張友安,余名哲,吳華麗

(海軍航空工程學(xué)院控制工程系,山東煙臺 264001)

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不確定分?jǐn)?shù)階多驅(qū)動一響應(yīng)混沌系統(tǒng)同步

張友安,余名哲,吳華麗

(海軍航空工程學(xué)院控制工程系,山東煙臺 264001)

摘要：針對一類新的多驅(qū)動一響應(yīng)混沌系統(tǒng)同步方式,基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論和Lyapunov穩(wěn)定性理論,運用追蹤控制和滑模自適應(yīng)控制方法設(shè)計了同步控制律和參數(shù)自適應(yīng)律.對象模型考慮了不確定因素的影響,首先選取一類穩(wěn)定的分?jǐn)?shù)階滑模曲面,然后提出了一種魯棒同步方案.最后數(shù)值仿真驗證了方案的正確性和有效性.

關(guān)鍵詞:分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng);多驅(qū)動一響應(yīng)同步;跟蹤控制;滑模自適應(yīng)控制

1引言

混沌同步自1990年由美國海軍實驗室的學(xué)者Pecora和Carroll實現(xiàn)以來就引起了眾多學(xué)者的強(qiáng)烈興趣[1],從最初的完全同步[2],到后來的相同步[3]、廣義同步[4],滯后同步[5]、投影同步[6],同步方式越來越豐富,同時也越來越復(fù)雜.目前學(xué)者們還提出了許多新的同步方式,如修正投影同步[7],函數(shù)投影同步[8],修正函數(shù)投影同步[9]等等,這些新的同步方式一方面拓寬了混沌同步控制的研究范圍,另一方面也大大擴(kuò)展了混沌同步的應(yīng)用范圍.

2012年,周平等人研究了一類新的更為復(fù)雜的同步方式:多驅(qū)動一響應(yīng)(Multi Drive-One Response Synchronization,MDORS)混沌同步.顧名思義,這種同步方式,就是采用多個混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng),驅(qū)動一個作為響應(yīng)系統(tǒng)的混沌系統(tǒng)從而實現(xiàn)混沌同步[10].這種同步方式應(yīng)用于保密通信當(dāng)中可以大幅提高通信的安全程度,這是因為可以將待發(fā)送的原文信號劃分為多個部分,每個部分分別加載到不同的驅(qū)動系統(tǒng)中;或者以時間劃段,將不同時間段的原文信號加載到不同的驅(qū)動系統(tǒng)中.很顯然,這種同步方式應(yīng)用于保密通信較以往的同步方式能顯著增強(qiáng)通信的安全性.

提高保密通信保密性能的途徑一般有兩條,除前面所述采用更為復(fù)雜的同步方式外,采用混沌吸引子更為復(fù)雜的混沌系統(tǒng)也是提高其安全程度的途徑之一.低維的整數(shù)階混沌保密通信信號通常容易被截獲和破譯,而分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)由于其既能維持整數(shù)階混沌系統(tǒng)的混沌特性同時也具有分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)獨有的一些特性,比如,分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)描述記憶特性和全局相關(guān)性[11]等,并且其混沌吸引子較整數(shù)階次時更加復(fù)雜和難以預(yù)測[12,13],因此分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)相比整數(shù)階混沌系統(tǒng)在工程中的應(yīng)用具有更多的優(yōu)勢和更好的性能.同時,對分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制進(jìn)行研究,可以為保密通信的應(yīng)用和其他復(fù)雜系統(tǒng)的建模及控制方面提供有力的理論依據(jù).對分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的研究已成為近年混沌學(xué)界的熱點之一[14].

綜上所述,本文以提高混沌保密通信的保密性能為目的,在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上,解決當(dāng)系統(tǒng)存在不確定因素時如何實現(xiàn)多驅(qū)動一響應(yīng)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步,為這種可以極大提高保密性能的混沌同步方式實現(xiàn)在保密通信中的工程應(yīng)用鋪平道路.

2問題描述

考慮到存在未知參數(shù)的情況,本文對文獻(xiàn)[10]的對象模型稍作修改并表示為如下形式:

Dqdixi(t)=fi(xi,t)

(1)

Dqry(t)=G(y,t)θ+g(y,t)+u(t)

(2)

以上兩式中,將系統(tǒng)式(1)作為驅(qū)動系統(tǒng),系統(tǒng)式(2)為帶控制輸入的響應(yīng)系統(tǒng).qdi,(i=1,2,…,m)和qr分別為驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階次,且滿足qdi∈(0,1),qr∈(0,1),m為驅(qū)動系統(tǒng)的個數(shù);xi=(xi1,xi2,…,xini)T為第i個驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)向量,ni為其維數(shù);G(y,t)∈Rn×p為函數(shù)矩陣;θ∈Rp為未知的參數(shù)向量;y(t)∈Rn為響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)向量;u(t)∈Rn為控制輸入;fi:Rn→Rn和g:Rn→Rn均為連續(xù)可微的非線性函數(shù)向量.

對于絕大多數(shù)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)而言,均可用系統(tǒng)式(1)和式(2)的形式來表示.

引理1[15]考慮分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)

Dαx(t)=Cx(t)

其中0<α<1,x(t)為系統(tǒng)的狀態(tài)向量,C為系統(tǒng)參數(shù)矩陣,當(dāng)C的所有特征值λi滿足:

分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域如圖1所示

顯然,當(dāng)0<α<1時,只要系統(tǒng)的參數(shù)矩陣C的所有特征值的實部都不大于零,則分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

假設(shè)1對于系統(tǒng)式(2)存在函數(shù)矩陣H(x,y)∈Rn×n,有g(shù)(y)-g(x)=H(x,y)(y-x)成立.

定義1多驅(qū)動系統(tǒng)式(1)和響應(yīng)系統(tǒng)式(2),有如下多驅(qū)動一響應(yīng)同步(MDORS)誤差方程:

(3)

式中Ci∈Rn×ni為縮放矩陣,x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T;y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T;xi(t)=(xi1(t),xi2(t),…,xini(t))T.

本文研究的目的就是設(shè)計同步控制器u(t),使得當(dāng)t→∞時,有

(4)

根據(jù)誤差式(3)和系統(tǒng)方程式(1)、式(2)可得到分?jǐn)?shù)階誤差系統(tǒng)方程為:

=G(y,t)θ+g(y,t)+u(t)

(5)

注釋1[10]對于誤差表達(dá)式(3),當(dāng)Ci=0(i=1,2,…,m-1)時,為混合投影同步;當(dāng)Ci=0(i=1,2,…,m-1),Cm=diag(α1,α2,…,αn),(αi(i=1,2,…,n)為非零常數(shù)),為修正投影同步;當(dāng)Ci=0(i=1,2,…,m-1),Cm=αI(α為非零常數(shù),I為單位矩陣),為投影同步;當(dāng)Ci=0(i=1,2,…,m-1),Cm=I,為完全同步;當(dāng)Ci=0,(i=1,2,…,m),變?yōu)榉謹(jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的控制問題.

注釋3對于假設(shè)1,很多分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)都是滿足的,例如分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng),分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng),分?jǐn)?shù)階R?ssler系統(tǒng)等等.

3同步控制器設(shè)計

首先選取如下分?jǐn)?shù)階積分滑模曲面:

(6)

式中s(t)∈Rn,e(t)∈Rn.

對式(6)兩邊關(guān)于時間求導(dǎo)

(7)

當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生滑模運動,須滿足

(8)

由此可以推得

(9)

對于分?jǐn)?shù)階誤差系統(tǒng)式(9),根據(jù)引理1可知其是漸近穩(wěn)定的,也即當(dāng)‖s(t)‖→0時,有‖e(t)‖→0.

(10)

從而,響應(yīng)系統(tǒng)中的控制輸入可設(shè)計為如下形式:

u(t)=u1(t)+u2(t)

(11)

式中u2(t)為滑?？刂破?其具體形式將在后面進(jìn)行設(shè)計.

將式(10)和式(11)代入式(5),可得到整理后的分?jǐn)?shù)階誤差系統(tǒng)方程為:

(12)

由假設(shè)1,可整理得

Dqre(t)=G(y,t)θ+H(x,y)e(t)+u2(t)

(13)

考慮式(7)和式(8),并將式(9)和式(13)代入,可得到待設(shè)計的滑?？刂破鞯牡刃Э刂苪2eq

u2eq(t)=-G(y,t)θ-(H(x,y)+I)e(t)

(14)

根據(jù)變結(jié)構(gòu)控制的一般形式,取滑?？刂苪2為:

u2(t)=u2eq(t)+u2d(t)

(15)

式中u2d為非線性不連續(xù)控制.

接下來設(shè)計u2d,將式(13)、式(14)和式(15)代入式(9),有

=G(y,t)θ+H(x,y)e(t)+u2(t)+e(t)

=G(y,t)θ+H(x,y)e(t)-G(y,t)θ-

(H(x,y)+I)e(t)+e(t)+u2d

=u2d

(16)

選取如下趨近律:

(17)

式中K1和K2為設(shè)計的正定增益矩陣.

(18)

由式(15)～(18),可以設(shè)計滑模控制律:

(19)

選取參數(shù)自適應(yīng)律:

(20)

式中μ為設(shè)計權(quán)重.

對于上述同步控制律有定理1:

定理1當(dāng)選擇控制器式(11)和參數(shù)自適應(yīng)律式(20),驅(qū)動系統(tǒng)式(1)和響應(yīng)系統(tǒng)式(2)將實現(xiàn)多驅(qū)動一響應(yīng)混沌同步.

證明將式(19)和式(13)代入式(7)可得

選擇如下Lyapunov函數(shù)

(22)

對式(22)兩邊關(guān)于時間求導(dǎo),并將式(20)和式(21)代入

=-sTK1s-sTK2sgn(s)

≤-k1sTs-k2‖s‖1≤0

上式中k1和k2分別為增益矩陣K1和K2的最小特征值.

注釋4[10]驅(qū)動系統(tǒng)式(1)狀態(tài)向量xi∈Rl,(i=1,2,…,m),響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)向量y∈Rn,若l≠n,即對于不同維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的多驅(qū)動一響應(yīng)同步,只需要選擇Ci∈Rn×l,(i=1,2,…,m)即可.

4數(shù)值仿真

為驗證所設(shè)計的多驅(qū)動一響應(yīng)同步控制器的有效性,本節(jié)采用文獻(xiàn)[10]的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真分析,下列系統(tǒng)的混沌相圖可參見文獻(xiàn)[10],分?jǐn)?shù)階的數(shù)值運算采用預(yù)估-校正算法.

分?jǐn)?shù)階Arneodo系統(tǒng)如下所示

(23)

當(dāng)qd1=0.998時,分?jǐn)?shù)階Arneodo系統(tǒng)存在混沌吸引子.

分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)如下所示

(24)

當(dāng)qd2=0.85時,分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)存在混沌吸引子.

分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)如下所示

(25)

根據(jù)模型式(2),可將Lorenz系統(tǒng)改寫為如下形式:

根據(jù)g(y,t)的表達(dá)式,計算H(x,y)矩陣

對于本例,結(jié)合式(3),有

即

上式中(C1)ij和(C2)ij分別為矩陣C1和C2中第i行j列的元素;x1j和x2j分別為驅(qū)動系統(tǒng)式(23)狀態(tài)向量x1和驅(qū)動系統(tǒng)式(24)狀態(tài)向量x2中第j個元素.

從而有

即

式(26)中第三個等式用到了e的定義式(3),其變換過程以第3個分量為例說明如下:

-x1x2+y1y2=(x1y2-x1x2)+(-x1y2+y1y2)

=x1e2+y2e1

由式(19)和式(20)可得反饋控制律u2(t)和參數(shù)自適應(yīng)律為

仿真時引入加性高斯白噪聲[17]用來模擬實際通信環(huán)境,3維混沌系統(tǒng)的多驅(qū)動一響應(yīng)仿真結(jié)果如圖2～圖7所示.從圖中可以看到在控制器式(11)的作用下,誤差系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂到零點,并且響應(yīng)系統(tǒng)的未知參數(shù)在自適應(yīng)律式(20)的作用下在有限的時間內(nèi)逼近真值,可見控制器對噪聲具有較好的抑制能力.

為簡單起見,參考文獻(xiàn)[17]的方法,將給定的原文信號:m(t)=2+1.5cos(3t)+1.2sin(5t),采用加法運算分別與分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)和多驅(qū)動混沌系統(tǒng)的第一維狀態(tài)量進(jìn)行加密混合.在用多驅(qū)動系統(tǒng)進(jìn)行加密時,將原文信號分為兩部分

并將這兩部分分別與分?jǐn)?shù)階Arneodo系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)混合,仿真結(jié)果如圖8、圖9所示:

安全性分析

多驅(qū)動一響應(yīng)混沌同步應(yīng)用到基于混沌掩蓋技術(shù)的保密通信中可以極大的提高通信的安全性能.在該方法中,傳輸信號的安全性得到了增強(qiáng).

(1)竊聽者極難對發(fā)射器的輸出信號進(jìn)行解析.由于原文信號可以被劃分為多個部分分別加載到不同的驅(qū)動系統(tǒng)中,與傳統(tǒng)的一驅(qū)動一響應(yīng)混沌保密通信方式在加密方式上完全不同,所獲得的混合信號更為復(fù)雜,其由多個不同的混沌信號和原文信號的片段所組成.

(2)所截獲的混合信號極難分析出驅(qū)動系統(tǒng)的混沌類型.對于一驅(qū)動一響應(yīng)加密方式,由于驅(qū)動系統(tǒng)只由一個混沌系統(tǒng)所構(gòu)成,解析起來相對要容易一些,而多驅(qū)動加密方式中,驅(qū)動系統(tǒng)的個數(shù)及類型極難預(yù)估.并且,多個混沌系統(tǒng)信號經(jīng)過迭加計算后,其動態(tài)性能已發(fā)生了巨大的變化,從圖9中可以看到,混合信號的動態(tài)性能已無法看出與單獨的分?jǐn)?shù)階Arneodo系統(tǒng)及分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)的動態(tài)性能有任何關(guān)聯(lián),想要解碼原文就更加困難.

由以上的分析可知,多驅(qū)動一響應(yīng)混沌同步方式能夠增強(qiáng)傳輸信號的安全性能,同時,由于其具有多個驅(qū)動系統(tǒng),因此也將具更高容量的動態(tài)存儲能力.

5總結(jié)

本文對具有多個驅(qū)動系統(tǒng)一個響應(yīng)系統(tǒng)的多驅(qū)動一響應(yīng)同步方式進(jìn)行了研究,由于這種同步方式能極大的提高保密通信的保密性能,在混沌保密通信應(yīng)用中具有巨大的應(yīng)用前景.目前對這種同步方式的研究還很少,周平等人[10]在理想對象模型的基礎(chǔ)上,嚴(yán)格遵循分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論,通過對控制器的反饋控制單元的設(shè)計試湊出能夠使得誤差系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定的系數(shù)矩陣,該方法雖然比較靈活，但是當(dāng)系統(tǒng)存在不確定性的時候就顯得無能為力了.本文選取一類分?jǐn)?shù)階滑模曲面,將Lyapunov直接法引入同步控制中,運用滑模自適應(yīng)技術(shù)設(shè)計了同步控制器,該方法解決了文獻(xiàn)[10]對系統(tǒng)不確定性無法處理的缺陷,將該同步方式向?qū)嶋H工程應(yīng)用推進(jìn)了一大步.

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張友安男,1963年5月出生,湖北天門人,教授,海軍航空工程學(xué)院控制工程系教授.研究方向為非線性理論,導(dǎo)航、制導(dǎo)與智能控制等.

E-mail:zhangya63@sina.com

余名哲男,1982年3月出生,湖北荊州人,海軍航空工程學(xué)院控制工程系博士研究生.研究方向為非線性控制與混沌同步.

E-mail:18953589889@189.cn

Multi-Drive-One Response Synchronization of Fractional-Order Chaotic Systems with Uncertainties

ZHANG You-an,YU Ming-zhe,WU Hua-li

(DepartmentofControlEngineering,NavalAeronauticalandAstronauticalUniversity,Yantai,Shandong264001,China)

Abstract:Based on fractional-order system stability theory and Lyapunov stability theory,a new synchronization type named multi-drive-one response synchronization (MDORS) of fractional-order chaotic systems is studied.Synchronization control laws and parameter adaptive laws are designed by using tracking control method and sliding mode adaptive control method.The uncertain factors are considered in object model.Firstly,a stable fractional-order sliding mode is selected,and then a robust synchronization scheme is proposed.At last,simulations are given to verify the correctness and effectiveness of the scheme.

Key words:fractional-order chaotic system;multi drive-one response synchronization;tracking control;sliding mode adaptive control

作者簡介

DOI:電子學(xué)報URL:http://www.ejournal.org.cn10.3969/j.issn.0372-2112.2016.03.017

中圖分類號:TN918

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：0372-2112 (2016)03-0607-06

收稿日期:2014-06-26;修回日期:2014-09-19;責(zé)任編輯：梅志強(qiáng)