童蓓蕾　朱軍芳

(1.西南科技大學(xué)理學(xué)院　四川綿陽　621010；2.西南科學(xué)大學(xué)理學(xué)院模型與算法研究所　四川綿陽　621010)

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兩種廣義F-壓縮映像相關(guān)的不動點定理

童蓓蕾1,2朱軍芳1

(1.西南科技大學(xué)理學(xué)院四川綿陽621010；2.西南科學(xué)大學(xué)理學(xué)院模型與算法研究所四川綿陽621010)

摘要：給出了廣義-F-壓縮映像和廣義-F-Suzuki-壓縮映像的概念，提出并證明了兩種壓縮映像條件下的不動點定理，推廣了WARDOWSKI和PIRI的不動點定理。

關(guān)鍵詞：不動點壓縮映像F-壓縮映像F-Suzuki-壓縮映像廣義-F-壓縮映像廣義-F-Suzuki-壓縮映像

壓縮映像和不動點定理是非線性分析中非常重要的概念和定理，已經(jīng)有大量文獻對其進行過研究[1，4-7]。本文給出兩個廣義的壓縮映像，并證明了相應(yīng)的不動點定理。

1背景介紹

2009年,文獻[5]提出如下F-壓縮映像的定義:

定義1(F-壓縮映像)假設(shè)(X,d)是一個度量空間，T是一個由X到X的自映像。如果對于X中任意兩點x,y都存在一個正數(shù)τ, 使得下式成立：

[d(Tx,Ty)>0?

τ+F(d(Tx,Ty))≤F(d(x,y))]

(1)

則稱T是F-壓縮映像。此處，F(xiàn):+→滿足下列3條性質(zhì)：

(F1)F是嚴格單增的，即，對于任意的x,y∈+，若x

文獻[5]還給出了一個修正的Banach壓縮映像原理：

PIRI等2014年提出并證明了F-Suzuki-壓縮映像原理[1]。

定義2(F-Suzuki-壓縮映像)假設(shè)(X,d)是一個度量空間。T：X→X稱為F-Suzuki-壓縮映像，如果對于X中任意兩點x,y而言都存在一個正數(shù)τ, 使得下式成立：

τ+F(d(Tx,Ty))≤F(d(x,y)) ]

(2)

2兩個廣義壓縮映像原理

本文在更弱的條件下提出了兩個壓縮映像原理。這兩個壓縮映像原理是對文獻[5]和文獻[1]所提出的壓縮映像原理的推廣。

定義3(廣義-F-壓縮映像)假設(shè)(X,d)是一個度量空間。T：X→X稱為廣義-F-壓縮映像，如果對于X中任意兩點x,y都有存在一個正數(shù)τ, 使得下式成立：

[d(Tx,Ty)>0?

τ+F(d(Tx,Ty))≤F(M(x, y))]

(3)

證明：任選x0∈X，令：

x1=Tx0,

x2=Tx1=T2x0,…,xn+1=Txn=Tn+1x0,

(4)

下面我們用反證法證明此定理。

首先證明不動點的存在性。

τ+F(d(Txn-1,Txn))≤(M(xn-1,xn))

即F(d(Txn-1,Txn))

情況1：當(dāng)M(xn-1,xn)=d(xn-1,xn)時；

情況2，當(dāng)M(xn-1,xn)=d(xn-1,Txn-1)時；

由于情況1和情況2可以歸結(jié)到F-壓縮映像的情形，所以易得：

(5)

情況3，當(dāng)M(xn-1,xn)=d(xn,Txn)=d(Txn-1,Txn)時，得到矛盾。

接下來證明在情況1和情況2下不動點的存在性。

p(n)>q(n)>n,

d(xp(n),xq(n))≥ε,

d(xp(n)-1,xq(n))<ε,?n∈

(6)

與文獻[1]方法類似，可得：

(7)

(8)

下面我們證明：

d(Txp(n),Txq(n))=

d(xp(n)+1,xq(n)+1)>0,?n≥N

(9)

反證。

假設(shè)存在m≥N使得：

d(xp(m)+1,xq(n)+1)=0

(10)

則由(7)式，(8)式，(10)式可得：

ε≤d(xp(m),xq(m))≤d(xp(m),xp(m)+1)+

d(xp(m)+1,xq(m))≤d(xp(m),xp(m)+1)+

d(xp(m)+1,xq(m)+1)+d(xq(m)+1,xq(m))=

d(xp(m),Txp(m))+d(xp(m)+1,xq(m)+1)+

矛盾，故(9)式得證。

由(9)式和定理的假設(shè)得：τ+F(d(Txp(n),Txq(n)))≤F(M(xp(n),xq(n))),?n≥N

(11)

情況1，當(dāng)M(xp(n),xq(n))=d(xp(n),xq(n))時，同文獻[1]，可以得到一個矛盾。

情況2，當(dāng)M(xp(n),xq(n))=d(xp(n),Txp(n))時，由(5)式得到一個矛盾。

情況3，當(dāng)M(xp(n),xq(n))=d(xq(n),Txq(n))時，同情況2，矛盾。

所以映射T在X中存在不動點。

其次，證不動點的唯一性。

反證法：設(shè)T在X中存在兩個不動點x,y，則有Tx=x≠y=Ty.故d(Tx,Ty)=d(x,y)>0.于是由T為廣義-F-壓縮映像得：

F(d(x,y))=F(d(Tx,Ty))<

τ+F(d(Tx,Ty))≤F(M(x,y))

下面同樣分3種情況討論。

情形1，如果M(x,y)=d(x,y)，同文[1]獻，得到矛盾。

情形2，如果M(x,y)=d(x,Tx)，得到矛盾。

情形3，如果M(x,y)=d(y,Ty)，與情形2類似，得到矛盾。

綜上，T在X中不動點唯一。定義4(廣義-F-Suzuki-壓縮映像) 假設(shè)(X,d)是一個度量空間。T：X→X稱為廣義-F-Suzuki-壓縮映像，如果對于X中任意兩點x, y都存在一個正數(shù)τ, 使得下式成立：

τ+F(d(Tx,Ty))≤F(M(x,y))]

(12)

不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)M(x,y)=d(x,y)時，廣義-F-Suzuki-壓縮映像實際上就是F-Suzuki-壓縮映像。

證明：任選x0∈X，令：

x1=Tx0,

x2=Tx1=T2x0,…,xn+1=Txn=Tn+1x0,

(13)

下面我們用反證法證明此定理。

首先證明不動點的存在性。

(14)

于是，由T是廣義-F-Suzuki-壓縮映像知，對?n∈有：τ+F(d(Txn,T2xn))≤F(M(xn,Txn)),即F(d(xn+1,Txn+1))≤F(M(xn,Txn))-τ.

情況2，當(dāng)M(xn,Txn)=d(xn,Txn)時，同上。

情況3，當(dāng)M(xn,Txn)=d(Txn,T2xn)時，得到F(d(xn+1,Txn+1))≤F(d(xn+1,Txn+1)-τ，因為τ>0，所以這是個矛盾式。故存在?n∈使得：d(xn,Txn)=0，即存在不動點。

由情況1、情況2我們得到：

(15)

下面我們證明在情況1、情況2下T存在不動點。

p(n)>q(n)>n,

d(xp(n),xq(n))≥ε

d(xp(n)-1,xq(n))<ε,?n∈

(16)

(17)

(18)

接下來證明結(jié)論：

d(Txp(n),Txq(n))=

d(xp(n)+1,xq(n)+1)>0,?n≥N

(19)

反證。

假設(shè)存在m≥N使得：

d(xp(m)+1,xq(n)+1)=0

(20)

則由(17)式，(18)式，(20)式可得：

ε≤d(xp(m),xq(m))≤d(xp(m),xp(m)+1)+

d(xp(m)+1,xq(m))≤d(xp(m),xp(m)+1)+

d(xp(m)+1,xq(m)+1)+d(xq(m)+1,xq(m))=

d(xp(m),Txp(m))+d(xp(m)+1,xq(m)+1)+

矛盾，故(19)式得證。

由(19)式和定理的假設(shè)得：

τ+F(d(Txp(n),Txq(n)))≤

F(M(xp(n),xq(n))),?n≥N

(21)

情況1，當(dāng)M(xp(n),xq(n))=d(xp(n),xq(n))時，同文獻[1]，可以得到一個矛盾。

情況2，當(dāng)M(xp(n),xq(n))=d(xp(n),Txp(n))時，由式(15)得到一個矛盾。

情況3，當(dāng)M(xp(n),xq(n))=d(xq(n),Txq(n))時，同情況2，矛盾。

所以映射T在X中存在不動點。

其次，證不動點的唯一性。

反證法：設(shè)T在X中存在兩個不動點x*,y*，則有Tx*=x*≠y*=Ty*.因此d(Tx*,Ty*)=d(x*,y*)>0，由T為廣義-F-Suzuki-壓縮映像

F(d(x*,y*))=F(d(Tx*,Ty*))≤

F(M(x*,y*))-τ.

下面同樣分3種情況討論。

情形1，如果M(x*,y*)=d(x*,y*)，同文獻[1]，得到矛盾。

情形2，如果M(x*,y*)=d(x*,Tx*)，得到矛盾。

情形3，如果M(x*,y*)=d(y*,Ty*)，與情形2類似，得到矛盾。

綜上，T在X中不動點唯一。

3結(jié)論

本文提出了廣義-F-壓縮映像和廣義-F-Suzuki-壓縮映像的概念，給出并且證明了廣義-F-壓縮映像原理和廣義-F-Suzuki-壓縮映像原理。這兩個壓縮映像原理分別是對文獻[5]和文獻[1]中所提出的壓縮映像原理的推廣和改進。

參考文獻

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[8]EDELSTEINM.Onfixedandperiodicpointsundercontractivemappings[J].J.Lond.Math.Soc. 1962:74-79.

Two Fixed Point Theorems Concerning Augmented F-Contraction in Complete Metric Spaces

TONG Bei-lei1,2, ZHU Jun-fang1

(1.SchoolofSciences,SouthwestUniversityofScienceandTechnology,Mianyang621010,Sichuan,China;2.InstituteofModelandAlgorithm,SchoolofSciences,SouthwestUniversityofScienceandTechnoloty,Mianyang621010,Sichuan,China)

Abstract:In this paper, we propose two conceptions of augmented-F-contraction and Augmented-F-Suzuki-contraction. Fixed point theorems for Augmented-F-contraction and Augmented-F-Suzuki-contraction are proved respectively. Those two contraction theorems generalize the contraction theorems of WARDOWSKI and PIRI.

Key words:Fixed piont; Contraction; F-contraction; F-Suzuki-contraction; Augmented-F-contrction; Augmented -F-Suzuki-contraction

中圖分類號：O17

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1671-8755(2016)01-0103-04

作者簡介:童蓓蕾(1976—)，女，講師，研究方向為變分不等式及其圖像處理。E-mail: beileitong@163.com

基金項目:四川省教育廳重點項目(15ZA0112)。

收稿日期：2015-06-04