胡繼超（中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100080）

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對(duì)北京市2015年高考理綜第24題的思考

胡繼超
（中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100080）

摘 要2015年北京高考物理卷立意新穎，注重理論聯(lián)系實(shí)際，其中第24題涉及光電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻問題，對(duì)于光電池是中學(xué)教學(xué)較少討論過的問題，題目標(biāo)準(zhǔn)答案使用了借助光電池伏安特性曲線的方法求解光電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻．本文針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)答案的解法討論了當(dāng)光電池入射光照射時(shí)逸出光電子的初動(dòng)能分布不同時(shí)，光電池的伏安特性曲線也不相同，因此必須交代逸出光電子的初動(dòng)能分布規(guī)律，才可以確定光電池的伏安特性曲線，并進(jìn)一步求解電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻．文章還討論了怎樣的光電子初動(dòng)能分布規(guī)律，才可以使光電池的伏安曲線為線性．

關(guān)鍵詞2015北京高考；光電效應(yīng)電源；光電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻；光電池中光電子初動(dòng)能分布規(guī)律與其伏安特性曲線之間的關(guān)系

2015北京市高考理綜第24題：

真空中放置的平行金屬板可以用作光電轉(zhuǎn)換裝置，如圖1所示．光照前兩板都不帶電．以光照射A板，則板中的電子可能吸收光的能量而逸出．假設(shè)所有逸出的電子都垂直于A板向B板運(yùn)動(dòng)，忽略電子之間的相互作用．保持光照條件不變．a(chǎn) 和b為接線柱．

圖1　平行金屬板示意圖

已知單位時(shí)間內(nèi)從A板逸出的電子數(shù)為N，電子逸出時(shí)的最大動(dòng)能為Ekm，元電荷為e．

（1）求A板和B板之間的最大電勢(shì)差Um，以及將A、B短接時(shí)回路中的電流I短．

（2）圖示裝置可看作直流電源，求其電動(dòng)勢(shì)E和內(nèi)阻r．

（3）在a和b之間連接一個(gè)外電阻時(shí)，該電阻兩端的電壓為U．外電阻上消耗的電功率設(shè)為P；單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)B板的電子在從A板運(yùn)動(dòng)到B板的過程中損失的動(dòng)能之和設(shè)為ΔEk．請(qǐng)推導(dǎo)證明：P＝ΔEk．

（注意：解題過程中需要用到、但題目沒有給出的物理量，要在解題中做必要的說明）

此題標(biāo)準(zhǔn)解答如下：

（1）由動(dòng)能定理，Ekm＝eUm，可得

短路時(shí)所有逸出電子都到達(dá)B板，故短路電流

（2）電源的電動(dòng)勢(shì)等于斷路時(shí)的路端電壓，即上面求出的Um，所以

電源內(nèi)阻

（3）外電阻兩端的電壓為U，則電源兩端的電壓也是U．

由動(dòng)能定理，一個(gè)電子經(jīng)電源內(nèi)部電場(chǎng)后損失的動(dòng)能

設(shè)單位時(shí)間內(nèi)有N′個(gè)電子到達(dá)B板，則損失的動(dòng)能之和

根據(jù)電流的定義，此時(shí)電源內(nèi)部的電流

此時(shí)流過外電阻的電流也是I＝N′e，外電阻上消耗的電功率

所以P＝ΔEk．

在本題中，題目所描述的實(shí)驗(yàn)裝置可以看做是一個(gè)加以限制的理想光電池，有老師和學(xué)生對(duì)于本題第二問有疑惑，本文對(duì)第二問分析如下：

對(duì)于傳統(tǒng)的電源來說：電動(dòng)勢(shì)數(shù)值上是把單位正電荷從電源負(fù)極通過電源內(nèi)部移到正極的過程中，非靜電力所做的功的大?。矗?/p>

而電源的內(nèi)阻則是自由電荷在電源正負(fù)極之間移動(dòng)時(shí)，表征電源內(nèi)部材料對(duì)電流呈現(xiàn)阻力、損耗能量的物理量．不同類型的電源微觀上產(chǎn)生電阻的本質(zhì)各不相同．通常我們使用兩種方法計(jì)算內(nèi)阻阻值．第一種方法是根據(jù)能量關(guān)系，電源的內(nèi)阻等于單位時(shí)間在內(nèi)電路產(chǎn)生的焦耳熱與電流平方的比值，即．第二種方法則是根據(jù)閉合電路的歐姆定律，電源的內(nèi)阻等于內(nèi)電路的電勢(shì)降與內(nèi)電路電流強(qiáng)度的比值，即對(duì)化學(xué)電池和電動(dòng)機(jī)等線性電源來說，內(nèi)阻按照這兩個(gè)定義計(jì)算的結(jié)果是相同的．

實(shí)際計(jì)算中，如果使用第二種方法，經(jīng)常會(huì)借助電源的U—I曲線．對(duì)于化學(xué)電池等線性電源，其路端電壓U與電流I關(guān)系的U—I曲線如圖2所示，兩者呈線性關(guān)系，對(duì)于這種電源，由閉合電路的歐姆定律，可得：電源的開路電壓數(shù)值上為電源電動(dòng)勢(shì)E的大小，開路電壓與短路電流的比值即為電源的內(nèi)阻r，本題所給的標(biāo)準(zhǔn)答案就是使用這種方法求解的．

圖2　線性電源的伏安特性曲線

那么對(duì)于光電池，當(dāng)直接使用此光電池的U—I曲線來判斷電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻將得到什么樣的結(jié)論呢？首先我們要確定光電池的U—I曲線是不是如圖2所示的線性關(guān)系．

題目中，只是假設(shè)了所有A板逸出的光電子初速度的方向都是向著B板，并沒有交代這些從光電池的A板逸出的光電子中，各種不同初動(dòng)能的光電子個(gè)數(shù)占從A板逸出的總光電子數(shù)的比例．實(shí)驗(yàn)中，如果使用如圖3所示的光電管，將光電管連入圖4所示的電路，測(cè)得靈敏電流計(jì)的示數(shù)I與電壓表示數(shù)U關(guān)系應(yīng)如圖5所示，圖5中，加在光電管兩極間的反向電壓越大，則流過靈敏電流計(jì)的電流越小，這是因?yàn)楫?dāng)光電管加反向電壓時(shí)，光電子由光電管陰極向陽(yáng)極運(yùn)動(dòng)的過程中，兩極間的電場(chǎng)力做負(fù)功，只有初動(dòng)能大于｜Ue｜的電子才能到達(dá)陽(yáng)極，形成光電流．所以，由圖5中每一個(gè)反向電壓值U所對(duì)應(yīng)的電流I，可以求出每一秒由光電管陰極逸出光電子中，初動(dòng)能大于｜Ue｜的光電子個(gè)數(shù)

圖3　光電管示意圖

圖4　測(cè)伏安特性電路

圖5　光電管中伏安特性曲線

從圖5中我們可以分析出：光電管的陽(yáng)極逸出的光電子的初動(dòng)能既不是一個(gè)統(tǒng)一的最大值Ekm，也不是從零到最大值Ekm之間完全等概率分布的．而在下文的討論中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)圖1裝置中光電池的U—I曲線是和光電池負(fù)極逸出光電子的初動(dòng)能分布概率有關(guān)的，要想使用光電池的U—I曲線計(jì)算電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻，必須先知道逸出光電子初動(dòng)能的分布概率．

在此，先討論最簡(jiǎn)單的一種特殊情況：若所有光電子都以最大初動(dòng)能Ekm從光電池的A板逸出．此時(shí)若外電路斷路，光剛開始照射時(shí)，由于不斷有光電子到達(dá)B板，使兩板間的電壓逐漸升高，而隨著兩極板間反向電壓的增大，能夠到達(dá)B板的光電子數(shù)量將會(huì)隨之減小，當(dāng)兩板間的電壓達(dá)到后，兩板間的電壓等于截止電壓，此后B板上的電子數(shù)量將不再增加，可以等效理解為此時(shí)所有的光電子在無限接近B板時(shí)，在電場(chǎng)力的作用下，電子的速度減為零，然后又返回A板，此過程中，不再有光電子能夠到達(dá)B板．

之后如果在AB兩板間接入一個(gè)外電阻，由于B板不斷的有電子通過外電阻導(dǎo)走，B板上電荷數(shù)量減少，于是就又開始有電子到達(dá)電源的B板，以試圖維持B板總電量不變．每秒到達(dá)B板的電子數(shù)量肯定不能多于通過電阻導(dǎo)走的電子數(shù)目，也不可能多于每秒從光電池的A板逸出的光電子數(shù)量．當(dāng)接入的電阻阻值（N為每秒從A板逸出的光電子數(shù)目）時(shí)，此時(shí)A極板每秒逸出的光電子數(shù)又由歐姆定律，當(dāng)兩極板間電壓為Um時(shí)，從外電阻流過的電流所以每秒從B極板流經(jīng)外電阻的電子個(gè)數(shù)N′＝可見N′＜N．因此每秒從A板逸出的光電子中只會(huì)有個(gè)補(bǔ)充到B板，使B板的凈電荷保持不變，兩板間電壓維持Um也不變，而另外N－N′個(gè)電子則會(huì)在兩板間電場(chǎng)力的減速作用下，重新返回到A板．此時(shí)兩板間路端電壓U始終保持 不變，光電池的U—I曲線如圖6中的AB段所示．

圖6　電壓、電流關(guān)系圖

由以上關(guān)系圖我們不難看出，此電源的路端電壓U與電流I關(guān)系為一分段函數(shù)．此處，并沒有傳統(tǒng)意義的恒定電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻．如果僅從此電源輸出的U—I曲線來看，可認(rèn)為當(dāng)外電阻時(shí)，電源電動(dòng)勢(shì)恒為內(nèi)阻r＝0；而當(dāng)它的物理意義為：每秒從A板逸出的光電子中，初動(dòng)能為Ek的電子數(shù)與總電子數(shù)N的比值，顯然有：

若A極板逸出的光電子初動(dòng)能Ek在零到最大值Ekm之間是完全等概率分布的，則f（Ek）為定時(shí)，電源相當(dāng)于恒流源，電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻均為無限大．

那么此電源兩極板間的電壓和電流關(guān)系有沒有可能是如圖2所示的那種線性關(guān)系呢，我們?cè)賮碛懻摰诙N特殊情況，所有A極板逸出的光電子初動(dòng)能在零到最大值Ekm之間是完全等概率分布的，也即我們可以定義一個(gè)從A板逸出的光電子動(dòng)能的分布函數(shù)值．此時(shí)，在兩極板間接入外電阻R，設(shè)此時(shí)電路中的電流為I，則兩板間的路端電壓U＝IR．所有從A板逸出的光電子中，在從A板到B板的過程中，電場(chǎng)力需做負(fù)功Ue，所以初動(dòng)能小于Ue的那些光電子都不能打到B板上，只有初動(dòng)能大于Ue的光電子才能打到B板，從而在回路中形成電流，根據(jù)A板逸出光電子初動(dòng)能的分布函數(shù)可知，共有個(gè)電子的動(dòng)能大于Ek．此時(shí)有

當(dāng)然，這只是從該光電池的伏安特性曲線分析其電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻，如果我們按照電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的定義，用把單位正電荷從電源負(fù)極通過電源內(nèi)部移到正極的過程中，非靜電力所做的功與電荷電量的比值來計(jì)算電動(dòng)勢(shì)，以電荷在電源內(nèi)部移動(dòng)時(shí)的焦耳熱來分析電源的內(nèi)阻又會(huì)得到不同的結(jié)論．

式中

參考文獻(xiàn)

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THINKING OF THE 24THQUESTION IN THE SCIENCE INTEGRATED PAPER FOR THE UNIVERSITY ENTRANCE EXAMINATION OF BEIJING IN 2015

Hu Jichao
（The High School Affiliated to Renmin University of China，Beijing 100080）

AbstractThe physics paper of university entrance examination of Beijing in 2015is novel and combines theory with practice．The 24th problem is about the electro motive force and internal resistance of photocell，which is scarcely discussed in middle school teaching．The standard answer of the problem uses the volt－ampere characteristic curve of photocell to calculate its electromotive force and internal resistance．Concerning the solving method of the standard answer，this study discusses that the volt－ampere characteristic curves of photocell show difference if distributions of the initial kinetic energy of the escape photoelectrons are different when the photocell is illuminated by an incident ray．Thus，the volt－ampere characteristic curve of photocell can only be determined after knowing the distribution of the initial kinetic energy of the escape photoelectrons．Then the electro motive force and internal resistance of the photocell can further be calculated．The study also discusses which kind of distribution of the photoelectrons’initial kinetic energy can result in such a linear volt－ampere curve．

Key wordsuniversity entrance examination of Beijing in 2015；electrical source of photoelectric effect；electro motive force and internal resistance of photocell；relationship between distribution of the initial kinetic energy of photoelectrons in photocell and volt－ampere characteristic curve

作者簡(jiǎn)介：胡繼超，男，中學(xué)物理高級(jí)教師，主要從事中學(xué)物理教學(xué)及高中物理競(jìng)賽研究工作．hujichao＠rdfz．cn

收稿日期：2015－09－09