黃青華,張翼飛,劉　凱

(上海大學通信與信息工程學院,上海 200072)

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一種新的基于EEF準則的空間聲源個數(shù)估計算法

黃青華,張翼飛,劉凱

(上海大學通信與信息工程學院,上海 200072)

摘要：針對指數(shù)嵌入族(Exponentially Embedded Families,EEF)準則在快拍數(shù)小于陣元數(shù)情況下無法估計聲源個數(shù)的問題,本文提出一種新的空間聲源個數(shù)估計算法.首先通過球麥克風陣列采集空間聲場高階信息,建立球陣列信號模型,將聲源個數(shù)估計擴展到三維空間.繼而將觀測信號空間分解為信號子空間和噪聲子空間,利用最小均方差(Minimum Mean-Squared Error,MMSE)方法估計觀測信號空間及噪聲子空間的協(xié)方差矩陣,確保矩陣估計的一致性和準確性.在此基礎(chǔ)上改進似然比函數(shù),同時引入新的自由度計算,使得算法在快拍數(shù)小于陣元數(shù)的情況下能有效估計聲源個數(shù).仿真結(jié)果表明,在進行空間聲源個數(shù)估計時,相對于EEF準則,新的算法不僅適用于快拍數(shù)小于陣元數(shù)情況,同時提高了估計準確率.

關(guān)鍵詞:空間聲源個數(shù)估計;球麥克風陣列;指數(shù)嵌入族準則;最小均方差

1引言

信源個數(shù)估計是陣列信號處理的首要環(huán)節(jié),在雷達、聲納、勘探、通信和生物醫(yī)學等多個領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.大多數(shù)信源個數(shù)估計算法都是以線陣和平面陣[1,2]為基礎(chǔ)建立信號模型進行個數(shù)估計.近年來,球陣逐步受到人們的重視,由于具有三維空間的旋轉(zhuǎn)對稱結(jié)構(gòu)和較高的空間分辨率,球陣相對于線陣和平面陣,能夠?qū)臻g源場進行更加充分的采樣[3].

準確的信源個數(shù)估計是各類空間譜估計算法的前提條件,決定著信源定位和分離等處理的性能優(yōu)劣.Wax和Kailath[4]首次將信息論準則引入信源個數(shù)估計中,提出Akaike信息準則(Akaike Information Criterion,AIC)和最小描述長度(Minimum Description Length,MDL)準則,解決了假設(shè)檢驗類方法需要人為設(shè)定閾值的問題.但AIC在小樣本的情況下存在過估計的問題,而且AIC不屬于一致性估計.MDL準則是一致性估計,但在小樣本和低信噪比的情況下存在欠估計問題[5].此后,許多學者提出了一些基于信息論準則的改進算法.Wax[6]采用正交投影的方法對觀測數(shù)據(jù)進行空間分解,將MDL準則應(yīng)用到了多相干信源個數(shù)的估計中.Huang和Wu[7]提出了一種低復雜度的MDL方法,利用多級維納濾波器對觀測數(shù)據(jù)進行快速空間分解,降低了計算復雜度,并且適用于低快拍數(shù)和低信噪比的情況.Xu和Kay[8]將指數(shù)嵌入族理論應(yīng)用到信源個數(shù)估計問題中,采用均勻線性陣列估計平面內(nèi)的信源個數(shù).相對于MDL準則,EEF引入似然比函數(shù),在低快拍數(shù)和低信噪比情況下具有更高的估計準確率.但現(xiàn)有EEF準則采用的樣本協(xié)方差矩陣,作為協(xié)方差矩陣的估計,在快拍數(shù)小于陣元數(shù)的情況下無法有效估計協(xié)方差矩陣[9],直接影響到EEF準則的估計性能.

隨著3D音頻的發(fā)展,三維空間多聲源個數(shù)估計受到了廣泛關(guān)注.本文利用球麥克風陣列采集空間聲場信息,建立球陣列信號模型,進行三維空間上的聲源個數(shù)估計.考慮到EEF準則的優(yōu)缺點,提出一種新的基于EEF準則的空間聲源個數(shù)估計算法.首先將觀測信號空間分解為信號子空間和噪聲子空間,通過求取空間分解后的最大似然函數(shù),產(chǎn)生新的似然比函數(shù).然后利用最小均方差方法得到觀測信號空間及噪聲子空間協(xié)方差矩陣的一致性估計矩陣,改進自由度計算,提高聲源個數(shù)估計性能.新的算法在低信噪比和低快拍數(shù)以及小角度間隔情況下提高了個數(shù)估計準確率.

2空間聲源個數(shù)估計

2.1球陣列信號模型

L個相互獨立、各向同性的麥克風分布在半徑為R的剛性球體表面.建立球坐標系如圖1所示.球麥克風陣列的球心為坐標系原點O,陣元l(l=1,2,…,L)的位置可表示為Rl=(R,Ωl),其中Ωl=(θl,φl),θl和φl分別表示陣元l的俯仰角和方位角.

遠場條件下,從Φd=(?d,φd)方向入射一單位幅度的窄帶平面波,波數(shù)k=ω/c,ω為平面波的角頻率,c為聲速.平面波在陣元l處產(chǎn)生的聲壓可表示為[10]:

(1)

(2)

現(xiàn)假設(shè)有D個窄帶平面波,分別從不同位置入射到球麥克風陣列,受高斯白噪聲的影響,陣元l處的實際聲壓為[11]:

(3)

t=1,2,…,T表示快拍數(shù),xd(k,t)是Φd方向入射平面波幅度,d=1,2,…,D.v(k,Ωl,t)表示陣元l上的噪聲幅度.

球麥克風陣列接收的信號向量可以寫作:

P(t)=AX(t)+V(t)

(4)

其中,P(t)=[p(k,Ω1,t),p(k,Ω2,t),…,p(k,ΩL,t)]T表示觀測信號,X(t)=[x1(k,t),x2(k,t),…,xD(k,t)]T表示入射聲源信號,V(t)=[v(k,Ω1,t),v(k,Ω2,t),…,v(k,ΩL,t)]T表示噪聲,(·)T為矩陣的轉(zhuǎn)置,用σ2表示噪聲功率,噪聲與聲源信號之間相互獨立,A是一個L×D的導向矩陣,它描述聲源信號到陣元的空間傳輸特性.根據(jù)式(1),導向矩陣A可分解為:

A=Y(Ω)BYH(Φ)

(5)

Y(Ω)是一個L×(N+1)2的球諧矩陣:

(6)

B是一個(N+1)2×(N+1)2的對角矩陣:

(7)

Y(Φ)是一個D×(N+1)2的球諧矩陣,與Y(Ω)結(jié)構(gòu)相同,(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置.

P(t)的協(xié)方差矩陣為Σ=Ε{P(t)PH(t)},Ε{·}代表數(shù)學期望.用λl(l=1,2,…,L)表示Σ的特征值.其中λl滿足如下規(guī)律:

λ1≥…≥λD≥λD+1=…=λL=σ2

(8)

根據(jù)上述規(guī)律,只要找出(L-D)個重復的較小特征值,就可以確定聲源個數(shù)D.考慮到實際情況下,Σ無法精確得到,一般由樣本協(xié)方差矩陣S估計.S可通過觀測信號的有限個快拍數(shù)據(jù)求取:

(9)

用cl(l=1,2,…,L)表示樣本特征值,其排列規(guī)律如下:

c1≥…≥cD≥cD+1≥…≥cL

(10)

可以看出,樣本協(xié)方差矩陣的特征值呈現(xiàn)出一種非遞增規(guī)律,利用較小特征值來確定聲源個數(shù)D會引起較大估計誤差.在以均勻線陣為模型的信源個數(shù)估計問題中,EEF準則在保證了一致性的同時,估計性能在低信噪比、低快拍數(shù)情況下相對于MDL準則有所提升.

2.2基于EEF準則的估計算法

假設(shè)聲源個數(shù)為d,協(xié)方差矩陣Σ可表示為:

(11)

IL表示L×L單位矩陣,用Θ(d)表示信號模型的參數(shù)向量:

(12)

(13)

EEF準則可表示為:

(14)

wd=d(2L-d)+1

(15)

u(·)表示階躍函數(shù),wd表示參數(shù)Θ(d)的自由度.EEF(d)取最大值時所對應(yīng)d值即為待估計的聲源信號個數(shù).

EEF準則通常采用樣本協(xié)方差矩陣S作為Σ的估計矩陣.在L≤T的情況下,S屬于無偏估計,但其均方差過高;在L>T的情況下S的估計偏差過大[9].其次,基于信息論的聲源個數(shù)估計準則大都是在T>L的情況下進行運算的[4～6],此時Σ的特征值個數(shù)為L,但在T

針對上述問題,本文提出了一種新的基于EEF準則的估計算法.首先引入空間分解概念,將觀測空間分為信號子空間和噪聲子空間,求解空間分解后的似然函數(shù),使得似然比函數(shù)中包含觀測空間和噪聲子空間的協(xié)方差矩陣.進而利用MMSE方法估計兩協(xié)方差矩陣,得到更準確的一致性估計矩陣.改進自由度的計算,最終得到該估計算法.

3新的空間聲源個數(shù)估計算法

已知觀測向量P(t)的協(xié)方差矩陣Σ的維數(shù)為L×L.當快拍數(shù)T≥L時,Σ為滿秩矩陣,非零特征值個數(shù)為L;T

(16)

(17)

信號和噪聲子空間與觀測空間存在如下關(guān)系[13]:

(18)

將式(18)代入到式(16)中得:

(19)

相應(yīng)的對數(shù)似然比函數(shù)可表示為:

(20)

(21)

(22)

現(xiàn)有多種基于MMSE的矩陣估計算法,如OAS、RBLW等,不同方法構(gòu)造出的收縮系數(shù)ρ不同,這些算法大都是通過矩陣運算求得ρ[9].為得到更加準確的估計矩陣,本文利用樣本特征值[13]求解ρ如下:

(23)

cl(l=1,2,…,ε)為樣本特征值,考慮到實際計算時ρ可能大于1,用β=min(ρ,1)[9]代替ρ帶入式(22)中,得到估計矩陣如下:

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

對觀測空間進行空間分解后,信號子空間自由度為d2,噪聲子空間自由度為1,得到總的自由度為d2+1.文獻[14]指出,計算自由度時,應(yīng)著重考慮信號子空間的d個特征向量,信號子空間的d個特征值可忽略,得到新的自由度:

(29)

接下來的仿真結(jié)果表明,改進的自由度計算可使估計性能得到進一步改善.

最終,將式(28)和式(29)代入EEF準則,得到新的基于EEF準則的空間源個數(shù)估計算法NEEF(Novel Exponentially Embedded Families)算法.可得:

(30)

NEEF(d)取最大值時所對應(yīng)d的值即為聲源信號的個數(shù).當d=D時,聲源個數(shù)估計正確.新的算法不僅適用于球陣列,在基于線陣及平面陣的聲源個數(shù)估計問題中同樣適用.

4仿真實驗

采用一個半徑R=5cm,陣元數(shù)為32元的均勻球麥克風陣列.通過MATLAB進行5組仿真實驗,每組仿真結(jié)果都是經(jīng)過2000次Monte Carlo實驗得到的.以準確估計的概率作為評價指標,驗證改進自由度公式對新算法估計性能的改善以及新算法在空間聲源個數(shù)估計問題中的有效性.

第1組實驗中三個平面波分別從(112°,76°),(208°,119°)和(238°,95°)方向入射,信噪比從-10dB以步長1dB變化到0dB.自由度公式對新算法估計性能的影響如圖2所示.NEEF(40)、NEEF(20)分別表示在快拍數(shù)為40和20時,NEEF算法的估計概率曲線.ODOF-EEF (40)、ODOF-EEF(20)分別表示在快拍數(shù)為40和20時,NEEF算法在不改變自由度公式情況下得到的估計概率曲線,ODOF-EEF (Original Degrees Of Freedom Exponentially Embedded Families)算法表示將原始自由度公式(15)以及改進過后的似然比函數(shù)式(28)帶入EEF準則得到的算法.可以看出,在T=40和T=20情況下,NEEF的估計準確率均高于ODOF-EEF的準確率.且T=20情況下NEEF的準確率高于T=40時ODOF-EEF的準確率.

第2組實驗采用和第1組相同的聲源,信噪比同樣從-10dB以步長1dB變化到0dB.聲源個數(shù)正確估計的概率和信噪比之間的關(guān)系如圖3所示.NEEF(40)、NEEF(20)分別表示在快拍數(shù)為40和20時,NEEF的估計概率曲線,EEF(40)、EEF(20)分別表示在快拍數(shù)為40和20時,EEF的估計概率曲線.可以看出在快拍數(shù)T=40的情況下,NEEF和EEF方法都可以準確估計聲源個數(shù),但是在低信噪比情況下,NEEF優(yōu)于EEF方法.在T=20情況下,EEF準則無法估計聲源個數(shù),然而NEEF仍具備較高的估計準確性,可以看出此時NEEF的估計準確率和EEF準則在T=40情況下的估計準確率相近.

第3組實驗中采用和第1組相同的聲源,信噪比為-4dB,快拍數(shù)從10以步長10變化到70.仿真結(jié)果如圖4所示,隨著快拍數(shù)的增加,兩者準確估計聲源個數(shù)的概率也隨之增大.當快拍數(shù)低于陣元數(shù)時,EEF準則無法準確估計聲源的個數(shù).快拍數(shù)為10時,NEEF準則估計的準確率逐漸升高,當快拍數(shù)增大到30時,NEEF的估計準確率達到1,可以準確估計聲源個數(shù).

第4組實驗中信噪比取10dB.兩個平面波分別從(112°,76°)和(208°,119°)方向入射,第三個平面波與第一個平面波的方位角之差從1°變化到10°,俯仰角和第一個平面波相同.基于NEEF和EEF準則的空間聲源個數(shù)正確估計概率如圖5所示.可以看出,T=40時,NEEF和EEF方法都可以準確估計聲源個數(shù),但NEEF準則的估計準確性要高于EEF方法.T=20時,傳統(tǒng)EEF方法無法正確估計聲源個數(shù),而NEEF的估計性能從方位角為2°開始逐步提高,且方位角在3°到6°范圍內(nèi)時,NEEF的估計準確率高于快拍數(shù)為40情況下EEF的估計準確率.

第5組實驗信噪比取8dB,聲源個數(shù)從1以步長為1變化到10.第i(i=1,2,…,10)個聲源的方位角和俯仰角均為(20i)°,從圖6可以看出在T=40情況,EEF和NEEF方法都可以準確估計聲源個數(shù).在T=20情況下,EEF方法無法正確估計聲源個數(shù),當聲源數(shù)小于5時,NEEF仍具有正確估計聲源個數(shù)的能力,隨著聲源數(shù)增大,估計準確率急劇下降.

5總結(jié)

本文通過球麥克風陣列采集空間聲場信息,利用球諧函數(shù)分解聲場,建立球陣列信號模型,從而進行空間聲源個數(shù)估計.針對EEF準則在快拍數(shù)小于陣元數(shù)情況下無法有效估計聲源個數(shù)的問題,提出了一種新的基于EEF準則的空間聲源個數(shù)估計算法.算法通過引入空間分解將觀測空間劃分為信號子空間和噪聲子空間,改進似然比函數(shù)及自由度計算,利用MMSE估計觀測空間和噪聲子空間的協(xié)方差矩陣,提高了矩陣估計的準確性,得到新的聲源個數(shù)估計算法.該算法相比于傳統(tǒng)EEF在低信噪比、低快拍數(shù)以及小角度間隔等方面的估計性能得到了改善,并且在快拍數(shù)小于陣元數(shù)情況下具備估計聲源個數(shù)的能力.文中所用的聲源信號為非相干信號,在實際的應(yīng)用中,還必須要考慮聲源信號相干的情況,因此,三維空間內(nèi)相干聲源的個數(shù)估計問題將是下一步的研究重點.

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黃青華女,1978年生,山東人,獲得上海交通大學圖像處理與模式識別研究所博士學位.現(xiàn)為上海大學通信與信息工程學院副教授.研究領(lǐng)域包括信號處理,3D音頻,貝葉斯算法.

E-mail:qinghua@shu.edu.cn

張翼飛女,1991年生,河南人,獲得河南大學工科學士學位.現(xiàn)為上海大學通信與信息工程學院碩士研究生.研究方向為陣列信號處理.

劉凱男,1981年生,湖北人,獲得中國科學技術(shù)大學博士學位.現(xiàn)為上海大學通信與信息工程學院副教授.研究領(lǐng)域包括無線定位,雷達信號處理.

A Novel Spatial Acoustic Source Enumeration Algorithm Based on EEF Criterion

HUANG Qing-hua,ZHANG Yi-fei,LIU Kai

(SchoolofCommunicationandInformationEngineering,ShanghaiUniversity,Shanghai200072,China)

Abstract:The exponentially embedded families (EEF) criterion fails to enumerate sources when the number of snapshots is smaller than that of array sensors.To solve this problem,a novel estimation algorithm is proposed based on the EEF criterion in this paper.First a spherical microphone array is used to sample high-order sound field information in 3D space and the array signal model is constructed to estimate the number of spatial acoustic sources.Then the observation space is divided into a signal subspace and a noise subspace.The covariance matrices of the observation space and the noise subspace are estimated by minimum mean-squared error (MMSE) method.Based on the consistent and more accurate estimates,we calculate a new likelihood ratio function and a parameter freedom to modify the conventional EEF criterion.The proposed method can enumerate sources effectively in the case of the deficient number of snapshots.Compared with the conventional EEF criterion,simulation results demonstrate that the proposed algorithm has better performance for source enumeration.

Key words:spatial acoustic source enumeration;spherical microphone array;exponentially embedded families criterion;minimum mean-squared error

作者簡介

DOI:電子學報URL:http://www.ejournal.org.cn10.3969/j.issn.0372-2112.2016.03.029

中圖分類號:TN912.3

文獻標識碼：A

文章編號：0372-2112 (2016)03-0687-06

項目基金:國家自然科學基金(No.61001160);上海市教委創(chuàng)新基金(No.12YZ023);上海市自然科學基金(No.14ZR141500)

收稿日期:2014-04-29;修回日期:2014-09-05;責任編輯:梅志強