劉 勝 程垠鐘

（哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院 哈爾濱 150001）

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基于多維gPC的船舶電力推進系統(tǒng)仿真不確定性分析

劉 勝 程垠鐘

（哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院 哈爾濱 150001）

摘要為了解決在船舶電力推進系統(tǒng)設(shè)計研發(fā)過程中面臨不確定性因素較多的問題，將廣義多項式混沌（gPC）應(yīng)用到系統(tǒng)仿真的不確定性分析中，并通過張量積將一維的gPC擴展到了多維。通過在一階隨機微分方程中的應(yīng)用，驗證了方法的有效性。在此基礎(chǔ)上，對船舶電力推進系統(tǒng)在多個隨機變量共同影響下的響應(yīng)進行了建模、仿真和不確定性分析，得到了系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計特性。研究結(jié)果表明，構(gòu)建的多維廣義多項式混沌能夠有效地對船舶電力推進系統(tǒng)在多個不確定因素共同影響下的響應(yīng)進行定量的不確定性分析。在多個隨機變量的共同影響下，系統(tǒng)的動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程都將受到影響，在過渡過程中將會出現(xiàn)影響最嚴重的時刻，從而為設(shè)計研發(fā)提供參考。

關(guān)鍵詞：船舶電力推進 仿真 不確定性分析 廣義多項式混沌

國家自然科學(xué)基金資助項目（51279036）。

0 引言

隨著電力電子技術(shù)、現(xiàn)代控制理論及其他相關(guān)技術(shù)的發(fā)展，船舶電力推進系統(tǒng)越來越受到世界各國的關(guān)注和重視。船舶電力推進使得船舶的推進系統(tǒng)和電力系統(tǒng)有機結(jié)合在一起[1]，能夠給船舶帶來一系列優(yōu)點，包括電能的合理分配、有效倉容的增加、隱身性和舒適性的提高等[2]。然而，與船舶電力推進系統(tǒng)的優(yōu)點相對應(yīng)的是在系統(tǒng)設(shè)計研發(fā)過程中需要面對的諸多不確定性。船舶電力推進系統(tǒng)的推進電機與螺旋槳同軸連接，由于受到隨機海浪的影響，作用于電動機軸上的負載轉(zhuǎn)矩也將是隨機的，這種不確定性必然會對船舶電力推進系統(tǒng)的運行產(chǎn)生影響[3]。此外，時變的電動機參數(shù)，如受溫度變化影響的電阻、軸承的摩擦及鐵磁材料的飽和等都使船舶電力推進系統(tǒng)的不確定性影響更加嚴重[4]。

動態(tài)仿真的不確定性分析方法適于定量分析包含不確定參數(shù)的隨機系統(tǒng)，目前已經(jīng)在陸地電力系統(tǒng)的仿真中得到了一定的應(yīng)用[5-7]，而在船舶電力推進系統(tǒng)這樣一個獨立的且受不確定性因素影響嚴重的系統(tǒng)中還沒有得到廣泛應(yīng)用。不確定性分析方法主要分為兩大類：統(tǒng)計方法和非統(tǒng)計方法。

傳統(tǒng)的不確定性仿真分析方法如蒙特卡洛法[8]等存在仿真次數(shù)多、仿真時間長的缺點。廣義多項式混沌（generalized Polynomial Chaos，gPC）是一種非統(tǒng)計方法，起源于R.G.Ghanem等在解決隨機力學(xué)的多種問題中在多項式混沌展開方面進行的研究[9]。D.Xiu等在其基礎(chǔ)上進行了擴展，從而提出了廣義多項式混沌[10]，證明了存在最優(yōu)的正交多項式與不同概率密度的變量相對應(yīng)，可以根據(jù)隨機輸入確定隨機變量的概率密度，根據(jù)隨機輸入的權(quán)重函數(shù)選擇對應(yīng)的正交多項式。gPC方法目前已經(jīng)應(yīng)用在求解隨機常微分方程（Ordinary Differential Equation,ODE）、偏微分方程以及計算流體力學(xué)的不確定性分析方面[11]，在控制理論和電路分析等方面也有初步應(yīng)用[12,13]。研究結(jié)果表明，gPC方法與傳統(tǒng)方法相比，能夠顯著提高分析的效率。國內(nèi)在gPC方面的研究也已經(jīng)開展，王曉東等采用該方法求解了隨機Burgers方程，介紹了其與流體力學(xué)的耦合過程，驗證了gPC在隨機流動模擬中的有效性[14]；韓冬等應(yīng)用隨機響應(yīng)面法開展了針對陸地電力系統(tǒng)的動態(tài)仿真不確定性分析研究[15]，隨機響應(yīng)面法也屬于gPC方法的應(yīng)用范疇，其采用了概率配點的方式進行多項式混沌系數(shù)的求解，研究結(jié)果表明隨機響應(yīng)面法能夠克服傳統(tǒng)不確定性分析方法的缺點。到目前為止，尚沒有文獻在多個不確定性參數(shù)共同影響下定量地進行系統(tǒng)仿真的不確定性分析。

本文為了解決存在的問題，將gPC方法應(yīng)用到船舶電力推進系統(tǒng)的動態(tài)仿真研究中，并采用張量積構(gòu)建多維gPC基底，結(jié)合Galerkin映射[10]進行多項式混沌系數(shù)的求解。通過使用該方法，能夠?qū)崿F(xiàn)對多項式混沌維數(shù)的擴展，從而實現(xiàn)對船舶電力推進系統(tǒng)在多個不確定性參數(shù)共同影響下的隨機響應(yīng)進行定量分析的目的。

1 廣義多項式混沌

對于任意一個二階隨機變量u（ω），都可以使用廣義多項式混沌展開表示為

式中，δij為克羅尼克-Δ函數(shù)；為Hilbert空間的內(nèi)積。有

式中，W（ξ）為權(quán)函數(shù)。

Askey法則中隨機變量的概率密度與最優(yōu)正交多項式的對應(yīng)關(guān)系見表1。

表1　Askey法則不同概率分布對應(yīng)的正交多項式Tab.1 The correspondent Askey orthogonal polynomial chaos with different probability distribution

在進行實際的數(shù)值計算時，需要對多項式混沌展開式進行截斷

M取決于隨機變量的維數(shù)N和正交多項式基底的最高階數(shù)P。M可以通過下式進行計算

在實際系統(tǒng)中，往往包含多個不確定性參數(shù)，因此，基本的單變量、一維gPC無法解決多個不確定參數(shù)共同影響下系統(tǒng)的響應(yīng)問題，因此，本文采用張量積的方法將一維的gPC擴展到多維。

在包含多個概率密度函數(shù)相同的隨機參數(shù)的系統(tǒng)中，隨機變量的維數(shù)N＞1，將一維的正交多項式表示為，通過將一維的正交多項式張量化構(gòu)建多維的多項式混沌

定義N個隨機參數(shù)的索引，k＝{k1,…,k1,…,kN}，從而得到

在系統(tǒng)存在多個不確定性參數(shù)的情況下，利用構(gòu)建的多維gPC基底，可以將系統(tǒng)中的各個狀態(tài)表示成式（1）所示的形式，結(jié)合Galerkin映射，根據(jù)正交性關(guān)系式（2）可以求得多項式混沌展開式的系數(shù)，在得到系數(shù)之后，通過處理便可以得到系統(tǒng)響應(yīng)的各階矩，包括均值和方差，可以表示為

通過張量積的構(gòu)建?？梢詫⒁痪S的多項式混沌擴展到多維，可以實現(xiàn)對包含多個不確定參數(shù)的系統(tǒng)的仿真不確定性分析。

2 多維gPC有效性驗證

為了對構(gòu)建的多維gPC進行驗證，將其應(yīng)用到一階隨機微分方程的求解中?？紤]一階隨機微分方程

隨機微分方程解的均值和方差可以通過下式進行計算

采用多項式混沌對微分方程中的隨機變量進行展開，由表可知，均勻分布的隨機變量對應(yīng)的最優(yōu)多項式為Legendre多項式。一維Legendre多項式的三項遞推公式可以表示為

其權(quán)函數(shù)可以表示為

由于系統(tǒng)包含兩個隨機參數(shù)，根據(jù)多維gPC的構(gòu)建方法，二維的Legendre多項式基底可以表示為

為表示方便，省略上標。隨機變量C可以表示為

利用Galerkin映射可以將隨機的微分方程轉(zhuǎn)化成確定的微分方程，有，使得任意φ（ζ）∈VΓ和則

將多項式混沌展開式代入式（22）和式（23），根據(jù)多項式混沌的正交性，經(jīng)整理之后可以得到

式中，k＝0,…,M；x?k為多項式混沌的模式；和分別為Legendre多項式的二重和三重內(nèi)積，可以通過在已知區(qū)間內(nèi)的二重積分求得。

在完成數(shù)值積分后，可以根據(jù)式（8）和式（9）通過得到的多項式混沌的系數(shù)重構(gòu)隨機微分方程解的統(tǒng)計特性，隨機微分方程解的均值和方差可以表示為

圖1　P＝3時得到的不確定性仿真結(jié)果Fig.1 Solution of the uncertainty simulation when P＝3

圖2　P＝1～3時解的方差同解析解的比較Fig.2 Variations compared to the analytic solution when P＝1 to 3

圖1給出了N＝2、P＝3時求得的多項式混沌的模式，其個數(shù)滿足式（5）的關(guān)系，隨著P的增加，其個數(shù)將按照指數(shù)的趨勢增加。圖2給出了P＝1～3時，不確定性仿真得到的解的方差同解析解的比較，其中“ref”代表解析解得到的結(jié)果?？梢钥闯?，隨著P的增加，通過不確定性仿真得到的方差曲線逐漸向解析解的方差曲線靠近，在P＝3時，兩者基本吻合，這說明隨著多項式混沌階數(shù)P的增大，不確定性仿真的準確度也越來越高，但需要求解的ODE的個數(shù)也將大大增加，通過多維gPC在一階隨機微分方程求解中的應(yīng)用證明了該方法在求解包含多個不確定性參數(shù)的系統(tǒng)中的有效性。

3 船舶電力推進系統(tǒng)仿真不確定性分析

為了使用gPC對船舶電力推進系統(tǒng)進行不確定性的仿真，首先需要進行系統(tǒng)的建模，并將模型表示為ODE的形式。本文研究的船舶電力推進系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示[16]，其中包括了PWM電壓源逆變器（PWM-VSI）、直接轉(zhuǎn)矩控制（Direct Torque Control,DTC）、感應(yīng)推進電機以及船槳負載。

圖3　船舶電力推進系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Structure of the ship electric propulsion system

感應(yīng)推進電機的模型建立在定子磁鏈參考坐標系下，PWM-VSI采用平均值模型[17]，輸入的PWM脈沖可以使用正弦電壓信號進行平均，表示為“mdqs”，感應(yīng)推進電機的轉(zhuǎn)矩控制采用了恒開關(guān)頻率DTC方法[18]，使用兩個PI控制器分別調(diào)節(jié)感應(yīng)推進電機的轉(zhuǎn)矩和磁鏈。螺旋槳的推力系數(shù)和轉(zhuǎn)矩系數(shù)以及船舶的航行阻力等擬合成表達式的形式，系統(tǒng)的輸入包括直流母線電壓、DTC系統(tǒng)中感應(yīng)推進電機的電磁轉(zhuǎn)矩給定和定子磁鏈給定，船槳負載的輸入為感應(yīng)推進電機的轉(zhuǎn)速，輸出為感應(yīng)推進電機的負載轉(zhuǎn)矩。系統(tǒng)各部分包含的狀態(tài)變量以及輸入、輸出關(guān)系如圖4所示。

圖4　船舶電力推進系統(tǒng)各狀態(tài)變量與連接關(guān)系示意圖Fig.4 State variables and connections of the ship electric propulsion system

經(jīng)過推導(dǎo)，得到系統(tǒng)的七階ODE模型為

式中

式中，λs、λrd、λrq和ωm分別為感應(yīng)推進電機的定子磁鏈、轉(zhuǎn)子d軸和q軸磁鏈以及轉(zhuǎn)速；xT，xλ為DTC控制中轉(zhuǎn)矩控制和磁鏈控制引入的內(nèi)部狀態(tài)變量；vs為船舶的航速；KLP、KLI、KTP和KTI分別為轉(zhuǎn)矩控制器和磁鏈控制器的PI參數(shù)；J為轉(zhuǎn)動慣量；p為感應(yīng)推進電機的極對數(shù)；KT和KQ分別為螺旋槳的推力系數(shù)和轉(zhuǎn)矩系數(shù)；td為推力減額系數(shù)；ρ為海水的密度；D為螺旋槳的直徑；Fr為船舶的航行阻力；m和ma分別為船舶的質(zhì)量和附加質(zhì)量。

船舶電力推進系統(tǒng)中的推進電機為三相、19MW的感應(yīng)電動機，系統(tǒng)各部分的參數(shù)如下[19]。

（1）感應(yīng)推進電機參數(shù)

Rs＝27m?，Rr＝8m?，fb＝15Hz，Lls＝1.5mH，Llr＝1.7mH，Lm＝31.7mH，p＝6。

（2）船槳負載參數(shù)

D＝5.5m，ρ＝1 025kg/m3，m＝1.327×107kg，ma＝1.08。

隨機海浪的擾動以及溫度等環(huán)境的變化將直接對系統(tǒng)的參數(shù)產(chǎn)生影響。首先，感應(yīng)推進電機的轉(zhuǎn)子電阻受到溫度的影響非常嚴重，其最大的變化范圍可以達到其原始測量值的100%[20]；其次，船舶電力推進系統(tǒng)的推進電機和螺旋槳同軸相連，其轉(zhuǎn)動慣量由感應(yīng)推進電機的轉(zhuǎn)動慣量和螺旋槳的轉(zhuǎn)動慣量兩方面構(gòu)成，隨機海浪的擾動會給螺旋槳的旋轉(zhuǎn)帶來附加的轉(zhuǎn)動慣量，約在其原始值的0.3倍左右[21,22]，本文假設(shè)感應(yīng)推進電機的轉(zhuǎn)子繞組Rr在其平均值的±30%范圍內(nèi)均勻分布，轉(zhuǎn)動慣量J在其平均值的±40%范圍內(nèi)均勻分布，由于溫度和海浪的隨機干擾沒有關(guān)聯(lián)，使得轉(zhuǎn)子繞組電阻和轉(zhuǎn)動慣量相互獨立。

仿真的工況為在初始時刻時以20kN·m/s的速度給定磁轉(zhuǎn)矩，在50s時給定電磁轉(zhuǎn)矩達到1 000kN·m時保持穩(wěn)定，仿真共200s，不確定性仿真的多項式混沌階數(shù)P＝7，則經(jīng)過二維Legendre多項式混沌展開之后，系統(tǒng)將包含252個ODE，通過數(shù)值積分算法對252個ODE進行數(shù)值積分求解，求解完成后對數(shù)值解進行重構(gòu)可以得到各狀態(tài)變量以及輸出的均值與方差，仿真結(jié)果如圖5～圖9所示。

圖5　電磁轉(zhuǎn)矩仿真結(jié)果Fig.5 Simulation result of the electromagnetic torque

圖6　定子磁鏈仿真結(jié)果統(tǒng)計特性Fig.6 Simulation results of the stator flux

圖7　感應(yīng)推進電機轉(zhuǎn)速仿真結(jié)果統(tǒng)計特性Fig.7 Simulation results of the motor rotational speed

圖8　船舶航速仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results of the ship speed

圖9　船舶航速仿真結(jié)果Fig.9 Simulation results of the ship speed

圖5給出了電磁轉(zhuǎn)矩的仿真結(jié)果曲線，可以看出，電磁轉(zhuǎn)矩跟隨給定值，從0時刻以20kN·m/s的速度增加，到50s時達到1 000kN·m并保持穩(wěn)定。圖6分別給出了定子磁鏈仿真結(jié)果統(tǒng)計特性的全過程和局部曲線，圖7和圖8給出了感應(yīng)推進電機和船舶航速仿真結(jié)果的統(tǒng)計特性曲線，包括了均值、以及均值加減標準差?？梢钥闯?，由于磁鏈控制器的作用，定子磁鏈迅速達到穩(wěn)定，在電磁轉(zhuǎn)矩的上升階段，電動機的轉(zhuǎn)速迅速上升，當電磁轉(zhuǎn)矩達到并保持穩(wěn)定之后，電動機轉(zhuǎn)速增幅變小，逐漸趨于穩(wěn)定；船舶的航速由于慣性時間常數(shù)較大，在經(jīng)過了一段快速上升的過程后逐漸趨于穩(wěn)定。從統(tǒng)計特性可以看出，兩個不確定性參數(shù)對狀態(tài)變量的動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程都將產(chǎn)生影響，其中動態(tài)過程中影響較大，進入穩(wěn)態(tài)后影響較小。圖9給出了仿真全過程中電動機定子磁鏈、轉(zhuǎn)速和船舶航速的方差曲線，通過方差曲線可以看出，狀態(tài)變量的動態(tài)過程中方差較大，進入穩(wěn)態(tài)后逐漸減小，這也與圖6～圖8得到的結(jié)果吻合；還可以看出，方差在從動態(tài)過程即將進入穩(wěn)態(tài)時將出現(xiàn)一個最大值，此時，系統(tǒng)隨機響應(yīng)在平均值上下的波動將最為嚴重，不確定性的參數(shù)對系統(tǒng)的影響也最為嚴重，得到的定量的不確定性分析結(jié)果能夠為系統(tǒng)的設(shè)計研發(fā)提供參考。

4 結(jié)論

在設(shè)計研發(fā)階段，由于船舶電力推進系統(tǒng)所面臨的不確定性因素較多，利用傳統(tǒng)的仿真不確定性分析手段將會使得整個設(shè)計研發(fā)過程效率低。本文在傳統(tǒng)的一維gPC的基礎(chǔ)上，利用張量積構(gòu)建了多維的gPC，通過其在一維隨機微分方程中的應(yīng)用提出了利用構(gòu)建的多維gPC進行多個不確定性因素共同影響下不確定性分析的方法和流程，并驗證了方法的有效性?；谠摲椒ㄟM行了船舶電力推進系統(tǒng)的動態(tài)仿真不確性分析，得到的結(jié)果能夠直接應(yīng)用到船舶電力推進系統(tǒng)的設(shè)計研發(fā)中，解決系統(tǒng)受不確定性因素影響較多的問題。

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劉 勝 男，1957年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為隨機系統(tǒng)最優(yōu)估計與控制、船舶電力推進和復(fù)雜性科學(xué)等。

E-mail:cyz410410@163.com

程垠鐘 男，1987年生，博士研究生，研究方向為船舶綜合電力推進系統(tǒng)的建模與仿真。

E-mail:cyzelvis@163.com（通信作者）

Uncertainty Analysis for Simulation of Shipboard Electric Propulsion System Based on Multi-Dimensional gPC

Liu Sheng Cheng Yinzhong
（College of Automation Harbin Engineering University Harbin 150001 China）

AbstractIn order to analyze the influence of many uncertain factors on the design stage of shipboard electric propulsion systems,gPC was applied in the uncertainty analysis of system simulation.A method to construct multi-dimensional gPC from one-dimension gPC by tensor product was adopted in this paper.By applying the method in the first-order stochastic differential equation,the efficiency of the proposed method was validated.Then,uncertainty analysis of the simulation for the shipboard electric propulsion systems arising from two independent random variables was analyzed.The statistical properties of variables were obtained.The results showed that the proposed method can simulate and analyze the performance of the shipboard electric propulsion system affected by multiple uncertain factors effectively.The dynamic and steady-state performance of the system will be affected by the random variables.The largest impact appears when the system is about to steady-state from dynamic process,which can provide reference for design and development.

Keywords：Shipboard electric propulsion,simulation,uncertainty analysis,generalized polynomial chaos

作者簡介

收稿日期2013-10-22 改稿日期 2013-12-05

中圖分類號：TM743