李晶 付琨 胡萬彪

摘 要：數(shù)學在物理中的運用是整個高中物理學科體系和教學體系最為明顯的特征，也是學生最難理解和掌握的地方，更是我們在教學中應該特別關注的點。本文在David Hestene和Ibrahim Halloun建模教學理論的基礎上提出從物理情境出發(fā)構(gòu)建“物理-數(shù)學”模型，并論述了在高中物理課程中開展“物理-數(shù)學”建模教育的詳細策略。

關鍵詞：建模；“物理-數(shù)學”模型；物理情境

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2016）4-0019-5

受當前課程體系中物理和數(shù)學相互獨立的影響，學生往往缺乏用數(shù)學的眼光來學習和解決物理問題的意識，這給高中物理教學帶來了一定的困擾。

本文結(jié)合亞利桑那州立大學理論物理學家David Hestene及其研究生Ibrahim Halloun關于建模教學（Modeling Instruction）的研究，論述如何在高中物理課程中建立“物理-數(shù)學”模型，并提出了構(gòu)建 “物理-數(shù)學”模型的詳細策略，旨在通過建模活動引導學生樹立“物理-數(shù)學”模型意識，學會在高中物理中合理地運用數(shù)學知識。

1 David Hestene、Ibrahim Halloun建模教學理論簡介

David Hestene是建模教學的創(chuàng)立者，他于上世紀80年代初期開始研究模型在物理教學中的發(fā)展和應用，并一直得到“美國國家科學基金會”的資助[1]。

David Hestene認為，物理建模就是“在具體物理情景中，根據(jù)實踐需要建立物理模型，進而對物理模型進行分析討論，驗證其是否正確，最后將其應用于解決問題”[2]。1995年David Hestene在他的論文《Modeling software for learning and doing physics： Thinking Physics for Teaching》中論述了建模的3個步驟：模型建立、模型分析、模型驗證，初步建立了物理建模教學的過程（如圖1所示）。

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圖1 David Hestene的建模過程[3]

Ibrahim Halloun在David Hestene的研究基礎上，進一步將模型分為范圍、成分、結(jié)構(gòu)、組織等4個維度，同時將建模過程細化為模型選擇、模型建立、模型驗證、模型分析、模型拓展等5個階段，強調(diào)根據(jù)個人的經(jīng)驗選擇合適的模型，并將已建立的模型進行遷移運用。

2 David Hestene、Ibrahim Halloun建模教學理論的啟示

David Hestene和Ibrahim Halloun建模教學的具體價值在于引導學生分析問題、構(gòu)建知識，這給筆者帶來如下啟示：

（1）在高中物理課程中運用數(shù)學工具的關鍵在于對相關物理問題進行“物理-數(shù)學”分析，并構(gòu)建“物理-數(shù)學”知識體系；

（2）“物理-數(shù)學”知識體系的構(gòu)建即“物理-數(shù)學”建模；

（3）“物理-數(shù)學”模型指的是物理課程中體現(xiàn)物理現(xiàn)象、物理情境、物理概念和規(guī)律的數(shù)學圖形、數(shù)學圖表、數(shù)學過程和數(shù)學關系，它具有明確的范圍、成分、結(jié)構(gòu)和組織；

（4）“物理-數(shù)學”建模指的是從物理現(xiàn)象、物理情境中挖掘出物理元素（即物理量）或參數(shù)，通過分析物理元素或參數(shù)的特征找出它們之間的數(shù)理關系，并通過數(shù)學方法建立和呈現(xiàn)出來；

（5）“物理-數(shù)學”分析一方面指的是分析物理元素或參數(shù)之間的數(shù)理關系，另一方面指的是運用“物理-數(shù)學”模型分析具體的物理問題，也就是Ibrahim Halloun在David Hestene的基礎上提出的模型驗證、模型分析和模型拓展；

（6）構(gòu)建“物理-數(shù)學”模型是學生對相關物理問題進行“物理-數(shù)學”分析的基礎，是培養(yǎng)學生從數(shù)學角度分析物理問題、解決物理問題的能力的具體方案。

3 構(gòu)建 “物理-數(shù)學”模型的策略

3.1 構(gòu)建“物理-數(shù)學”模型的策略結(jié)構(gòu)

結(jié)合高中物理課程特點以及David Hestene、 Ibrahim Halloun的建模教學所帶來的啟示，筆者認為在高中物理課程中構(gòu)建“物理-數(shù)學”模型需要把握住以下幾個關鍵點：

（1）“物理-數(shù)學”模型源自于具體的物理情境；

（2）“物理-數(shù)學”模型需要建立在實踐的基礎上；

（3）淺顯易懂是高中物理課程中“物理-數(shù)學”模型的最基本要求；

（4）學生感知到物理現(xiàn)象、物理情境中的數(shù)學知識是成功構(gòu)建“物理-數(shù)學”模型的關鍵。

結(jié)合上述關鍵點，本文提出了在高中物理課程中構(gòu)建 “物理-數(shù)學”模型的策略結(jié)構(gòu)（如圖2）。

上圖中的策略結(jié)構(gòu)在David Hestene、 Ibrahim Halloun建模理論的基礎上著重強調(diào)物理情境的分析，并強調(diào)學生對物理情境分析過程中情境元素、元素特征背后的數(shù)學過程、數(shù)學關系的感知。

3.2 構(gòu)建“物理-數(shù)學”模型的詳細論述

構(gòu)建“物理-數(shù)學”模型離不開物理情境、實例和新物理情境中的實踐，下文將從“基于問題情境的‘物理-數(shù)學模型的選擇和建立”“基于實例的‘物理-數(shù)學模型的驗證與分析”幾個方面進行詳細論述。

3.2.1 基于物理情境的“物理-數(shù)學”模型的選擇和建立

一個有效的“物理-數(shù)學”模型的構(gòu)建依賴于具體的物理情境，學生需要借助物理情境來感知物理中的數(shù)學知識與運用，其處理過程如表1所示。

針對上表，在實際教學中應把握住以下幾個問題：

（1）對問題情境的分析是“物理-數(shù)學”分析法的一部分，在實際課堂中要注重呈現(xiàn)和強調(diào)問題情境的分析過程，強調(diào)學生對這一過程的感知程度；

（2）在實際教學中盡量用圖形、圖表來呈現(xiàn)“物理-數(shù)學”模型，避免復雜的文字描述；

（3）經(jīng)驗在“物理-數(shù)學”模型的建立中有著重要的作用，所以在實際教學中需要引導學生去積累分析問題情境的方法以及常用的、重要的數(shù)學知識。

3.2.2 基于實例的“物理-數(shù)學”模型的驗證與分析

通過情境分析后建立的“物理-數(shù)學”模型的有效性和使用范圍需要進一步的檢驗、分析和調(diào)整。

檢驗可以依托實例進行，這些實例包括相關的物理實驗、物理現(xiàn)象和物理習題。在檢驗中可以引導學生從批判的角度對模型在實例中的運用進行分析，分析模型的范圍、成分、結(jié)構(gòu)和組織是否合理，并進行適度的調(diào)整。

3.2.3 基于新物理情境的“物理-數(shù)學”模型的拓展與運用

構(gòu)建“物理-數(shù)學”模型的目的在于學生會運用數(shù)學解決相關物理問題，克服數(shù)學在物理中的運用困境。在實際教學中，學生對“物理-數(shù)學”模型的運用包括了直接運用、遷移運用和綜合運用，其中遷移運用和綜合運用是模型的拓展運用，在解決問題時至關重要。

在實際教學過程中，一個成熟的“物理-數(shù)學”模型需要反復的運用和拓展。首先，可以將已建立的模型再次放回原有的物理情境中從數(shù)學的角度上解決問題；其次，可以選取相關或相似的新物理情境與原來的物理情境進行類比遷移，遷移運用“物理-數(shù)學”模型；最后，在高中物理的學習中引導學生樹立“數(shù)理不分家”的意識，學會用已經(jīng)積累的“物理-數(shù)學”模型去分析和解決部分復雜的物理問題。

當然，討論和交流在“物理-數(shù)學”模型的拓展運用中也是幫助學生理解和遷移運用的重要手段。所以，在教學中要避免“一言堂”，鼓勵學生有新方法、新思維，創(chuàng)造積極的課堂氣氛與討論氣氛。

4 構(gòu)建 “物理-數(shù)學”模型的案例分析

本文選取人教版必修1 第三章第四節(jié)——《力的合成》為例，展示物理課程中構(gòu)建“物理-數(shù)學”模型的教學過程，即“力的合成-向量運算”模型的構(gòu)建過程。

4.1 模型的選擇和建立

【物理情境】：一個成年人或兩個小孩都可以提起相同質(zhì)量的一桶水。

【情境分析】：

（1）情境元素：

①物理過程：提→力的作用。

②物 理 量：力（大人提水施加一個力F，小孩提水施加兩個力F1、F2。其中，F(xiàn)為合力，F(xiàn)1和F2為分力）。

③數(shù)學概念：若F1=1 N，F(xiàn)2=1 N，則F=2 N嗎？

（2）元素特征：

①力的數(shù)學特征：

力→既有大小又有方向（物理上定義為矢量）→即數(shù)學上的向量

②力F1、F2與F（即合力與分力）的數(shù)學關系：

合力與分力→分力的方向在同一直線上或不在同一直線上→向量運算法則。

模型一：若F1、F2同向，則F1+F2=F，方向沿F1和F2的方向；

模型二：若F1、F2反向，則F1-F2=F，方向沿較大的力的方向；

模型三：若F1、F2的方向不在一條直線上，則F1+F2≠F。

通過上述分析，我們初步建立了“力的合成-向量運算”的模型，范圍是力的合成，其成分、結(jié)構(gòu)和組織如上。

4.2 模型的驗證和分析

我們會發(fā)現(xiàn)上述模型是初步的，并未解決F1、F2的方向不在一條直線上時他們與F的關系如何具體表示，需要進一步分析和改進該模型。

在模型驗證階段我們可以選用砝碼、橡皮筋、白紙等器材，通過實驗定量的驗證并改進上述模型。模型一、模型二的驗證如圖3所示。

同樣，模型三的分析和改進也可以借助上述實驗，如圖4所示。

經(jīng)過驗證和分析后，合力F與分力F1、F2的關系可以建立如下“力的合成-向量運算”的“物理-數(shù)學”模型（如圖5）。

上述模型利用圖形和適量文字突出了力的矢量性及其數(shù)學運算過程，淺顯易懂，利于學生的理解和記憶。

4.3 模型的拓展與運用

在構(gòu)建上述模型后可引導學生進一步思考：速度和位移也是矢量，是否滿足上述模型？學生自然可以從力、速度、位移的本質(zhì)是矢量這一角度遷移開來，從而將該模型拓展到所有矢量的運算上。

4.4 構(gòu)建“力的合成-向量運算”模型與傳統(tǒng)教學過程的比較

《力的合成》這一節(jié)的傳統(tǒng)教學過程是：小孩提水引出合力與分力概念—提出兩個分力F1、F2相加是否等于F的問題—實驗探究得出兩個力合成時用平行四邊形。

但在實際教學中筆者發(fā)現(xiàn)：（下轉(zhuǎn)第25頁）（上接第22頁）“向量運算”需要在高二上學期才會在數(shù)學中講解，突然在物理中出現(xiàn)“平行四邊形法則”顯得比較突兀，學生也很難理解，在運用上也存在諸多困難。

而筆者所列舉的構(gòu)建“力的合成-向量運算”模型是通過物理情境分析找到力這一物理量與數(shù)學中向量的關系，并建立物理運算與數(shù)學運算的橋梁，并進行了有效拓展。這個過程中，強調(diào)學生參與物理情境的分析，并感知分析過程，解決了上述問題。

5 總結(jié)與展望

在高中物理課程中開展“物理-數(shù)學”建模教育是David Hestene、 Ibrahim Halloun建模理論的實際運用和延伸。它能夠培養(yǎng)學生運用數(shù)學解決物理問題的能力，能夠訓練學生的創(chuàng)造性思維，能夠從一定程度上解決當前課程體系中數(shù)學進度普遍滯后于物理進度的困境。

當然，在高中物理課程中開展“物理-數(shù)學”建模教育、構(gòu)建“物理-數(shù)學”模型在實際教學中仍需要開發(fā)更多的教學素材，開展更多的實際教學，形成更為完備的體系。

參考文獻：

[1]張靜，郭玉英.物理建模教學的理論與實踐簡介[J].大學物理，2013，32（2）：25—30.

[2]房金萍. 建構(gòu)物理模型在高中物理教學中的實踐研究[D].長春：東北師范大學碩士學位論文，2011.

[3]David Hestenes.Modeling games in the Newtonian World[J].American Journal of Physics1992，60（ 8 ）：732—748.

（欄目編輯 劉 榮）