(yīng)，其后果嚴重影響民眾生活與社會穩(wěn)定［6－8］。例如，2011年，日本核泄漏引發(fā)的搶購食鹽風波極大地影響了正常的社會秩序;“六翅肯德基怪雞”、“康師傅地溝油”、“娃哈哈肉毒桿菌”等謠言信息引起的網(wǎng)絡(luò)突發(fā)事件不僅給涉事品牌造成了巨大傷害，也引起了各方的極度恐慌。因此，如何找到行之有效的方法，分析謠言傳播的機理，抑制謠言的傳播擴散，成為了社會科學和自然科學不同領(lǐng)域共同關(guān)注的課題。

由于謠言在社交網(wǎng)絡(luò)中的散布和病毒傳播、擴散很相似，Daley和Kendall［4］借鑒傳染病“倉室”模型的概念提出了謠言傳播的數(shù)學模型(簡稱DK模型［9］)，指出雖然表面上看傳染病和謠言的傳播是相似的，但是二者在傳播機理上的細微差異卻導致傳播結(jié)果的明顯不同。隨后，學者們對D －K模型進行了各種不同的推廣，現(xiàn)有的謠言傳播模型大都借鑒了傳染病模型。Dietz［10］在總結(jié)傳染病傳播和謠言擴散機理之間異同的基礎(chǔ)上，重點闡述了利用傳染病模型解釋謠言傳播的合理性。Maki和Thompson［11］對DK模型的傳播機制進行了修改，認為謠言是通過傳播者與人群中其他人的雙向接觸進行傳播的，并由此得到了新的著名的Maki-Thompson謠言傳播模型。Kawachi［12］等考慮各種不同的接觸方式，建立了謠言傳播的SIR模型，但是由于參數(shù)過多導致難以對數(shù)學模型進行完整的定性分析，通過數(shù)學分析與數(shù)值模擬相結(jié)合確定了謠言是否傳播的閾值。霍良安等［13］基于D－K模型的建?？蚣?，考慮個體心理因素對于不實信息的傳播影響，采用非線性函數(shù)刻畫不實信息傳播力度的變化趨勢，通過比較與數(shù)據(jù)的模擬說明了非線性傳播率的合理性，探討了不實信息控制的閾值。趙來軍等［14］在考慮遺忘率的基礎(chǔ)上，在D－K模型基礎(chǔ)上增加一類Hibernators人群(表示由于遺忘機制不能立即傳播謠言，而又由于記憶機制后來又傳播謠言的人群)，根據(jù)對遺忘機制和記憶機制的研究，提出SIHR謠言傳播模型，研究表明由于遺忘機制和記憶機制的存在推遲了謠言傳播終止的時間，降低了謠言的最大影響力。上述研究表明基于傳染病模型和D－K模型的謠言傳播模型是描述、研究謠言傳播規(guī)律的有效手段。

媒體報道在傳播理論中最早被稱為:“皮下注射”、“魔幻子彈”理論，媒體報道直接影響個體對于事物的認識，對主體價值觀的形成具有重要影響［15］。研究表明Ma在研究中表明媒體報道對于民眾理解能力、應(yīng)急管理都存在巨大的影響力［16］。在大型傳染病爆發(fā)時，媒體報道對疾病傳播的影響是復(fù)雜的，會影響疾病的最終傳播狀態(tài)，適度報道可以限制傳染病的傳播，減少傳染病傳播帶來的損失，但是過度報道會引起恐慌，也會帶來額外的災(zāi)難后果［17］。劉玉英和肖燕妮［18］指出媒體報道的作用會極大的減小感染率，通常采用媒體影響因子函數(shù)來刻畫媒體報道對感染率的影響。文獻［16］～［24］及相關(guān)參考文獻討論了不同媒體影響因子函數(shù)對傳染病模型的影響，結(jié)論表明媒體影響并不是決定疾病爆發(fā)與否的最重要因素，但媒體對疾病傳播的規(guī)模有很大的影響。上述文獻的研究焦點主要集中于媒體播報對傳染率的影響，并沒有對媒體播報給予量化處理?？紤]到媒體播報數(shù)量，Misra等［25］建立了一類媒體播報被量化的傳染病模型，潘艷雪等［26］建立了一類具有時滯和媒體播報雙重效應(yīng)的流感模型，研究表明媒體播報數(shù)量嚴重影響傳染者的數(shù)量，適當?shù)拿襟w播報對防控具有重要意義。事實上，謠言傳播跟傳染病傳播有類似之處，也會受到媒體報道的影響，媒體的報道使民眾認識了解不實信息，辨識虛假信息，不信謠、不傳謠。霍良安和黃培清［15］基于系統(tǒng)動力學的思想，提出了不實信息的動態(tài)傳播模型，刻畫了科普教育以及媒體報道對于不實信息傳播的影響。趙洪涌等［7］結(jié)合時空滯后、空間擴散、媒體報道等因素對社交網(wǎng)絡(luò)中謠言傳播的影響，建立偏微分方程描述的社交網(wǎng)絡(luò)謠言時空傳播模型，通過引入概率函數(shù)來描述隨著媒體報道的力度增大，真正進入網(wǎng)絡(luò)中的謠言無知者密度會逐漸減少這一特性，研究表明媒體對社交網(wǎng)絡(luò)謠言的深度報道可以極大地減小網(wǎng)絡(luò)中謠言傳播者密度，并擴大系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域。由于信息傳播與疾病傳播的本質(zhì)差異，在謠言傳播過程中，媒體播報除了會降低未知者向傳謠者轉(zhuǎn)移的幾率，未知者還會有幾率直接成為事實真相的知曉者從而成為免疫者。然而，現(xiàn)有文獻并未考慮這種差異，文中的目的是在理論上對具有媒體播報效應(yīng)的謠言傳播模型進行動力學分析，并由此來研究媒體報道對謠言傳播的影響。

1　模型的建立

文中基于D－K模型的框架，建立具有媒體播報效應(yīng)的謠言傳播動力學模型。首先，根據(jù)社交網(wǎng)絡(luò)中謠言傳播的現(xiàn)實背景和傳播機制，作如下幾點說明

1)根據(jù)倉室模型方法，主要將社交網(wǎng)絡(luò)中的人群分成3大類，S(t) :表示易染類個體，個體從未聽過謠言，也稱為易染者(或未知者，Ignorants，類似于Susceptile individuals) ; I(t) :表示感染類個體，個體知道謠言并傳播謠言，也稱為傳播者(Spreaders，類似于Infective individuals) ; R(t) :表示移出類個體，個體知道謠言但不傳播謠言也稱為免疫者(或緘默者，Stiflers，Removed individuals)。

2)利用傳染病模型中研究媒體報道因素影響的方法，考慮媒體報道影響下的謠言傳播模型，M (t)表示媒體播報的數(shù)量。媒體播報數(shù)量(M)與傳播者(I)數(shù)量相關(guān)，記γ為播報率，即由于傳播者(I)數(shù)量而引起的媒體播報數(shù)量的變化率。隨著事件的發(fā)展媒體欄目對某一新聞事件報道的次數(shù)會逐漸減少，假設(shè)減少率為μ0．

3)假設(shè)個體以恒定的比率(B)進入特定的社交網(wǎng)絡(luò);每一類個體由于某種原因以一定的概率(μ)移出該類人群。

4)基于D－K模型對于傳播規(guī)律的描述，進一步假設(shè):傳播者(I)與未知者(S)相遇時以一定的概率β傳播謠言;傳播者(I)與傳播者(I)或傳播者(I)與免疫者(R)相遇時，傳播者(I)因失去繼續(xù)傳播的興趣以概率α變?yōu)槊庖哒?R) ;受媒體報道的影響，未知者(S)和傳播者(I)會以一定的概率變?yōu)槊庖哒?R)，變化值正比于未知者(S) (或傳播者(I) )與播報量(M)的乘積，即λSM，ηIM．其中λ和η分別表示受媒體播報影響，未知者(S)與傳播者(I)向免疫者(R)轉(zhuǎn)變的概率。(λ，η分別表示什么)如圖1所示。

圖1　媒體報道影響下謠言傳播示意圖Fig．1 Transfer diagram of the rumor transmission model with media coverage

基于以上分析，建立如下謠言傳播模型

假設(shè)各參數(shù)都是正數(shù)，初始條件為

2　模型分析

本節(jié)將對系統(tǒng)(1)進行定性分析，關(guān)于解的存在性、非負性、有界性有如下定理。

定理1系統(tǒng)(1)滿足初始條件(2)的解(S (t)，I(t)，R(t)，M(t) )在［0，+∞)上存在、非負、有界并且關(guān)于Ω是正向不變的，其中

證明容易證明系統(tǒng)(1)滿足初始條件(2)的解(S(t)，I(t)，R(t)，M(t) )在［0，+∞)上存在、非負。將系統(tǒng)(1)的前3個方程相加，可以得到如下的方程

(S(t) + I(t) + R(t) ) ' = B－μ(S(t) + I(t) + R(t) )，

且有S(0) +I(0) +R(0)≥0．顯然，對所有的t≥0有

由此，可以得到系統(tǒng)(1)的耗散性和

又由系統(tǒng)(1)的第4個方程，

從而

從而，系統(tǒng)(1)滿足初始條件(2)的解(S(t)，I (t)，R(t)，M(t) )在［0，+∞)上最終有界。

下面證明系統(tǒng)(1)關(guān)于Ω是正向不變的。

對于任意解(S(t)，I(t)，R(t)，M(t) )∈Ω， I(t) = 0是系統(tǒng)(1)的軌線且I(0) = 0，因此不可能有如任何一個解在有限時間內(nèi)與I(t) =0相交，所以在第一卦限內(nèi)的解必保持在第一卦限內(nèi)。因此，系統(tǒng)(2)關(guān)于Ω是正向不變的。

下面研究系統(tǒng)(1)的平衡點的存在性和穩(wěn)定性。關(guān)于平衡點的存在性，有如下定理。

定理2 1)系統(tǒng)(1)總存在邊界平衡點(Ru-

mor-free equilibrium，RFE) E0=;

2)如果基本再生數(shù)R0=＞1，系統(tǒng)(1)存在唯一正平衡點(Rumor-endemic equilibrium，REE) E+=，I*，－I*，)，其中I*是方程βB =0的唯一正根。

證明令系統(tǒng)(1)方程的右邊等于零，即

．

顯然，邊界平衡點E0=總是存在的。

當S≠0，I≠0，R≠0，M≠0時，得

其中

由文獻［22］，定義基本再生數(shù)為

由方程組(3)的第4個方程得M*=．將I*， M*代入方程組(3)的第一個方程得

關(guān)于平衡點的穩(wěn)定性，有如下定理。

定理3當R0＜1時，E0是局部漸近穩(wěn)定的; 當R0＞1時，E0是不穩(wěn)定的。

證明系統(tǒng)(1)在邊界平衡點E0的雅可比矩陣為

矩陣JE0的特征值為

由于系統(tǒng)(1)中所有系數(shù)均非負，因此，ξ1，2＜0，ξ3＜0，當μ2－βB＞0，即R0＜1時，ξ4＜0．由Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)［27］可知，當R0＜1時，E0是局部漸近穩(wěn)定的;當R0＞1時，E0是不穩(wěn)定的。

定理4當R0＞1且珚ω＞0時，E+是局部漸近穩(wěn)定的;當R0＞1且珚ω＜0時，E+是不穩(wěn)定的，其中

證明系統(tǒng)(1)在正平衡點E+的雅可比矩陣為

相應(yīng)的特征方程為

其中

顯然，特征方程(5)的一個特征根為x1=－μ＜0，從而E+的穩(wěn)定性取決于方程

的根的符號。

由于

而a3=γλ(α+β) S*I*+μ0(α+β)βS*I*+γηI*(μ+λM*+βI*)＞0，從而H3的符號與H2相同。

由Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)［27］可知，當＞0時，E+是局部漸近穩(wěn)定的;當＜0時，E+是不穩(wěn)定的。

定理5當R0＜1時，系統(tǒng)(1)的邊界平衡點E0關(guān)于Ω是全局漸近穩(wěn)定的。

證明下面利用比較定理［28－30］證明邊界平衡點E0關(guān)于Ω是全局漸近穩(wěn)定的。由于參數(shù)α，β，η，μ均為正數(shù)且在Ω內(nèi)系統(tǒng)(1)滿足初始條件的任一解(S(t)，I(t)，R(t)，M(t) )都是非負的。因此，由系統(tǒng)(1)的第2個方程可以得到

當R0＜1時，≤0．

因此，由比較定理［28－30］，當t→∞，I(t)→0．再由系統(tǒng)(1)可得當I(t) = 0時，S(t)→，R(t)→0，M (t)→0．

因此，當R0＜1時，系統(tǒng)(1)的邊界平衡點E0關(guān)于Ω是全局漸近穩(wěn)定的。

定理6當R0＞1，珚ω＞0且Υ≥0時，系統(tǒng)(1)的正平衡點E+是全局漸近穩(wěn)定的。

由定理1，系統(tǒng)(7)所有滿足初始條件的解的ω極限集均在Z = 0上，即t．在解平面S + I + R =上，系統(tǒng)(7)的解滿足系統(tǒng)(1)的正平衡點E+(S*，I*，R*，M*)對應(yīng)于系統(tǒng)(8)的正平衡點E+(I*，R*，M*)其中，S*=Bμ －I*－R*．

由定理4，當R0＞1＞0時，E+是局部漸近穩(wěn)定的。下面只需證明系統(tǒng)(8)的正平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。下面利用Lyapunov-LaSalle不變性原理［24］證明E+關(guān)于Ω是全局吸引的。

考慮緊集Ω上的非負函數(shù)

顯然V1在Ω上連續(xù)，并且沿著系統(tǒng)(8)的解的導數(shù)滿足

考慮緊集Ω上的非負函數(shù)

顯然V2在Ω上連續(xù)，并且沿著系統(tǒng)(8)的解的導數(shù)滿足

考慮緊集Ω上的非負函數(shù)

其中Λ為待定常數(shù)。顯然V3在Ω上連續(xù)，并且沿著系統(tǒng)(8)的解的導數(shù)滿足

定義W = V1+ V2+ V3．顯然W在Ω上連續(xù)，并且沿著系統(tǒng)(8)的解的導數(shù)滿足

由定理1，I(t)，M(t)，R(t)均是有界的，從而可記

則

因此，W是系統(tǒng)(8)在Ω上的一個Lyapunov函數(shù)。定義Ω的子集E'為

E' = { (I，R，M) |(I，R，M)∈Ω，W' =0}．同時，令M'為系統(tǒng)(8)在E'上的最大不變子集。

因此，

E' = { (I，R，M) | (I，R，M)∈Ω，I = I*，R = R*，M = M*}．

由M'的不變性和系統(tǒng)(1)與(8)，容易證明E' = E+．

所以，由Lyapunov-LaSalle不變性原理得到E+是全局吸引的。又由定理4，當R0＞1，珚ω＞0時，E+是局部漸近穩(wěn)定的。因此，當R0＞1，珚ω＞0且Υ ≥0時，E+是全局漸近穩(wěn)定的。

3　數(shù)值仿真分析

本節(jié)根據(jù)系統(tǒng)(1)的實際意義，取不同參數(shù)，利用Matlab軟件進行數(shù)值模擬，討論媒體報道對謠言傳播的影響。

3．1邊界平衡點的穩(wěn)定性

為保證R0＜1，在系統(tǒng)(1)中取參數(shù)(說明選取的依據(jù)是什么) B = 0．9，μ= 0．2，β= 0．02，α= 0．1，η=0．05，λ= 0．04，γ= 0．3，μ0= 0. 1.經(jīng)計算E0= (4．5，0，0，0)，R0=0．45＜1，滿足定理5的條件。圖2和圖3顯示了在上述參數(shù)下，邊界平衡點E0的全局漸近穩(wěn)定性。

為探討媒體播報對謠言傳播的影響，在其他參數(shù)不變的條件下，改變播報率γ的取值，觀察γ分別取0. 01，0. 4，0. 7時S(t)，I(t)，R(t)和M(t)的變化曲線，如圖4～圖7．從圖4可以得出，γ越小S(t)越小，且播報率越大未知者的人數(shù)越小，說明媒體播報使更多的人了解謠言。從圖5可以得出，γ越大I(t)趨于0的速度越快，說明媒體播報對謠言傳播的具有限制作用;從圖6可以得出，γ越大R(t)的峰值越大，說明媒體的播報使得聽說過謠言的人數(shù)增多;從圖7可以得出，γ越大M(t)的峰值越大，說明媒體播報數(shù)量的增大。

圖2　S－I相平面，顯示E0全局漸近穩(wěn)定Fig．2　S－I plane，E0is globally asymptotically stable

圖3　I－M相平面，顯示E0全局漸近穩(wěn)定Fig．3　I－M plane，E0is globally asymptotically stable

圖4　S(t)與播報率γ的關(guān)系圖Fig．4　Variation of Ignorant S(t) with time for different values of γ

圖5　I(t)與播報率γ的關(guān)系圖Fig．5　Variation of Spreader I(t) with time for different values of γ

3. 2正平衡點的穩(wěn)定性

為保證R0＞1，在系統(tǒng)(1)中取參數(shù)B =0. 9，μ =0. 1，β= 0. 02，α= 0. 01，η= 0. 05，λ= 0. 04，γ= 0. 05，μ0= 0. 1.經(jīng)計算E+= (6．948 5，0．738 3，1．313 2，0．369 2)，R0= 1．8＞1．圖8和圖9顯示了在上述參數(shù)下，正平衡點E+的全局漸近穩(wěn)定性。

圖6　R(t)與播報率γ的關(guān)系圖Fig．6　Variation of Stifler R(t) with time for different values of γ

圖7　M(t)與播報率γ的關(guān)系圖Fig．7　Variation of Media M(t) with time for different values of γ

圖8　S－I相平面，顯示E+全局漸近穩(wěn)定Fig．8　S－Iplane，E+is globally asymptotically stable

圖9　I－M相平面，顯示E+全局漸近穩(wěn)定Fig．9 I－M plane，E+is globally asymptotically stable

圖10　S(t)與播報率γ的關(guān)系圖Fig．10　Variation of Ignorant S(t) with time for different values of γ

圖11　I(t)與播報率γ的關(guān)系圖Fig．11　Variation of Spreader I(t) with time for different values of γ

圖12　R(t)與播報率γ的關(guān)系圖Fig．12　Variation of Stifler R(t) with time for different values of γ

圖13　M(t)與播報率γ的關(guān)系圖Fig．13 Variation of Media M(t) with time for different values of γ

為探討媒體播報對謠言傳播的影響，在其他參數(shù)不變的條件下，改變播報率γ的取值，觀察γ分別取0. 05，0. 4，0. 7時S(t)，I(t)，R(t)和M(t)的變化曲線，如圖10～圖13所示。從圖10可以得出，γ越小S(t)的峰值越大，趨于穩(wěn)定的值越小，說明媒體播報使得未聽過謠言的人減少;從圖11可以得出，γ越大I(t)的峰值越小且穩(wěn)定值也越小，說明媒體播報對謠言傳播具有限制作用;從圖12可以得出，γ越大R(t)的穩(wěn)定值越大，說明媒體的播報使得聽過謠言但不傳謠的人增多，然而從圖中可以看出當γ= 0．4時R(t)的峰值大于γ=0．7時，說明過度播報可能使得聽過謠言但不傳謠的人數(shù)減少，恰是適得其反;從圖13可以得出，γ越大M(t)的峰值越大，說明媒體播報數(shù)量越大。

4　結(jié)論

1)在疾病傳播過程中，受媒體報道影響，易感人群只會降低被感染的概率，不會直接變成免疫人群。但是，在謠言傳播過程中，由于信息傳播特點與疾病傳播特點的本質(zhì)差異，媒體播報除了會降低未知者向傳謠者轉(zhuǎn)移的幾率，未知者還會有幾率直接成為事實真相的知曉者從而成為免疫者。文中基于上述考慮，建立了一類具有媒體播報效應(yīng)影響的謠言傳播模型。利用常微分方程穩(wěn)定性分析方法，得到了平衡點全局漸近穩(wěn)定的充分條件;

2)數(shù)值實驗結(jié)果表明，媒體報道可使未聽過謠言的人數(shù)減少;當播報率較小時，媒體報道可使聽過謠言但不傳謠的人增多;但是，當播報率較大時，過度播報也可能使得聽過謠言但不傳謠的人數(shù)減少適度的媒體報道可以有效控制謠言的擴散，但是過度的媒體報道反而會適得其反。因此，媒體報道是把雙刃劍，在謠言控制過程中應(yīng)合理規(guī)劃媒體播報次數(shù);

3)由于個體的傳播行為會受到個體獲得的信息量以及個體的偏好決定的影響，而謠言傳播過程中，媒體、政府的應(yīng)對措施等因素都會對信息的傳播與擴散產(chǎn)生影響，文中的結(jié)論表明，政府在應(yīng)急管理中積極采取應(yīng)對措施，媒體及時公布權(quán)威信息、加大媒體覆蓋面，引導公眾輿論，是應(yīng)急管理中信息管理的關(guān)鍵所在。

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Qualitative analysis of a rumor transmission model with media coverage

CHEN Hua
(1．College of Energy Science and Engineering，Xi’an University of Science and Technology，Xi’an 710054，China; 2．President’s Office，Yan’an University，Yan’an 716000，China)

Abstract:To understand the mechanism of the rumor propagation and inhibit the spread of rumors．We consider a rumor transmission model with media coverage．Based on the stability of ordinary differential equation，detailed qualitative analysis about the existence and local asymptotic stability of its equilibria is carried out．Using comparison theorem，we prove the globally asymptotic stability of the equilibrium E0(rumor-free equilibrium)．By use of Lyapunov-LaSalle invariant principle，we give some sufficient conditions which lead to the globally asymptotic stability of the equilibrium E+(rumor-endemic equilibrium)．We show that the number of infective individuals tends to zero as time evolves or the rumor persists．Furthermore，the numerical simulations show the impact of media coverage on the spread and control of rumor spreading．

Key words:rumor propagation; stability; lyapunov function; media broadcast

作者簡介:陳華(1967－)，男，山東曲阜人，副教授，E-mail: chenhua1130@163．com

*收稿日期:2015－10－10責任編輯:高佳

DOI:10．13800/j．cnki．xakjdxxb．2016．0217

文章編號:1672－9315(2016) 02－0255－10

中圖分類號:O 175; N 945

文獻標志碼:A