周曉霞，張竹嫻，楊　丞

(長(zhǎng)沙大學(xué)電子信息與電氣工程系，湖南 長(zhǎng)沙 410022)

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準(zhǔn)單色光在光學(xué)矢量-矩陣乘法器中的傳播與光場(chǎng)分布

周曉霞，張竹嫻，楊丞

(長(zhǎng)沙大學(xué)電子信息與電氣工程系，湖南 長(zhǎng)沙 410022)

摘要：研究了光學(xué)矢量-矩陣乘法器中光波面的調(diào)制特性，從柯林斯公式出發(fā)，分析了準(zhǔn)單色光在乘法器的空間光調(diào)制器平面上的光場(chǎng)分布.結(jié)果表明，只使用單個(gè)光束會(huì)引起空間光調(diào)制器上單像素可探測(cè)的能量較小，容易出現(xiàn)誤差，且焦距比較短，工藝設(shè)計(jì)困難；采用多光束并束不但可以改善均勻性，使得每個(gè)像素可探測(cè)的能量顯著增加，而且可放寬對(duì)所需的焦距限制，從而可降低工藝設(shè)計(jì)的難度.

關(guān)鍵詞：準(zhǔn)單色光；柯林斯公式；光學(xué)矢量-矩陣乘法器

光學(xué)矢量-矩陣乘法器是一種可并行實(shí)現(xiàn)一維向量與二維矩陣相乘的光學(xué)系統(tǒng)，以光為信息載體可以克服電子計(jì)算機(jī)串行處理的種種限制，使運(yùn)算處理的信息量和速度大大提高，利用光的特性還可方便快捷的實(shí)現(xiàn)傅里葉變換和小波變換[1].因此作為光學(xué)信息處理領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)，利用復(fù)合光學(xué)系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)矢量-矩陣乘法的光學(xué)矢量-矩陣乘法器可應(yīng)用于諸多領(lǐng)域，如光計(jì)算、光束整形、頻譜分析和匹配濾波等.自從Goodman等[2]在1978年首先提出光學(xué)矢量-矩陣乘法器的理論模型以來(lái)，該領(lǐng)域的研究引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，目前已經(jīng)提出了多種結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案并得到了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[3-8]，其發(fā)展趨勢(shì)呈現(xiàn)出運(yùn)算速度越來(lái)越快，體積越來(lái)越小，功能越來(lái)越強(qiáng)的特點(diǎn).

作為微型、集成光信息系統(tǒng)中的典型光陣列結(jié)構(gòu)，光學(xué)矢量-矩陣乘法器若采用相關(guān)光源，干涉和衍射會(huì)使得乘法器探測(cè)平面上的光強(qiáng)分布不均勻，如何降低或消除干涉、衍射對(duì)探測(cè)平面上光強(qiáng)分布的影響，對(duì)開(kāi)發(fā)高性能高質(zhì)量的光學(xué)矢量-矩陣乘法器具有重要意義.

本文針對(duì)線陣列光源發(fā)出的準(zhǔn)單色光高斯光束(波長(zhǎng)范圍：845-850nm，中心波長(zhǎng)：847nm)通過(guò)透鏡陣列、柱面透鏡陣列、SLM最后聚焦在光電探測(cè)器陣列上這一光學(xué)矢量-矩陣乘法器的典型物理模型，從結(jié)合廣義惠更斯-菲涅耳衍射積分公式和矩陣光學(xué)的柯林斯公式出發(fā)，研究了高斯光束的傳輸變換特性及SLM接收面上的光場(chǎng)分布.數(shù)值分析結(jié)果表明，通過(guò)多光束并束可以有效地改善激光束對(duì)SLM光照的均勻性.

1理論模型

光學(xué)矢量-矩陣乘法器的光路原理如圖1所示，它主要由光源陣列、球面透鏡和柱面透鏡組、空間光調(diào)制器、光探測(cè)器陣列構(gòu)成.在不考慮系統(tǒng)的像差、色差等因素的理想情況下，實(shí)現(xiàn)光學(xué)模擬矩陣-矢量相乘.一個(gè)m×n矩陣A與一個(gè)n維矢量B相乘，得到一個(gè)m維矢量C.若分別用aij，bj和ci表示A,B,C的元素，則有

(1)

圖1　 光學(xué)矢量-矩陣乘法器光路圖

為得到ci，用線陣光源來(lái)輸入矢量B，即使光源線陣中的n個(gè)面發(fā)射激光器的光強(qiáng)正比于bj(j=1,2…n).另外用一個(gè)透射式矩陣編址GaAs/AlGaAs多量子阱(MQW)空間光調(diào)制器(SLM)來(lái)輸入矩陣A，即空間光調(diào)制器的m×n個(gè)像素按矩陣形式排列，并用電學(xué)或光學(xué)的寫入信號(hào)去控制SLM各像素的透射率，使之分別正比于aij.令光源線陣位于準(zhǔn)直透鏡L的前焦面上，SLM位于柱面透鏡CL1的后焦面上，D位于柱面透鏡CL2的后焦面上.

光源將會(huì)在SLM上形成如下的照度分布：在水平方向(j值變化的方向)上，通過(guò)L和CL1，任一bj成像在SLM的第j列處；在垂直方向(i值變化的方向)上，因?yàn)镃L1在這個(gè)方向上不起作用，所以任一bj經(jīng)L形成平行光.每一bj都會(huì)在SLM上形成一條垂直光帶，它在垂直方向上的光強(qiáng)是均勻的.即SLM上的任一像素(i,j)的光強(qiáng)分布與i值無(wú)關(guān)，正比于bj，亦正比于aijbj.準(zhǔn)單色光繼續(xù)傳播，經(jīng)過(guò)第二個(gè)柱面鏡CL2被聚焦到垂直排列的光探測(cè)器陣列D上.即在水平方向上，CL2使SLM成一個(gè)縮得很小的像，在垂直方向上則CL2不起作用，使得SLM上第i行所有像素的光都集中在第i個(gè)探測(cè)器上.由于線陣光源上的各個(gè)點(diǎn)源發(fā)出的光bj互不相干，所以光探測(cè)器上第i個(gè)探測(cè)器器的輸出正比于矢量積C的相應(yīng)元素ci.即滿足公式(1).

為方便起見(jiàn)，矩陣A和矢量B的元素都取二進(jìn)制數(shù)，因而只有0和1兩個(gè)值.矢量B由線陣光源輸入，每一個(gè)光源元件對(duì)應(yīng)一個(gè)矢量的元素，當(dāng)元素值為1時(shí)，令光源發(fā)光，當(dāng)元素值為0時(shí)，令相應(yīng)的光源元件不發(fā)光.矩陣A的各元素值由SLM相應(yīng)像素的透光率表示，當(dāng)元素值為1時(shí)，SLM上對(duì)應(yīng)的像素的透光率為1；當(dāng)元素值為0時(shí)，SLM上對(duì)應(yīng)的像素的透光率為0.

可以看到，在運(yùn)算的過(guò)程中所有的乘法運(yùn)算和加法運(yùn)算都是并行地進(jìn)行的，沒(méi)有次序上的先后問(wèn)題.

本文中對(duì)光源發(fā)出的激光束在SLM上的光場(chǎng)分布進(jìn)行研究，由于光學(xué)矢量-矩陣乘法器中的多束激光是由互相獨(dú)立的光源發(fā)出的，因而任意兩束光之間是非相干的，所以我們只需要討論其中的一束，其它光束的分布只是中心位置不同,最后將它們的強(qiáng)度疊加,就可以得到一個(gè)完整的光場(chǎng)分布.考慮由面發(fā)射激光器發(fā)出的一個(gè)激光束，通過(guò)同軸的薄透鏡、一個(gè)相互垂直的正、負(fù)柱透鏡構(gòu)成的復(fù)合光學(xué)系統(tǒng)照射在SLM上，形成矩形光帶.將這兩個(gè)柱面透鏡看作是薄透鏡，且?guī)缀跷挥谕晃恢锰?高斯光束先通過(guò)柱透鏡在x方向擴(kuò)束，y方向不發(fā)生變化.緊接著通過(guò)柱透鏡在y方向縮小，x方向不發(fā)生變化.假設(shè)系統(tǒng)處于同一介質(zhì)中.此處選取空間光調(diào)制器像素陣列的列與列之間間距為65μm，而各激光束的成像系統(tǒng)光軸也是相互平行的，光軸之間的間距為65μm.復(fù)合柱面透鏡系統(tǒng)y方向的尺寸也就被限制在65μm.激光束經(jīng)過(guò)準(zhǔn)直照射到復(fù)合柱面透鏡上的腰斑尺寸也被限制在65μm.在計(jì)算中選取經(jīng)過(guò)準(zhǔn)直以后的激光束束腰半徑為20μm，與復(fù)合柱面透鏡系統(tǒng)距離為2mm.這時(shí)，激光束在復(fù)合柱面透鏡系統(tǒng)上形成的腰斑恰好是65μm.假設(shè)SLM與復(fù)合柱面透鏡系統(tǒng)之間的距離為4mm.

圖2　腰斑大小隨著柱透鏡焦距f變化的曲線

從上圖可以看出，當(dāng)焦距很小的時(shí)候，在SLM上形成很大的腰斑，隨著焦距的增加，成像腰斑逐漸減小.當(dāng)焦距剛好等于柱透鏡面上的等相位面曲率半徑時(shí)，成像腰斑達(dá)到最小，恰好等于透鏡面上入射光束的光斑半徑，即65μm.利用這一特性，我們可以做到在x方向上的擴(kuò)束，而在y方向成像腰斑為65μm.由此我們選取y方向焦距為2000μm，x方向焦距為300μm.

由于光學(xué)矢量-矩陣乘法器所使用的器件實(shí)際上尺寸都是有限的，因此必須考慮它們的衍射作用.

馬呂斯定理指出，任何沒(méi)有像散的成像系統(tǒng)中，沿任何成像路徑所測(cè)量的光程應(yīng)該相等.在直角坐標(biāo)系下，光學(xué)系統(tǒng)的程函數(shù)可用矩陣元素表示為[9]：

(2)

式中L(x1,y1,x2,y2)表示兩個(gè)參考平面上離光軸距離分別為x1,y1、x2,y2的兩點(diǎn)P1P2間的光路程，L0為沿光軸上的光程.將上式代入菲涅耳衍射積分式，得到軸對(duì)稱傍軸光學(xué)系統(tǒng)的柯林斯公式[10]

(3)

式中U1(x1,y1)為光學(xué)系統(tǒng)入射平面上的光波復(fù)振幅，U2(x2,y2)為光波穿過(guò)光學(xué)系統(tǒng)后在出射平面上的光波復(fù)振幅.傍軸光學(xué)系統(tǒng)中柯林斯公式是菲涅耳衍射積分的推廣，可以一次計(jì)算出光波通過(guò)ABCD傍軸光學(xué)系統(tǒng)的衍射場(chǎng)，而菲涅耳衍射積分只能計(jì)算光波在介質(zhì)空間中衍射平面后滿足傍軸條件的光波場(chǎng).

(4)

(5)

忽略后兩項(xiàng)以及與能量無(wú)關(guān)的相位因子，得到[11]

(6)

式(6)的形式說(shuō)明，衍射光波場(chǎng)的分布是照明光波場(chǎng)的振幅按照幾何光學(xué)傳播規(guī)律到達(dá)觀察平面后受函數(shù)ΦF(x,y)“調(diào)制”的結(jié)果.所以將ΦF(x,y)稱為菲涅耳衍射振幅調(diào)制函數(shù).

我們知道了光波場(chǎng)的振幅分布，那么很容易就可以求出光場(chǎng)的強(qiáng)度分布：

(7)

2數(shù)值計(jì)算和討論

圖3　單光束時(shí)成像面SLM上1比特位的幾何光強(qiáng)分布

圖4　直接應(yīng)用ABCD定理得到的單光束時(shí)

很明顯通過(guò)復(fù)合柱面系統(tǒng)變換后，光場(chǎng)仍是一個(gè)高斯分布圖像.

考慮衍射作用，引入菲涅耳衍射調(diào)制函數(shù)，利用公式(6)可以算出衍射光場(chǎng)分布.當(dāng)取復(fù)合柱面透鏡系統(tǒng)的尺寸孔徑y(tǒng)方向?yàn)?5μm、x方向?yàn)?00μm時(shí)，光強(qiáng)分布如圖5、6所示.

圖5　單光束時(shí)SLM上1比特位的衍射光強(qiáng)分布

圖6　單光束時(shí)SLM上1比特位的

由圖6可以看出，在x方向的光場(chǎng)分布與幾何光學(xué)的結(jié)果圖4相比較，有明顯的差異.在計(jì)算中采用柯林斯公式對(duì)光場(chǎng)分布進(jìn)行計(jì)算，引入菲涅耳衍射因子后，得到的衍射場(chǎng)實(shí)際上是幾何圖像與菲涅耳衍射因子的乘積，圖7給出了x方向的菲涅耳衍射因子分布.

圖 7　X方向的菲涅耳衍射因子

對(duì)比上面三個(gè)圖：幾何光學(xué)結(jié)果是上凸的高斯分布(圖4)，菲涅耳衍射因子在單位1附近震蕩變化(圖7).當(dāng)選用的器件尺寸較小，造成的孔徑光闌較小時(shí)，菲涅耳衍射因子的輪廓線在中心附近是下凹的，衍射光場(chǎng)在x方向投影輪廓線則在中心附近幾乎是一個(gè)平頂(圖6).雖然考慮衍射后的光場(chǎng)分布與幾何光學(xué)結(jié)果有著較大差異，但是均勻性還是有所改善.由于在x方向光束被“拉伸”得很厲害(八倍左右)，造成的影響有：(1)每個(gè)像素可探測(cè)的能量很小，容易出現(xiàn)誤差；(2)邊緣和中間平頂之間的差距過(guò)大(圖6)；(3)光束拉伸要求的放大率很大，使得x方向的焦距比較短，從而在工藝設(shè)計(jì)上易造成很大的困難.

激光多種應(yīng)用領(lǐng)域的研究表明，在多束激光束的并合光束照明時(shí)，光斑的強(qiáng)度分布均勻性較單光束照明時(shí)顯著提高[12-14].選取垂直腔面發(fā)射激光器(VCSEL)為光源，因?yàn)閂CSEL易于實(shí)現(xiàn)高密度二維面陣的集成、制作成本低廉，所以可以考慮用多光束并合取代單束光照射，獲得較理想的光束分布.

圖 8　五束光照射時(shí)在SLM上一比特位的衍射場(chǎng)

當(dāng)使用單光束成像時(shí)，在x方向?qū)⒐馐鴶U(kuò)展，在SLM上形成600μm長(zhǎng)、60μm寬的光帶.而當(dāng)使用多光束成像時(shí)，在SLM上要形成同樣長(zhǎng)寬的光帶，每一束光的擴(kuò)展相應(yīng)減小，通過(guò)優(yōu)化(3，5，7束比較，當(dāng)然光束越多，得到的均勻性越好)我們采用五束光，令每束光在SLM上形成160μm長(zhǎng)、60μm寬的光帶(光束擴(kuò)展越大，衍射越明顯)，束與束之間相距120μm.根據(jù)圖2中給出的曲線，160μm時(shí)對(duì)應(yīng)fx=800μm左右.在y方向的成像腰斑為60μm，如圖2對(duì)應(yīng)的fy仍然保持約為2000μm.下面就給出五束光照射時(shí)在SLM上一比特位的衍射場(chǎng)：

為了進(jìn)一步研究改善均勻性，我們做出了五束光情況下在成像面上x(chóng)方向1000μm和600μm范圍內(nèi)的幾何光場(chǎng)分布.

圖9　五束光照射時(shí)在SLM上一比特位在

圖10　五束光照射時(shí)在SLM上一比特位在

從上圖可以看出在一段范圍內(nèi)出現(xiàn)了近似的平頂，這與單光束的高斯分布相比，無(wú)疑有效改善了均勻性.可見(jiàn)采用多光束不但可以改善均勻性，而且改善了由于在x方向光束被“拉伸”得很厲害所造成的影響：一是使得每個(gè)像素可探測(cè)的能量顯著增加，減小了能量損失；(2)光場(chǎng)波動(dòng)不大，基本在0.35～0.5區(qū)間震蕩；(3)對(duì)于滿足x方向同樣的光束拉伸要求，需要的放大率減小，使得x方向的焦距增加，從而降低了設(shè)計(jì)困難.

3結(jié)論

本文從柯林斯公式出發(fā)對(duì)光學(xué)矢量-矩陣乘法器的光束變換特性進(jìn)行了研究.結(jié)果表明由于衍射的影響，空間光調(diào)制器平面上的光場(chǎng)分布與幾何光學(xué)結(jié)果有著較大差異，對(duì)單光束來(lái)說(shuō)，光束邊緣和中間平頂之間的差距過(guò)大，每個(gè)像素可探測(cè)的能量較小，容易出現(xiàn)誤差，光束拉伸要求的放大率較大，要求焦距比較短，工藝設(shè)計(jì)困難；采用多光束并束不但可以改善均勻性，使得每個(gè)像素可探測(cè)的能量顯著增加，而且需要的放大率減小，使得要求的焦距增加，從而降低了設(shè)計(jì)困難.

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(作者本人校對(duì))

Quasi-monochromatic Light Propagation and Optical Field Distribution in Optical Vector Matrix Multiplier

ZHOU Xiaoxia, ZHANG Zhuxian, YANG Cheng

(Department of Electronic Information and Electrical Engineering, Changsha University,Changsha Hunan 410022, China)

Abstract：In this paper, using the Collins formula, the modulation properties of the quasi-monochromatic light through an optical vector-matrix multiplier have been studied, and the optical field distributions in the plane of spatial light modulator are analyzed in detail. Results show that single beam design is easy to cause errors, because the energy detected by each pixel on the spatial light modulator is small. And the single beam design requires relatively short focal length, which leads to some design difficulties. By using multi beam design, the uniformity of the light field distribution can be improved, so that the energy detected by each pixel can be much higher. It can also broaden the limit of focal length, which can reduce the difficulty of the process design.

Key Words：quasi-monochromatic light; Collins formula; optical vector matrix multiplier

中圖分類號(hào):TN248.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-4681(2016)02-0026-05

作者簡(jiǎn)介：周曉霞(1981— )，女，江蘇鹽城人，長(zhǎng)沙大學(xué)電子信息與電氣工程系講師，碩士.研究方向：光子晶體、光學(xué)超材料.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)：61308005)資助項(xiàng)目；湖南省教育廳一般項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)：15C0126)；長(zhǎng)沙市科技計(jì)劃 (批準(zhǔn)號(hào)：K1407008-11).

收稿日期：2015-12-24