潘　雄，羅　靜，汪　耀

中國地質(zhì)大學(xué)信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430074

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P范分布的實數(shù)階與對數(shù)矩估計法

潘雄，羅靜，汪耀

中國地質(zhì)大學(xué)信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430074

Foundation support： The National Natural Science Foundation of China (Nos.41374017；40974002；11471105); The China Postdoctoral Science Foundation (No.2005038362)

摘要：從參數(shù)估計的精度和算法的復(fù)雜度出發(fā)，對P范分布參數(shù)的估計方法進行了改進。根據(jù)誤差分布的實際情況，引入實數(shù)階和對數(shù)矩估計方法，建立了P范分布的參數(shù)估計的實數(shù)階矩估計方法。首先，利用實數(shù)階矩估計法，導(dǎo)出了形狀參數(shù)p與實數(shù)階階數(shù)r的關(guān)系式，對形狀參數(shù)的選取給出了相應(yīng)的建議；其次，改進矩估計理論，利用對數(shù)矩估計方法導(dǎo)出了形狀參數(shù)、期望及中誤差的非線性估計公式，消除了函數(shù)截斷誤差對參數(shù)估計值計算的影響，并利用迭代算法給出了相應(yīng)參數(shù)的解算方法和計算流程；最后，用一個模擬算例和兩個實測算例分析了實數(shù)矩、對數(shù)矩和極大似然估計3種估計方法的穩(wěn)定性和精度。結(jié)果說明，本文提出的矩估計方法在穩(wěn)定性、精度和收斂速度等方面均優(yōu)于極大似然估計方法，推廣了現(xiàn)有的誤差理論。

關(guān)鍵詞：P范分布；矩估計法；參數(shù)估計

隨著空間測量技術(shù)的發(fā)展，對衛(wèi)星軌道精度的要求越來越高，現(xiàn)有的精密定軌軟件程序在解算參數(shù)時，都是假設(shè)計算誤差服從正態(tài)分布，采用最小二乘估計進行解算。文獻[1]指出，在數(shù)據(jù)處理過程中，由于觀測數(shù)據(jù)中存在粗差、模型不準確以及計算方法不同等，使得觀測誤差并不服從正態(tài)分布。文獻[2]從觀測誤差的實際分布出發(fā)，利用LP估計來確定衛(wèi)星的精密軌道，通過計算，認為LP估計的p值應(yīng)該在[1，2]之間；文獻[3]指出，對GPS觀測值誤差處理時，當p=1.4左右時精度最高，效率最好。

在實際工作中，對于一組給定的觀測誤差，往往并不知道這個p取什么值最合適，這就需要利用觀測數(shù)據(jù)提供的信息，正確確定p值，進行相應(yīng)的估計。此前，許多學(xué)者采用極大似然估計法對P范分布的多種形式，如從對稱到非對稱、一元到多元等情況進行了研究，得到了一些有用的結(jié)果[4-9]。當觀測樣本足夠大且分布的形式已知時，極大似然估計是最優(yōu)估計，其漸近分布為正態(tài)分布。文獻[10]將半?yún)?shù)回歸模型成功地應(yīng)用到極大似然平差法的參數(shù)估計理論中，但形狀參數(shù)p值的獲取是半?yún)?shù)P范極大似然回歸的應(yīng)用前提。然而，P范分布的形狀參數(shù)值未知，極大似然估計方程是非線性方程，需要迭代計算，迭代計算需要較大的數(shù)據(jù)量及合適的初值才能保證估計精度，此時自適應(yīng)LP估計等價于相應(yīng)的最或然估計[11]，而形狀參數(shù)的不正確估計又會使得LP估計的效率變低[12]。理論證明，當p=1時，LS估計將比L1估計損失效率50%；當p=2時，L1估計又將比LS估計損失效率27%，因此，選擇合適的p非常重要[12]。文獻[2,13—15]以SLR數(shù)據(jù)處理為例說明了自適應(yīng)LP估計在應(yīng)用中的穩(wěn)健性優(yōu)勢，若能獲得更可靠的p值，其優(yōu)勢將更為顯著。

合理的p值可以體現(xiàn)觀測誤差最符合的分布，由于p為小數(shù)，常用的矩估計法為整數(shù)階估計，本文引入實數(shù)階和對數(shù)矩估計方法，導(dǎo)出了相應(yīng)估計方法的P范分布的參數(shù)解算的基礎(chǔ)方程，另外，簡化了基礎(chǔ)方程，消除了普西函數(shù)和伽瑪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計算誤差對參數(shù)計算的影響，使得參數(shù)計算的復(fù)雜度降低。

1實數(shù)階矩估計法

(1)

mr=E(|X-u|r)=

(2)

(3)

式(3)包含形狀參數(shù)p、中誤差σ0和階數(shù)r，為了減少參數(shù)之間的影響，可以構(gòu)造如式(4)所示的函數(shù)，消除中誤差σ0對p的影響

(4)

式中，總體均值u和r階絕對中心矩可以通過如下樣本估計值計算

(5)

k=2,r,r+2

(6)

將式(5)、式(6)代入式(4)，化簡得到形狀參數(shù)的估計式為

(7)

由式(7)得到形狀參數(shù)p的估計值后，在式(3)中令r=p，得

(8)

2對數(shù)矩估計法

對式(3)求導(dǎo)數(shù)得

E(|X-u|rln|X-u|)=E(|X-u|r)

(9)

式中，ψ(·)為普西函數(shù)。

對式(9)化簡得

(10)

在式(9)中，令r=0 可得觀測值的一階對數(shù)絕對矩為

(11)

用樣本矩代替總體矩，綜合式(10)、式(11)，化簡得參數(shù)p的估計表達式為

(12)

為了消除ψ(·)計算誤差及階數(shù)對參數(shù)計算的影響，在式(12)中，取r=p，由ψ(·)的性質(zhì)得

(13)

由式(8)得到參數(shù)u的估計表達式為

(14)

3參數(shù)的解算

(15)

(16)

將f1(u+Δu,p+Δp)=0，f2(u+Δu,p+Δp)=0在μ、p處展開成泰勒級數(shù)，略去二次以上各項，則有

(17)

(18)

聯(lián)立求解式(15)—式(18)，將μ+Δμ、p+Δp作為新的近似值，即可進行下一次迭代計算。其中，式(15)、式(16)分別對μ、p的偏導(dǎo)數(shù)為

夜深人靜的時候，我躺在自己的出租屋里對著天花板發(fā)呆。以為自己戀愛了一回，到頭來還是一場誤會。南方的愛情就像南方的天，陰晴無常。

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

4算例分析

4.1階數(shù)對精度的影響

從圖中可以看出，階數(shù)r的取值越接近形狀參數(shù)實際值，參數(shù)估計值越接近其真實值，其相對偏差也越小。因此，可以認為當階數(shù)r近似取p值時，實數(shù)階矩估計法的估計精度最高。不妨以拉普拉斯分布為例，其樣本個數(shù)、階數(shù)及形狀參數(shù)

的關(guān)系如表1所示。

圖1　p=1時，不同r對應(yīng)估計量p的相對偏差曲線Fig.1　The relative deviation curve of estimation p with different r when p=1

圖2　p=2時，不同r對應(yīng)估計量p的相對偏差曲線Fig.2　The relative deviation curve of estimation p with different r when p=2

由表1可以看出，當子樣較少時，無論階數(shù)r取何值，計算得到的參數(shù)估值均偏離真實值，階數(shù)與形狀參數(shù)的差值越大，精度越低。隨著參與平差的子樣數(shù)逐步增多，對應(yīng)各階數(shù)計算得到的參數(shù)估值逐漸趨近于真實值。

4.2模擬算例對比分析

表1　p=1時，形狀參數(shù)與階數(shù)和樣本數(shù)的關(guān)系

表2　p=1時的參數(shù)估計結(jié)果對比

表3　p=2時的參數(shù)估計結(jié)果對比

從表2、表3可以看出，當子樣較少時，對數(shù)矩估計法與極大似然平差法估計結(jié)果均與實際值相差較大，隨著觀測子樣的增加，兩種方法所得到的參數(shù)估計值呈現(xiàn)出越來越接近真實值的趨勢。當子樣數(shù)較小，在估計3個參數(shù)時，對數(shù)矩估計法在收斂速度、穩(wěn)定性和精度上明顯優(yōu)于極大似然估計法。

4.3實際算例1

圖3　p=2時，估計量p的相對偏差曲線Fig.3　The relative deviation curve of estimation p when p=2

圖4　p=2時，估計量σ的相對偏差曲線Fig.4　The relative deviation curve of estimation when p=2

n對數(shù)矩估計法極大似然估計法^p^u^σ迭代次數(shù)^p^u^σ迭代次數(shù)102.3234-0.03470.1244135.4122-0.04730.1377109201.9157-0.02130.075630.9999-0.02120.083182301.2138-0.01450.081340.9998-0.01460.084441401.73020.00980.097241.4567-0.01340.0977114501.50860.01990.098972.12410.01050.098346601.54640.00470.089351.88450.00590.088562701.5642-0.00750.099941.3412-0.00770.100943801.6296-0.00090.109651.80350.00050.109175901.6138-0.00270.1079121.8754-0.00120.1073721001.5943-0.00260.104581.7403-0.00290.109010

通過表4可以得出結(jié)論，當樣本服從p=1.6的P范分布時，采用對數(shù)矩估計法估計形狀參數(shù)p值的估計精度要高于極大似然估計法，而對均值u和方差σ的估計效果相當，同時對數(shù)矩估計法的迭代次數(shù)要遠小于極大似然估計法，對數(shù)矩估計法的收斂速度較快，表明對數(shù)矩估計法能快速定位形狀參數(shù)p。

4.4實際算例2

由文獻[3]可知，經(jīng)消除GPS觀測值中的粗差，完成電離層折射誤差、對流層折射誤差等多項改正后，GPS輸出的最終觀測值誤差，經(jīng)檢驗得知，該母體服從p=1.4的P范分布。

本文算例所用數(shù)據(jù)來自加拿大Algonquin Park的ALGO測站點，利用TPS NET-G3A接收機，采集獲得2013年4月28日全天的觀測數(shù)據(jù)。在獲得的32顆衛(wèi)星數(shù)據(jù)中，選取某顆衛(wèi)星偽距的PPP雙頻無電離層組合觀測值殘差進行分析。取200個誤差值作為原始數(shù)據(jù)，分別利用對數(shù)矩估計法與極大似然估計法對參數(shù)u、p和σ進行計算，得到的結(jié)果如表5所示。

表5不同方法計算得到的參數(shù)估值對比

Tab.5Comparison of parameters estimation via different methods

參數(shù)^p^u^σ迭代次數(shù)真實值1.4000000.00000——對數(shù)矩估計法1.381095-0.0504260.4452287極大似然估計法1.323699-0.0507350.44624613

從表5可以看出，針對本組試驗數(shù)據(jù)，當形狀參數(shù)p為1.4時，兩種估計方法的效果均較好，其中對數(shù)矩估計法的精度稍高于極大似然估計法，且其迭代次數(shù)明顯少于極大似然估計，因此采用對數(shù)矩估計法能夠更快速精確地估計出誤差的實際分布參數(shù)，再次表明對數(shù)矩估計法優(yōu)于極大似然估計法。

5結(jié)論

本文研究了P范分布的實數(shù)階矩估計方法，利用模擬算例討論了階數(shù)r與參數(shù)估計精度的關(guān)系，推導(dǎo)出形狀參數(shù)、期望和中誤差的估計公式，引入對數(shù)矩估計方法，消除了伽瑪函數(shù)、普西函數(shù)的截斷誤差對參數(shù)估計值計算造成的影響，給出了相應(yīng)參數(shù)的求解方法和計算過程，用模擬算例和實測數(shù)據(jù)驗證了本文理論的正確性，得到了以下結(jié)論：

(1) P范分布能夠精確地確定觀測數(shù)據(jù)的最符合分布，本文給出了任意實數(shù)階矩估計公式。利用實數(shù)階矩估計法得到的參數(shù)估計值精度與階數(shù)的關(guān)系較大。當階數(shù)r的取值越接近p，由實數(shù)階矩估計法計算得到的參數(shù)估計量相對偏差越小，其估計精度越高。然而在參數(shù)估計過程中，r的選取方式比較復(fù)雜，合理的階數(shù)的選取方法值得進一步研究。

(2) 對數(shù)階矩估計方法降低了算法的復(fù)雜度，計算簡單。從模擬和實測數(shù)據(jù)可以看出，對數(shù)估計方法在參數(shù)估計的精度、穩(wěn)定性和收斂速度以及算法的復(fù)雜度等方面優(yōu)于極大似然估計方法。對于模擬數(shù)據(jù)，實數(shù)階和對數(shù)矩估計法略優(yōu)于極大似然估計法，對于實測數(shù)據(jù)，對數(shù)矩估計法優(yōu)勢較明顯，是一個較好的參數(shù)估計方案。

(3) 觀測數(shù)據(jù)的分布受外界因素和樣本數(shù)量的影響，采用P范分布能夠較好地估計參數(shù)，接近誤差的真實分布。觀測樣本數(shù)越大，計算得到的分布越接近它的真實分布，估計精度也越高。

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(責(zé)任編輯：張艷玲)

2016中國智慧城市與測繪地理信息發(fā)展高層論壇舉辦

[本刊訊]3月16日，由中國測繪地理信息學(xué)會、江蘇省測繪地理信息局、中國礦業(yè)大學(xué)和鹽城市人民政府聯(lián)合主辦，《測繪學(xué)報》編委會、江蘇省測繪地理信息學(xué)會、中國礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測繪學(xué)院、鹽城市科技局、江蘇星月測繪科技股份有限公司承辦的2016中國智慧城市與測繪地理信息發(fā)展高層論壇在鹽城舉辦。國家測繪地理信息局副局長、中國測繪地理信息學(xué)會理事長李維森出席開幕式并講話，江蘇省測繪地理信息局局長施建石、鹽城市人民政府副市長張京麒出席開幕式并致辭，李德仁、王家耀、張祖勛、楊元喜、郭仁忠等兩院院士出席論壇。

李維森副局長，李德仁、王家耀、楊元喜、郭仁忠院士，長江學(xué)者吳立新教授分別作了題為《測繪地理信息與智慧城市》《展望大數(shù)據(jù)時代的地球空間信息學(xué)》《“互聯(lián)網(wǎng)+時空大數(shù)據(jù)”與智慧城市》《綜合PNT系統(tǒng)》《智慧城市：大數(shù)據(jù)時代的城市治理》《智慧大豐與資源環(huán)境動態(tài)監(jiān)測》的主題報告。論壇還設(shè)立了主題為“智慧城市與測繪地理信息發(fā)展”的高端對話環(huán)節(jié)，李德仁、張祖勛、楊元喜、郭仁忠、史照良、孫群、劉耀林、李滿春、吳立新等9位學(xué)者圍繞測繪地理信息在智慧城市建設(shè)中的作用、測繪地理信息行業(yè)如何借助“互聯(lián)網(wǎng)+時空大數(shù)據(jù)”實現(xiàn)跨界融合跨越發(fā)展、測繪地理信息行業(yè)如何更好地服務(wù)智慧城市建設(shè)等議題進行了高端對話，并與參會人員進行互動。

會上，還舉行了星月測繪商城上線暨星月眾創(chuàng)空間啟動儀式。來自政府部門、高校、科研機構(gòu)、企業(yè)界和媒體代表300余人參加了此次論壇。

(本刊編輯部)

Real Order and Logarithmic Moment Estimation Method of P-norm Distribution

PAN Xiong，LUO Jing，WANG Yao

Faculty of Information Engineering, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China

Abstract：The estimation methods of P-norm distribution is improved in this paper from the perspective of the parameters estimation precision and algorithm complexity. The real order and logarithmic moment estimation is introduced and the real order moment estimation method of P-norm distribution is established based on the actual error distribution. First of all, the relation between the shape parameter p and the real order value r is derived by using the real order moment estimation, and corresponding suggestions are provided for shape parameter’s selection. Then, the nonlinear estimation formula of shape parameter, expectations and mean square error is derived via logarithmic moment estimation, function truncation error on the calculation of parameter estimation is eliminated and the solving method of corresponding parameters and calculation process is given, leading an improvement of the theory. Finally, some examples are performed for analyzing the stability and precision of such three methods including real order moment, logarithmic moment and maximum likelihood estimation. The result shows that the stability, precision and convergence speed of the method in this paper are better than maximum likelihood estimation, which generalized the existing errors theory.

Key words：P-norm distribution; moment estimation; parameter estimation

基金項目：國家自然科學(xué)基金(41374017；40974002；11471105)；國家博士后基金(2005038362)

中圖分類號：P207

文獻標識碼：A

文章編號：1001-1595(2016)03-0302-08

作者簡介：第一 潘雄(1973—)，男，博士后，教授，研究方向為測量數(shù)據(jù)處理的理論及應(yīng)用。E-mail： pxjlh@163.com

收稿日期：2015-03-30

引文格式：潘雄，羅靜，汪耀.P范分布的實數(shù)階與對數(shù)矩估計法[J].測繪學(xué)報，2016,45(3)：302-309. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150166.

PAN Xiong, LUO Jing, WANG Yao.Real Order and Logarithmic Moment Estimation Method of P-norm Distribution[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(3):302-309. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150166.

修回日期： 2015-11-04

First author： PAN Xiong(1973—),male, postdoctoral, professor, majors in the research on the theory and application of surveying data processing.