周衛(wèi)東,劉萌萌

(哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院,黑龍江哈爾濱 150001)

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帶丟包Markov切換線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題研究

周衛(wèi)東,劉萌萌

(哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院,黑龍江哈爾濱 150001)

摘要：針對一類帶丟包的Markov切換系統(tǒng),提出一種含有雙Markov切換參數(shù)的交互式多模型算法.該算法利用一個二態(tài)的Markov鏈對系統(tǒng)是否丟包進(jìn)行建模,得到雙Markov鏈系統(tǒng),通過定義乘積集將兩個Markov切換參數(shù)所對應(yīng)的模型集進(jìn)行融合,并給出單個模型集中各模型與乘積集中各模型的對應(yīng)關(guān)系.在此基礎(chǔ)上,以交互式多模型算法為框架,采用分層的方法,并利用一種新的最優(yōu)估計算法對雙Markov鏈系統(tǒng)進(jìn)行濾波.仿真實(shí)驗(yàn)證明了該算法的有效性.

關(guān)鍵詞:Markov系統(tǒng);量測丟包;雙Markov鏈;最優(yōu)濾波估計;交互式多模型算法

1引言

Markov切換系統(tǒng)是一類包含多模態(tài)的隨機(jī)混合系統(tǒng).該類系統(tǒng)由兩部分構(gòu)成:系統(tǒng)狀態(tài)和模型狀態(tài).其中,系統(tǒng)狀態(tài)可由微分方程或差分方程表示,模型狀態(tài)可用連續(xù)時間離散狀態(tài)的Markov鏈描述,模型狀態(tài)之間可通過一定的轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行相互切換[1].由于Markov切換系統(tǒng)能夠有效描述大量的結(jié)構(gòu)和參數(shù)隨時間變化的現(xiàn)實(shí)系統(tǒng),因此在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用,如經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的預(yù)測與決策、飛行器控制、目標(biāo)跟蹤等.而其廣泛的應(yīng)用背景使它成為目前國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)之一,在其可控性、可觀測性[2,3]、穩(wěn)定性[4～6],以及濾波器設(shè)計[7～9]等方面都有著深入的研究.

在實(shí)際的傳感器網(wǎng)絡(luò)中,由于有限帶寬和網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)牟环€(wěn)定性,使得數(shù)據(jù)丟包成為不可避免的問題[10].關(guān)于網(wǎng)絡(luò)丟包問題目前已有大量的研究成果,針對單一系統(tǒng)的丟包問題中,文獻(xiàn)[11]對帶丟包的離散濾波器進(jìn)行了研究,給出了丟包率的上界;在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[12]對帶丟包最優(yōu)濾波估計誤差協(xié)方差有界的概率問題進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[13～16]針對含有隨機(jī)時延、多次丟包以及不確定觀測的線性離散隨機(jī)系統(tǒng)的濾波問題進(jìn)行了研究,分別提出了分散融合濾波器、集中式融合估計器、最優(yōu)線性估計器以及次優(yōu)融合估計算法.文獻(xiàn)[17]針對網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的多次丟包問題利用Riccati方程提出一種在線自適應(yīng)的Kalman濾波方法.文獻(xiàn)[18]針對多次丟包情況下的離散時變系統(tǒng)的魯棒問題,提出了相應(yīng)魯棒濾波器策略.文獻(xiàn)[19]針對一類含有多次隨機(jī)時變時延以及多次量測丟包的離散不確定非線性網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行了研究,基于線性矩陣不等式提出一種線性全階魯棒濾波器.針對Markov切換系統(tǒng)的丟包問題中,文獻(xiàn)[20]基于Lyapunov-Krasovskii函數(shù)和離散化不等式提出了一種指數(shù)H∞濾波器.文獻(xiàn)[21]利用Bernoulli隨機(jī)分布對系統(tǒng)丟包進(jìn)行建模,基于隨機(jī)系統(tǒng)SSG理論和Lyapunov函數(shù)提出一種H∞濾波器設(shè)計框架.文獻(xiàn)[22]基于雙Markov鏈和H∞技術(shù)提出一種魯棒狀態(tài)估計算法.文獻(xiàn)[23]針對多目標(biāo)跟蹤的量測丟失問題建立了一種精確貝葉斯量測更新方程,并在此基礎(chǔ)上提出了JIMMCPDAR算法.文獻(xiàn)[24]將有損傳感器網(wǎng)絡(luò)建模為非線性Markov跳變時延系統(tǒng),提出了一種分布式濾波器設(shè)計框架.縱觀上述研究工作,針對確定的線性或非線性系統(tǒng)的丟包問題的研究已經(jīng)比較成熟,而針對Markov切換系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)丟包問題的研究仍需要進(jìn)一步的發(fā)展和完善.而且這兩類系統(tǒng)存在著本質(zhì)的區(qū)別,針對確定系統(tǒng)所得的成果并不能直接推廣到Markov系統(tǒng)中[25].此外,現(xiàn)有文獻(xiàn)在進(jìn)行Markov切換系統(tǒng)的丟包問題的研究時多基于H∞濾波器,而該方法計算量較大,難以滿足實(shí)際應(yīng)用中對時效性的要求.針對上述情況,本文對一類帶丟包的Markov切換線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題進(jìn)行了研究.

首先,利用一個轉(zhuǎn)移概率已知的二態(tài)Markov鏈對系統(tǒng)是否丟包進(jìn)行建模,將原來的單Markov鏈系統(tǒng)變?yōu)楹袃蓚€切換參數(shù)的雙Markov鏈系統(tǒng).然后,通過定義兩個模型集的乘積集,將兩個模型集進(jìn)行融合,基于交互式多模型(IMM)算法的構(gòu)架,以分層的方式對雙Markov鏈系統(tǒng)進(jìn)行濾波處理.最后,采用一種新的最優(yōu)估計方法作為IMM框架中的主濾波方法對系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計,并通過目標(biāo)跟蹤的仿真實(shí)例對該算法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證.

2構(gòu)造雙Markov鏈系統(tǒng)

考慮如下的Markov切換線性系統(tǒng)

xk+1=Φ(αk)xk+Γ(αk)wk(αk)

(1)

zk=H(αk)xk+vk(αk)

(2)

其中,xk∈n為系統(tǒng)的狀態(tài)向量,zk∈m為傳感器產(chǎn)生的量測向量.αk為系統(tǒng)模型的切換參數(shù),在M1={1,2,…,r1}中取值,{αk:k≥0}為離散時間齊次Markov鏈.模型之間的轉(zhuǎn)移概率為?分別為狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣、系統(tǒng)噪聲陣和觀測陣.wk(αk)∈p,vk(αk)∈m分別為系統(tǒng)噪聲和量測噪聲.

設(shè)yk∈m為k時刻濾波器接收到的量測,則帶丟包Markov切換系統(tǒng)的量測方程為

yk=βkzk+(1-βk)yk-1

(3)

由式(1)～(3)可見,我們得到的系統(tǒng)為雙Markov鏈系統(tǒng),且切換參數(shù)αk與βk相互獨(dú)立.

對式(1)～(3)所描述的系統(tǒng)做如下假設(shè):

假設(shè)1wk(αk)和vk(αk)為相互獨(dú)立的高斯白噪聲,統(tǒng)計特性滿足如下條件:

(4)

(5)

(6)

其中δkt為Kronecker-δ函數(shù).

假設(shè)2系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0獨(dú)立于系統(tǒng)噪聲wk(αk)和量測噪聲vk(αk),并且滿足

E[x0]=μ0,E[(x0-μ0)(x0-μ0)Τ]=P0

(7)

3最優(yōu)濾波算法

對式(1)～(3)所描述的系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計時,一次濾波循環(huán)過程中不僅用到當(dāng)前時刻的量測值,而且用到了上一時刻的量測值.因此,經(jīng)典的Kalman濾波方法不再適用于該系統(tǒng).為解決該問題,引入文獻(xiàn)[26]中的狀態(tài)增廣的最優(yōu)線性濾波算法,將上一時刻的量測向量擴(kuò)充到狀態(tài)方程中,對系統(tǒng)模型進(jìn)行重構(gòu),得到形式類似于一般離散線性系統(tǒng)的系統(tǒng)方程和量測方程,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行狀態(tài)估計,具體方法如下.

將yk-1作為狀態(tài)量,擴(kuò)充到狀態(tài)方程中,則式(1)～(3)可寫為:

(8)

(9)

由假設(shè)1可知,

(10)

對于式(8)、(9)所描述的系統(tǒng),在上述假設(shè)條件下,其模型條件下最優(yōu)濾波方程如下(為簡化符號,此處將i省略):

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Lk=

(17)

(18)

(19)

該算法與標(biāo)準(zhǔn)Kalman算法不同之處在于,該算法中當(dāng)前時刻的一步預(yù)測值是利用上一時刻的一步預(yù)測值進(jìn)行遞推計算,而標(biāo)準(zhǔn)Kalman算法中,當(dāng)前時刻的一步預(yù)測值是利用上一時刻的估計值進(jìn)行推算.當(dāng)描述丟包情況的切換參數(shù)βk≡1時,即整個過程中無丟包現(xiàn)象發(fā)生,則b=1,此時濾波方程式(12)～(20)簡化為標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波方程.

4帶丟包Markov切換系統(tǒng)狀態(tài)估計

本文基于交互式多模型算法的框架,利用文獻(xiàn)[27]中處理閃爍噪聲的思想對帶丟包Markov切換系統(tǒng)進(jìn)行濾波估計.

(20)

假設(shè)兩個模型集之間相互獨(dú)立,則乘積集的模型轉(zhuǎn)移概率為

πhi?P{Mk,i|Mk-1,h}

(21)

其中,h=2(g-1)+f;i=2(j-1)+l;h,i=1,2,…,2r1;g,j=1,2,…,r1;f,l=1,2.

由于模型集之間是相互獨(dú)立的,因此基于IMM算法的構(gòu)架對雙Markov鏈系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計時,其中的交互過程可以分層進(jìn)行.

IMM算法框架下的帶丟包Markov切換系統(tǒng)狀態(tài)估計算法步驟如下:

(1)求交互概率

乘積集中的交互概率由各個模型集中對應(yīng)模型的交互概率進(jìn)行組合得到.

μk-1,h|i?P{Mk-1,h|Mk,i,Yk-1}

(22)

其中,

(23)

(24)

(2)輸入交互

與經(jīng)典的IMM算法相比,該步不再是對上一時刻各濾波器的濾波值進(jìn)行交互,而是對當(dāng)前時刻各濾波器的一步預(yù)測值進(jìn)行交互,并且采用兩層結(jié)構(gòu)進(jìn)行.

(25)

(26)

(27)

(28)

(3)模型條件濾波

將上一步得到的交互后的當(dāng)前時刻的一步預(yù)測值作為對應(yīng)濾波器的輸入,各個濾波器之間并行濾.在該步中,不僅要得到當(dāng)前時刻的濾波值和似然函數(shù),還要計算得到下一時刻的一步預(yù)測值,用于下一次濾波循環(huán)的輸入交互.

(29)

(30)

Qεk,i=b(1-b)[Hi-Im]qk,i[Hi-Im]Τ

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

k時刻,各模型的似然函數(shù)為

Λk,i=p(yk|Mi,Yk-1)=N(εk,i;0,Qεk,i)

(38)

(4)模型概率更新

首先求解乘積集中各模型的模型概率.

(39)

其中,c為標(biāo)準(zhǔn)化常量.然后利用求得的乘積集中的模型概率更新模型集M1和M2中各模型的模型概率.

(40)

(41)

(5)輸出組合

(42)

(43)

5仿真分析

采用類似于文獻(xiàn)[28]中二維空間目標(biāo)跟蹤的仿真實(shí)例對本文提出的算法進(jìn)行驗(yàn)證并與文獻(xiàn)[22]中所提出的算法進(jìn)行比較.

與本文不同之處在于,文獻(xiàn)[22]中,當(dāng)量測丟失時利用量測噪聲作為當(dāng)前時刻的量測值,在此基礎(chǔ)上構(gòu)造雙Markov系統(tǒng);此外,其核心算法為在線更新γ值的H∞濾波,仿真結(jié)果中將給出兩種算法的濾波精度和計算復(fù)雜度的比較.

目標(biāo)軌跡描述:在笛卡爾坐標(biāo)系中,設(shè)目標(biāo)的起始位置為[60km 40km],目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)包括1s到60s以300m/s的速度進(jìn)行非機(jī)動飛行;61s到155s以1.87°/s的轉(zhuǎn)彎角速率進(jìn)行180°的左轉(zhuǎn)彎;156s到180s為非機(jī)動飛行;181s到245s以-2.8°/s的轉(zhuǎn)彎角速率進(jìn)行180°的右轉(zhuǎn)彎;246s到300s為非機(jī)動飛行.

目標(biāo)運(yùn)動模型:采用Markov切換模型對該系統(tǒng)進(jìn)行建模,系統(tǒng)模型為

(44)

目標(biāo)量測模型:可獲得的量測值為帶丟包的位置信息,采用二狀態(tài)Markov鏈對是否丟包進(jìn)行建模.

(45)

仿真結(jié)果通過100次Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)得到,利用均方根誤差(RMSE)對算法的性能進(jìn)行評估.RMSE計算公式如下,其中,M為Monte Carlo仿真次數(shù).

(46)

表1　算法運(yùn)行時間統(tǒng)計表

IMM-HF本文算法運(yùn)行時間(s)104.22517627.185750

圖3為整個跟蹤過程中,本文所提出的算法的跟蹤軌跡與文獻(xiàn)[22]中的算法的跟蹤軌跡以及真實(shí)軌跡的比較.由仿真曲線可以看出,兩種算法均能在量測發(fā)生丟失時對目標(biāo)進(jìn)行有效的跟蹤.其中的局部放大圖取自目標(biāo)進(jìn)行兩次轉(zhuǎn)彎時,可以看出,在目標(biāo)進(jìn)行機(jī)動轉(zhuǎn)彎時,本文算法的跟蹤軌跡與真實(shí)軌跡更加接近,說明本算法在高機(jī)動環(huán)境中較文獻(xiàn)[22]中的算法的跟蹤精度更高.

圖4至圖7為本文所提出算法與文獻(xiàn)[22]中IMM-HF算法的跟蹤精度比較.由仿真曲線可以看出,本文所提處算法除在220s至240s時間段內(nèi)在y方向的位置跟蹤精度以及x方向的速度跟蹤精度低于IMM-HF算法外,其他時刻以及其他狀態(tài)分量(x方向位置分量和y方向的速度分量)的所有時刻的跟蹤精度均優(yōu)于IMM-HF算法.

結(jié)合表1中兩種算法的運(yùn)行時間,可以看出,本文所提出的算法不僅濾波精度較高,而且計算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于IMM-HF算法,更加有利于實(shí)際應(yīng)用中對時效性的要求.

綜合以上仿真結(jié)果,我們可以得出,本文中所提出的算法不僅可以在發(fā)生量測丟包時對目標(biāo)進(jìn)行有效、可靠的跟蹤,而且計算復(fù)雜度較小,更加符合實(shí)際應(yīng)用中對實(shí)時性的要求.

6結(jié)論

本文針對一類含有量測數(shù)據(jù)丟包的Markov切換系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題進(jìn)行了研究.利用一個二態(tài)的Markov鏈對量測值是否發(fā)生丟包進(jìn)行建模,得到雙Markov切換系統(tǒng),在此基礎(chǔ)上,提出了一種含有雙Markov切換參數(shù)的交互式多模型算法.該算法以經(jīng)典的IMM算法為框架,通過定義乘積集以分層的方式對雙Markov系統(tǒng)進(jìn)行濾波處理,并且引入了新的估計方法來處理一次濾波循環(huán)中用到多個時刻量測值的問題.仿真實(shí)驗(yàn)證明,該算法在量測數(shù)據(jù)丟包情況下對目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)的機(jī)動改變非常敏感,無論目標(biāo)進(jìn)行高機(jī)動的轉(zhuǎn)彎運(yùn)動或是平緩的直線運(yùn)動,該算法均可在量測數(shù)據(jù)不完全的條件下對目標(biāo)進(jìn)行可靠、有效的跟蹤.此外,該算法的計算復(fù)雜度較小,實(shí)時性高.由此可以得出,該算法具有較高的可行性和較大的實(shí)用價值.

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周衛(wèi)東男,1966年生于江蘇宜興,現(xiàn)為哈爾濱工程大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師.主要研究方向?yàn)榻M合導(dǎo)航、信息融合及容錯技術(shù).

E-mail:zhouweidong@hrbeu.edu.cn

劉萌萌(通訊作者)女,1989年生于山東青島,現(xiàn)為哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院博士研究生.主要研究方向?yàn)槎嗄Ｐ托畔⑷诤虾婉R爾可夫跳變系統(tǒng).

E-mail:liumengmeng89@126.com

State Estimation for Jump Markov Linear Systems with Packet Dropouts

ZHOU Wei-dong,LIU Meng-meng

(CollegeofAutomation,HarbinEngineeringUniversity,Harbin,Heilongjiang150001,China)

Abstract:This study is devoted to the state estimation problem for a class of jump Markov linear systems with packet dropouts.The behavior of packet dropouts is described by a two-state (i.e.,packet-dropping and normal) Markov chain with known transition probability matrix,which is independent of the system dynamics.Therefore,the obtained system can be modeled as a jump Markov linear system with two switching parameters.A product set is defined to combine the two mode sets and the corresponding relationship between models in the product set and models in the individual mode set is given.Based on the product set,we cast the model into the framework of the interacting multiple model (IMM) algorithm and the filtering steps are carried out in a layered manner.Furthermore,an optimal estimation algorithm is combined with the IMM to obtain the filtering results of the system.A maneuvering target tracking example is presented to prove the effectiveness of the proposed algorithm.

Key words:jump Markov linear system;packet dropouts;double Markov chains;optimal estimation algorithm;interacting multiple model algorithm

作者簡介

DOI:電子學(xué)報URL:http://www.ejournal.org.cn10.3969/j.issn.0372-2112.2016.03.023

中圖分類號:TN 911.23

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：0372-2112 (2016)03-0646-07

基金項目:國家自然科學(xué)基金(No.61102107,No.61374208)

收稿日期:2014-09-23;修回日期:2015-01-08;責(zé)任編輯:覃懷銀