梁紅

(中國人民解放軍91550部隊94分隊, 遼寧 大連　116023)

?

差值定理在離散數據一階導數解算中的應用

梁紅

(中國人民解放軍91550部隊94分隊, 遼寧 大連116023)

摘要：針對差值定理在離散數據一階導數解算中易受測量誤差影響而導致一些測量數據難以獲得解算結果的問題，對差值定理的適用條件進行了解析，更正了已有文獻中的錯誤，并對其應用方法進行了分析和推導，提出了基于極值點判別原則下差值定理與最小二乘算法相結合并對三次擬合多項式的一次項系數和二次項系數進行調整的一種新的離散數據一階導數解算方法，給出了等間隔采樣條件下的計算公式。仿真數據和實測數據驗證結果表明，新算法能夠對測量序列不包括端點在內的所有數據的一階導數進行有效解算，解算結果不受測量誤差限的影響，且解算精度總體上優(yōu)于不進行多項式系數調整的情況，使差值定理能夠更好地進行工程化應用，可顯著改善測量序列端點附近和劇烈變化段一階導數解算精度差的狀況。

關鍵詞：差值定理;微分;一階導數;數字濾波;截斷誤差

一階導數的解算有著十分廣泛的應用，比如，在氣象、化學、地質學、航空航天、工程力學、機械制造等眾多領域都有很高的應用價值。在這些工程應用中，測量數據經常以離散點的形式給出，往往需要用近似函數對其進行擬合，并進行微分，才能獲得其一階導數。在應用數學領域，像這樣通過離散點上的觀測值來求取觀測量的近似(偏)導數問題稱為數值微分問題[1]。數值微分往往是不適定的[1]。由于測量數據變化規(guī)律的復雜性、擬合模型的近似性、算法的局限性以及測量誤差的影響，要獲得準確的計算結果具有相當的難度，因此，離散數據的一階導數解算在某些領域一直是工程計算中的難點。

為了能夠對測量數據進行盡可能準確的微分，人們嘗試了許多方法以提高解算精度，主要有以下幾種方法：①盡量采用一些逼近程度好的模型，比如多項式最優(yōu)線性濾波[2]、分段曲線擬合[3]；②采用一些正則化[1]調整算子，如積分算子[4]；③采取一些特殊的技巧，如樣條擬合[5]、自適應學習算法[6]等。這些算法的基本特征是用近似函數對測量數據進行擬合，然后按照一定的原則在近似函數上找到一點，把該點的微分結果作為測量數據在該點的微分結果，必要時對微分結果進行優(yōu)化。通過多方努力，很多微分算法在理論上獲得了“最佳逼近”的效果，即在理論上無限趨近于“真值”。2004年，差值定理及其推論[7]的發(fā)現，從另一個角度改善了“最佳逼近”的效果，以至于在理論上達到了“相等”，而非“無限逼近”，即在測量數據連續(xù)且可導、測量誤差為零的理想條件下，微分結果與“真值”是相等的，為解決數值微分問題提供了良好的途徑。由于采用差值定理及其推論對一階導數進行解算時，算法誤差為零，使得不適定問題轉化為了適定問題，獲得了理想情況下數值微分的精確解，因此具有很大的優(yōu)越性，在離散數據一階導數解算的實際應用中，不僅能有效降低數據劇烈變化段微分求導的截斷誤差，而且受近似函數的形式及擬合區(qū)間的大小等因素的影響很小，解算精度很高，具有良好的適應性、穩(wěn)定性。但是，在工程實踐中，實測數據所包含的測量誤差不僅會降低計算結果的準確度，而且可能導致某些測量數據不滿足差值定理的應用條件，無法得到一階導數，因此，怎樣才能減小或消除測量誤差的影響，獲得理想的解算結果就成了需要研究的課題。本文立足于此，對差值定理用于離散數據一階

導數解算的適用條件進行了分析和比較，找到了比較實用的算法。

1差值定理及其物理意義

差值定理的基本內容是:設函數F(t)和f(t)在某定義域Ω內的任一點均存在n階導數,且G(t)=F(n-1)(t)-f(n-1)(t),則F(n)(t0)=f(n)(t0) ?G′(t0)=0 (t0∈Ω)。其推論為:設函數G(t)=F(t)-f(t)的定義域為Ω,且函數F(t)和f(t)的一階導數、二階導數均存在,則F′(t1)=f′(t1)?G′(t1)=0(t1∈Ω)且F″(t2)=f″(t2)?G″(t2)=0(t2∈Ω)。

對于差值定理及其推論的物理意義,文獻[7]中的表述為“差值定理表明:2個函數n階導數相等的點是它們的n-1階導數的差值的極值點;其推論表明:2個函數的一階導數相等的點是它們的差值曲線的極值點,二階導數相等的點是它們的差值曲線的拐點”。該表述忽略了“導數為零的點不一定是極值點”的特殊情況。因此,差值定理及其推論的物理意義應表述為“2個函數的n-1階導數的差值的駐點是它們的n階導數相等的點;2個函數的差值曲線的駐點是它們的一階導數相等的點,差值曲線的拐點是它們的二階導數相等的點?！庇捎跇O值點即為駐點,所以,應用差值定理及其推論進行一階導數解算時,只要求出測量數據與擬合數據的差值曲線的極值點,即可把擬合數據在該極值點處的一階導數作為測量數據在該點的微分結果。在工程實際中,判別差值曲線的極值點比判別其他形式的駐點更容易把握,因此,本文主要基于極值點進行討論。

2差值定理的適用條件解析

2.1差值定理的適用條件

應用差值定理及其推論進行一階導數解算時,判別差值曲線的極值點可嘗試采用如下2種判別條件:

式中:k-1表示差值曲線的極值點前一點的斜率,k+1表示差值曲線的極值點后一點的斜率。我們稱1)中的判別條件為“斜率判別條件”。

采用斜率判別條件時,不需要知道差值曲線上每一點的斜率的確切值,而只需要知道與極值點相鄰的點的斜率孰大孰小即可。

式中:yi表示差值曲線的極值點的縱坐標,yi-1表示差值曲線的極值點前一點的縱坐標,yi+1表示差值曲線的極值點后一點的縱坐標。我們稱2)中的判別條件為“極值判別條件”。

2.2斜率判別條件解析

根據1)中的判別條件,在不考慮測量誤差的情況下,可推出差值曲線上下標為0的點是極大值點時

(1)下標為0的點是極小值點時

采用某組實測數據,以(1)式和(2)式為差值定理及其推論的適用條件判別差值曲線的極值點,進行一階導數解算,改變對差值曲線進行直線擬合的濾波半徑,將解算的數據點數列入表1。

表1　某實測數據解算結果統計表

由表1可以看出,當濾波半徑不變時,并不是所有的測量點都能獲得一階導數的解算結果。

圖1　部分數據無解算結果的原因分析示意圖

如圖1所示,在離散情況下,A為極值點,而點B和點C的斜率均小于0,所以無法正確判別出極值點。因此,當離散點出現如圖1所示的極限情況時,極值點A不能夠被有效判別。這是表1中有一些數據點沒有解算結果的原因。

由表1可知,將不同濾波半徑的解算結果合并后,則可能獲得所有測量數據的一階導數解算結果,也就是說,調節(jié)直線擬合的濾波半徑后重新解算,可以彌補原來未解算出來的數據。

由(1)式和(2)式可以看出,當測量數據等間隔采樣時,若采用中心平滑直線擬合法求解測量數據與近似擬合函數的差值曲線上的極值點,則判別條件與采樣間隔的大小無關,與測量值、近似函數值和直線擬合的濾波半徑有關。因此,調節(jié)濾波半徑N,有可能使判別極值點的充要條件得到滿足,從而使一些無法解算的測量數據獲得一階導數解算結果。

對于離散數據極值點的判別條件是取目標點的前一點和后一點各自的斜率是否為異號,這其實是一種比較模糊的判別方法。當采樣率足夠大時,這種算法判別得到的所謂“極值點”是真正的極值點的臨近的一個離散點,而且,由于受斜率判別的影響,該點不一定是離散點中的“極值點”,如圖2所示。

圖2　極值點分析示意圖

在圖2中,目測很明顯點A為離散點中的極值點,但點D處的斜率為正值,點A處的斜率為負值,若按照判斷條件,則點B為極值點,顯然與實際情況不符。因此,從嚴格意義上講,“目標點的前一點和后一點各自的斜率異號”只是判別極值點的必要條件,而非充分條件。

2.3極值判別條件解析

根據2)中的判別條件,可推出差值曲線上下標為i的點是極大值點的充要條件是

(3)

是極小值點的充要條件是

(4)

是極大值點的充分條件是

(5)是極小值點的充分條件是

2.4極值點的屬性

由于測量數據往往是離散的,差值曲線的極值點受測量值和擬合值的影響,可能位于離散點處,也可能位于2個離散點之間,故使用上述方法判斷出來的極值點并不一定是真正的“極大值點”或“極小值點”,而極有可能是真正的極值點附近的比較接近于極值點的離散點,在測量數據的差值曲線上,我們僅近似地把它看作是極值點。因此,稱文中所說的極值點為“近似極大值點”或“近似極小值點”更為貼切。

3差值定理的應用方法

3.1分析與推導

上述分析表明,當差值曲線極值點與其鄰點數值之差大于測量誤差限的2倍時,斜率法可能會造成極值點的誤判;當差值曲線極值點與其鄰點數值之差小于測量誤差限的2倍時,極值點不能確定。故在測量誤差允許的情況下采用極大或極小值的直接判別法,比斜率參與判別的方法更有效。因此,推薦使用極值判別條件,當求出擬合值F(t)后,根據(5)式和(6)式找到差值曲線的近似極值點,即可根據差值定理得到該點的一階導數。

由于利用差值定理解算一階導數時,測量數據在差值曲線極值點處的一階導數值由擬合曲線在該點的一階導數值決定,所以在極值點處,測量數據的一階導數的解算精度只與測量值的一階導數和擬合曲線的一階導數的局部接近程度有關,因此,考慮2點:①采用最小二乘法來構造擬合曲線F(t),使之與測量曲線有較好的接近程度,且由于利用差值定理進行一階導數解算時,解算精度受擬合模型的影響較小,因此,綜合考慮解算精度和解算速度,可采用三次多項式作為擬合模型;②考慮到測量數據是離散的,很可能會導致判斷出來的差值曲線的極值點偏離真正的極值點而引起一階導數的解算結果產生誤差,為盡量減小這種誤差,應使差值曲線極值點附近擬合曲線與測量曲線的曲率有較好的吻合度,即應使擬合值盡可能滿足或接近(7)式

(7)

圖3　曲率吻合示意圖

故

即在極值點附近擬合曲線與測量數據的真值曲線二者的一階導數和二階導數均相同,由曲率的計算公式

可知,二者的曲率也相同,因此,(7)式確保了數據離散時在極值點附近二者的曲率有較好的吻合度。

將(7)式與(3)式和(4)式比較可知,(7)式是(3)式和(4)式的極限情況,因此可合成下式:

(8)

或

(9)

(8)式及(9)式即為滿足差值定理條件,使得擬合值與測量值的差值曲線的一階導數為零的點,一般為極值點,也可能是其它形式的駐點。

若有的點在差值曲線上沒有對應的駐點,雖然可通過改變擬合區(qū)間的長度或擬合模型來使該點成為駐點,但在工程應用上難以把握,因此,考慮采用系數調節(jié)法來改變多項式的系數,使得該點成為駐點。

(10)在a0、a1、a2、a3這4個系數中,常數項a0對于F(t)的一階導數沒有影響,而若改變a2和(或)a3,則很可能會改變擬合曲線F(t)的彎曲程度,也就改變了擬合曲線與測量曲線在該點局部性能的接近程度,使得一階導數解算精度被改變。這種改變雖然在總體上是穩(wěn)定的,但在小范圍內既可能使精度提高,又可能使精度降低,因此,為了使解算精度在小范圍內仍保持穩(wěn)定,擬采用盡可能調整低次項系數的方法,比如調整a1或a2。

將(10)式代入(8)式和(9)式,得

即

(11)

(12)

當|si|≤S時,由(11)式得

(13)

由(12)式得

(14)

由(11)式可知,若a3一定,則當

(15)

時,a1有解。

假設測量數據為等間隔采樣,則(15)式可化為

故

(16)把測量誤差限S代入(16)式,得

(17)同理,對于(12)式,有

(18)由(7)式和(10)式可知,當a0、a3固定時,若a1、a2是方程組的解,可使擬合曲線與測量曲線在點i附近的曲率獲得較好的吻合度。因此,a1與a2的取值應盡可能滿足或接近(7)式的解。

由(7)式和(10)式得

(19)

當a2取(17)式中的最大值時, si+1=si-1=S,

si=-S,將其代入(19)式中,得方程組(7)的解是

(20)

同理,當a2取(18)式中的最小值時,si+1=si-1=-S,si=S,方程組(7)的解是

(21)

上述分析表明:按(13)式、(17)式或(14)式、(18)式選取a1、a2的值,可使沒有在差值曲線上取到近似駐點的測量數據能夠取到近似駐點;按(20)式或(21)式可獲得更好效果,使擬合曲線與測量曲線在駐點附近的曲率盡可能接近或吻合。

綜上所述,利用差值定理進行下標為i的離散數據一階導數解算時,可采用下列步驟:

1) 選取擬合區(qū)間,進行最小二乘三次多項式擬合,獲得擬合多項式的系數A0、A1、A2、A3,它們分別表示常數項、一次項系數、二次項系數和三次項系數;

2) 根據(20)式或(21)式確定調整后的系數a1、a2;

3) 計算擬合多項式F(t)=A0+a1t+a2t2+A3t3在點i處的一階導數,即可作為該處測量數據的一階導數。

上述的系數調節(jié)法對于在差值曲線上能夠獲得近似駐點的測量數據也同樣適用,可使擬合曲線上該點附近的曲率與測量曲線的曲率盡可能接近或吻合,獲得更高的解算精度。因此,可依此計算擬合區(qū)間內不包括端點的所有點的一階導數。

3.2仿真計算與討論

A0=87 930.576

A1=1 179.644

A2=-38.890

A3=0.434

將擬合結果列入表2,并將差值繪入圖4。

表2　仿真數據及其擬合結果

圖4　3次多項式擬合的差值曲線圖

如表2和圖4所示,差值曲線極值點的橫坐標是t=32、35、39。以橫坐標為37的點為例,利用(17)式和(13)式對擬合多項式A0+A1t+A2t2+A3t3的系數進行調節(jié):在S=0.000 01的情況下,根據(17)式得

a2≤-38.936 792

取a2的值為-38.936 793。

根據(13)式得

1 181.986 670≤a1≤1 181.986 712

取a1=1 181.986 691。

表3　以t=37為目標點調整多項式系數后的擬合結果

將A0=87 930.576 404 105、a1=1 181.987、a2=-38.937、A3=0.434 351 685作為擬合多項式系數進行計算,結果列入表3,并將差值繪入圖5。

圖5　　　　以t=37為目標點調整多項式系數后的　　　差值曲線圖

由表3和圖5可看出,按(17)式和(13)式對擬合多項式的系數A1和A2進行調整后,仿真數據與擬合多項式的差值曲線在t=37處以微小的差別獲得了極大值點。一階導數的解算結果為a1+2a2t+3A3t2=84.546,誤差為0.145,解算效果良好。

2) 取S=20.0,按照(20)式確定的多項式系數調節(jié)方法及3.1節(jié)中應用差值定理對一階導數進行解算的步驟,對表2中的仿真數據f(t)擬合區(qū)間中不包括端點的所有數據進行一階導數計算,結果列入表4。

從表4中的數據可以看出,采用3.1節(jié)中的方法的確可以構造三次多項式,使擬合區(qū)間中不包括端點在內的任一點成為差值曲線的極值點,且解算精度及穩(wěn)定性總體上優(yōu)于未經系數調節(jié)獲得的極值點,并且使和端點臨近的點獲得幾乎同樣好的精度。

表4　仿真數據一階導數解算

3) 取不同的S值,按照(20)式確定的多項式系數調節(jié)方法及3.1節(jié)中應用差值定理對一階導數進行解算的步驟,對表2中的仿真數據f(t)擬合區(qū)間中不包括端點的所有數據進行一階導數計算,結果列入表5。

表5　　　　不同測量誤差限時調整多項式系數后的

從表5中的數據可看出,當采用3.1節(jié)中的步驟對一階導數進行解算時,測量精度對于計算結果沒有影響。

設采樣間隔為h,令

則(20)式對應的方程組(7)式的解可表示為

或令

則(21)式對應的方程組(7)式的解可表示為

故下標為i的點的一階導數為

(22)

從(22)式中可看出,一階導數的解算結果與測量誤差限無關,表明3.1節(jié)中的一階導數解算步驟基本可以消除測量誤差的影響。(22)式還表明一階導數的解算結果與a3的取值有關,由于a3是在最小二乘條件下獲得的擬合多項式的系數,從中可看出最小二乘算法為解算結果的準確度所做出的巨大貢獻。

3.3實測數據驗證

以(5)式或(6)式作為離散狀態(tài)差值曲線近似極值點的判斷條件,應用差值定理及其推論,在不同的測量精度下,以10個測量點為擬合區(qū)間,以三次多項式作為擬合模型在最小二乘條件下對一組測量數據進行一階導數解算;完成某個擬合區(qū)間的計算后,即把擬合區(qū)間向后移動繼續(xù)計算,然后把各個區(qū)間的一階導數解算結果合并在一起,獲得整段數據的解算結果。解算結果的點數列入表6。

表6　實測數據解算結果統計表

將表6中S=0.001的解算結果繪入圖6。

將該組實測數據分為1～10點、9～18點2個區(qū)間,分別用最小二乘算法進行三次多項式擬合,得到2段的系數分別為A3(1～10點)=0.632,A3(9～18點)=0.076,再根據(22)式計算一階導數,將結果繪入圖7。

圖6　未調整多項式系數時的解算結果

圖7　調整多項式系數后的解算結果

比較圖6和圖7可知,在最小二乘擬合條件下,采用(22)式進行實測數據的一階導數解算,不僅能夠計算擬合區(qū)間內不包括端點的所有點的一階導數,而且解算精度良好。

4結論

差值定理及其推論在離散數據一階導數解算中的適用條件為：

1) 離散狀態(tài)差值曲線上下標為 的點為近似極大值點的充要條件是(3)式，為近似極小值點的充要條件是(4)式。

2) 離散狀態(tài)差值曲線上下標為i的點為近似極大值點的充分條件是(5)式，為近似極小值點的充分條件是(6)式。

3) 當采用三次多項式對測量數據進行最小二乘擬合時，在等間隔采樣條件下，保持擬合多項式的常數項和三次項系數不變，則按(13)式和(17)式調整一次項系數和二次項系數，可使下標為i的點成為差值曲線的極大值點，按(14)式和(18)式調整一次項系數和二次項系數，可使下標為i的點成為差值曲線的極小值點，而按(20)式或(21)式調整一次項系數和二次項系數，則在總體上可獲得更好的一階導數解算結果。

4) 利用差值定理進行下標為i的點的離散數據一階導數解算時，在等間隔采樣條件下，可采用下列步驟：

①選取N(N≥5)點擬合區(qū)間,進行最小二乘三次多項式擬合,獲得擬合多項式的三次項系數A3;

③將擬合區(qū)間向后滑動,用上述方法繼續(xù)計算,直至完成不包括端點的所有測量數據的一階導數解算。

5)按4)中方法進行一階導數解算,可不受測量誤差限的影響,獲得不包括端點在內的所有測量數據的一階導數,解算精度只與測量值、采樣間隔和三次擬合多項式的三次項系數有關,解算結果整體上比差值定理算法更準確,更穩(wěn)定,且可以良好的解算精度獲得端點附近數據的一階導數。

參考文獻：

[1]王業(yè)桂,蔡其發(fā),黃思訓. 一種氣象觀測數據求導的新方法[J]. 物理學報, 2010, 59(6): 4359-4368

Wang Yegui, Cai Qifa, Huang Sixun. A New Method for Calculating the Derivation of Meteorological Observational Data[J]. Acta Physica Sinica, 2010, 59(6): 4359-4368 (in Chinese)

[2]孫中豪,杜娟,王子龍. 基于白噪聲正交多項式濾波的GPS測速方法分析[J]. 測繪地理信息,2013,38(5):21-24

Sun Zhonghao, Du Juan, Wang Zilong. Analysis of GPS Velocimetry Method Based on White Noise Orthogonal Polynomial Filtering[J]. Journal of Geomatics, 2013, 38(5): 21-24 (in Chinese)

[3]呂游. 基于過程數據的建模方法研究及應用[D]. 北京: 華北電力大學, 2014

Lü You. The Research and Application of Data-Based Process Modeling Method[D]. Beijing, North China Electric Power University, 2014 (in Chinese)

[4]劉繼軍. 不適定問題的正則化方法及應用[M]. 北京:科學出版社,2005

[5]劉也,朱炬波,梁甸農. 遞推樣條濾波的工程化應用研究[J]. 宇航學報,2010,31(12): 2794-2800

Liu Ye, Zhu Jubo, Liang Diannong. Research of Recursive Spline Filter for Engineering Applications[J]. Journal of Astronautics,2010,31(12):2794-2800 (in Chinese)

[6]袁莉,劉宏偉,保錚. 雷達高分辨距離像分類器的參數自適應學習算法[J]. 電子與信息學報, 2008,30(1):198-202

Yuan Li, Liu Hongwei, Bao Zheng. Adaptive learning of Classifier Parameters for Radar High Range Resolution Profiles Recognition[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2008,30(1):198-202 (in Chinese)

[7]梁紅. 利用差值定理降低飛行器速度和加速度擬合的截斷誤差[J]. 飛行器測控學報,2005,24(3):51-54

Liang Hong. Using Error Theorem to Reduce the Truncation Error Produced in Calculating the Velocity and Acceleration of Spacecraft[J]. Journal of Spacecraft TT & C Technology, 2005, 24(3): 51-54 (in Chinese)

Applying Difference Theorem to Calculating First Order Derivatives of Discrete Data

Liang Hong

(PLA Unit 91550, Dalian 116023, China)

Abstract:When the Difference Theorem is applied to calculating first order derivatives of discrete data, the measurement error can lead to some of the data having no result. To resolve this problem, application conditions of the Difference Theorem are analyzed, and the inaccuracies about them in some literature are corrected. Through analyzing and deducing the application method, a new algorithm on first order derivatives of discrete data is put forward; it combines the Difference Theorem with least squares algorithm and adjusts item coefficient and binomial coefficient of third-order fit polynomial for extreme point identifying, and the calculation-formula is given on the premise that measurement data are at equal intervals. Verification of the algorithm is made with simulation and measurement; the results indicate that: (1)this new algorithm can calculate effectively first order derivatives of all data of the measurement sequence, exclusive of the endpoints; (2)the measurement error bounds do not affect the results; (3)the calculated precision is better in general than that of the case in which polynomial coefficients are not adjusted. These enable the Difference Theorem to improve significantly calculation precision of the first order derivatives of the points in the interval where the data change abruptly or near the endpoints of measurement sequence.

Keywords:algorithms, calculations, efficiency, errors, functions, Kalman filters, least squares approximations, linear regression, measurements, polynomials, schematic diagrams, statistics; Difference Theorem, differential coefficient, digital filtering, first order derivative, truncation error

中圖分類號：V557; O29

文獻標志碼：A

文章編號:1000-2758(2016)01-0166-10

作者簡介：梁紅(1971—)，女，91550部隊高級工程師，主要從事試驗數據處理方法研究。

收稿日期：2015-04-18