唐健林，徐　陶，龍　盈

(1. 湖南省地質(zhì)測繪院，湖南 衡陽 421001； 2. 湖南省勘測設(shè)計院，湖南 長沙 410014)

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小波函數(shù)應(yīng)用于GPS高程擬合的分析

唐健林1，徐陶2，龍盈1

(1. 湖南省地質(zhì)測繪院，湖南 衡陽 421001； 2. 湖南省勘測設(shè)計院，湖南 長沙 410014)

Analysis of Wavelet Function Used in the Fitting of GPS Elevation

TANG Jianlin，XU Tao，LONG Ying

摘要：將小波函數(shù)引入到GPS高程擬合，利用小波基函數(shù)伸縮平移的特性，結(jié)合最小二乘法對散亂的GPS點進(jìn)行擬合。通過實例驗證了小波函數(shù)實現(xiàn)GPS高程轉(zhuǎn)換的可行性，并與傳統(tǒng)擬合算法多項式曲面擬合法的計算結(jié)果進(jìn)行比較，證明在大面積且地形起伏較大的測區(qū)，小波函數(shù)擬合殘差值更小，精度優(yōu)于多項式曲面擬合法，更能反映測區(qū)實際高程異常的變化。

關(guān)鍵詞：小波函數(shù)；高程擬合；多項式曲面擬合

隨著GPS測高技術(shù)的發(fā)展，目前已能獲得高精度的測站大地高[1]。高程系統(tǒng)包括正高、正常高和大地高系統(tǒng)[2]。大地高h(yuǎn)是地面點沿參考橢球面法線到參考橢球面的距離,而我國采用正常高系統(tǒng)，正常高H是地面點沿鉛垂線到似地大水準(zhǔn)面的距離[2]。正常高和大地高之差即為高程異常，其關(guān)系如下

h=H+ξ

(1)

由式(1)可知，如何高精度地擬合高程異常值ξ成為GPS高程轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵問題。常用的擬合方法有多項式曲面擬合法[3]、多面函數(shù)法[4]、地球位模型[5]等。隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和粒子群算法等新興數(shù)學(xué)方法的出現(xiàn)，國內(nèi)外學(xué)者目前較多研究和這些新理論結(jié)合的擬合方法，如神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)擬合[5-6]、粒子群算法[7-8]、支持向量機(jī)[7-8]等。本文中提出將小波理論應(yīng)用于GPS高程擬合，構(gòu)造小波擬合函數(shù)對某測區(qū)GPS實測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并與常用的擬合方法計算結(jié)果進(jìn)行比較分析。

一、小波理論

小波理論是20世紀(jì)80年代中期發(fā)展起來的新興應(yīng)用數(shù)學(xué)理論和方法，主要用于數(shù)字信號處理和圖像處理。隨著理論的完善，在數(shù)值分析領(lǐng)域，通過多分辨分析和小波變換可以構(gòu)造多種用于數(shù)值分析的小波基函數(shù)。利用尺度函數(shù)或小波基函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的多項式作為逼近函數(shù)解決了許多復(fù)雜的工程數(shù)值計算問題[9-11]。

對ψ(t)平移、伸縮可以得到一族小波函數(shù)[12]

(2)

ψj,k(t)=2-j/2ψ(2-j/2t-k)j,k∈Z

(3)

通過式(3)得其小波族函數(shù)表達(dá)式為

(4)

式(4)為一維Mexican Hat小波族函數(shù)，對于GPS高程擬合則需通過平面二維坐標(biāo)求解高程異常值。因此需將式(4)推廣到二維情形。設(shè)ψ(x,y)是二維母小波函數(shù)，它可以通過一維小波的張量積形式給出：ψ(x,y)=ψ(x)ψ(y)。二維Mexican Hat母小波函數(shù)表達(dá)式為

通過式(4)可求得二維Mexican Hat小波族函數(shù)表達(dá)式

(5)

二、小波擬合函數(shù)

給定一組離散的三維數(shù)據(jù)點(xi,yi,ξi),通過尋找某種函數(shù),在最小二乘原理下求得任意點(x,y)所對應(yīng)的值ξ即為二維函數(shù)擬合問題，記為ξ=f(x,y)。如何尋找函數(shù)f(x,y)并使得逼近誤差最小，是擬合的關(guān)鍵。本文中利用Mexican Hat小波基函數(shù)作為擬合函數(shù)，并在最小二乘原理下構(gòu)造實現(xiàn)GPS高程轉(zhuǎn)換的擬合函數(shù)f(x,y)。設(shè)定如下

(6)

式中，ψl1,l2,k(x,y)為二維Mexican Hat小波族函數(shù)；am為待定系數(shù)。由式(6)可知，只需確定系數(shù)am，就能獲得擬合函數(shù)的表達(dá)式。定義函數(shù)逼近誤差平方和為

(7)

為使逼近誤差最小，在最小二乘原理下確定系數(shù)am。根據(jù)極值定理，式(7)取極小值的充要條件是

k=0,1,…,m;m≤n

(8)

整理式(8)得

(9)

通過已知數(shù)據(jù)集合(xi,yi,ξi)，利用式(9)即可求得系數(shù)am，進(jìn)而求得函數(shù)表達(dá)式。在GPS高程擬合時，為檢驗擬合精度，應(yīng)設(shè)置一系列已知高程異常的檢核點求出擬合殘差vi=ξ擬-ξi。其擬合精度為

(10)

式中，n為參與擬合計算的檢核點個數(shù)。式(10)又稱為預(yù)報殘差，用來大致代替整個測區(qū)GPS高程異常擬合計算的精度[13]。

三、算例分析

本文中選用云南省馬關(guān)縣大丫口礦區(qū)GPS實測數(shù)據(jù)，測區(qū)位于云南省東南部。馬關(guān)縣境內(nèi)高差起伏懸殊，最高海拔2579 m，最低海拔123 m。測區(qū)內(nèi)共觀測GPS點47個，其中聯(lián)測等級水準(zhǔn)點14個。測區(qū)面積約300 km，平均高程1500 m，最大高差約500 m。由于地形起伏較大，GPS觀測的大地高與已知水準(zhǔn)高程求得的高程異常變化較大，最大高程異常為29.335 6 m，最小為27.457 8 m。為了檢驗擬合精度，本文中選用6個已知高程異常點作為起算數(shù)據(jù)(見表1)，其余8個水準(zhǔn)點作為檢核點。同時將小波函數(shù)計算結(jié)果同常用的多項式曲面擬合結(jié)果進(jìn)行比較(見表2)，對應(yīng)的檢核點擬合誤差曲線如圖1所示。

表1　GPS控制網(wǎng)和已知水準(zhǔn)點　m

表2　小波函數(shù)和多項式曲面擬合殘差比較　m

圖1　小波函數(shù)和多項式曲面擬合殘差序列

由表2擬合數(shù)據(jù)可知，由小波函數(shù)擬合的高程異常殘差絕對值大部分在0～0.1 m內(nèi)，最大值22號點殘差為0.115 8 m，擬合效果較好，證明小波函數(shù)能應(yīng)用于GPS高程擬合計算。常用的多項式曲面擬合法擬合的高程異常殘差絕對值大部分在0.1～0.3 m內(nèi)，僅有31號點殘差絕對值為0.056 1 m。通過殘差值比較可知，小波函數(shù)在本文計算實例中擬合的高程異常殘差明顯小于常用的多項式曲面擬合殘差。證明在大面積測區(qū)范圍內(nèi)，高程異常值變化較大時，小波函數(shù)通過母小波的伸縮和平移更能反映實際的高程異常變化。由表2擬合數(shù)據(jù)殘差通過式(10)計算得到小波函數(shù)和多項式曲面擬合法擬合精度分別為0.082 2和0.182 6 m。由此可知，小波函數(shù)在本文中計算實例中GPS高程擬合精度優(yōu)于多項式曲面擬合。

四、結(jié)論

1) 通過實際算例可知，利用小波函數(shù)的伸縮和平移性質(zhì)結(jié)合最小二乘法對離散的GPS點進(jìn)行高程擬合是可行的，且擬合效果較好。

2) 由表2和圖1可知，本文中算例利用小波函數(shù)進(jìn)行GPS高程擬合殘差值小于常用的多項式曲面擬合殘差值，且擬合精度優(yōu)于多項式曲面擬合精度。

3) 在地形起伏較大的測區(qū)，高程異常變化較大時，利用小波基函數(shù)伸縮平移的性質(zhì)較多項式曲面擬合法更能反映測區(qū)實際高程異常變化。

4) 由表2可知，本文中算例采用的兩種擬合方法其擬合殘差都未達(dá)到毫米級，分析原因可能與當(dāng)?shù)氐匦纹鸱嘘P(guān)。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳寒，姚文斌.附加隨機(jī)模型的GPS高程轉(zhuǎn)換方法[J].大地測量與地球動力學(xué),2010,30(3): 67-70.

[2]孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測量學(xué)基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2002.

[3]劉長建，柴洪州，吳洪舉，等. GPS水準(zhǔn)擬合模型的選取與精度探討[J].測繪科學(xué),2009,34(4)：80-81.

[4]賀炳彥，張貴鋼.用于GPS高程擬合的多面函數(shù)模型的應(yīng)用研究[J].西安科技大學(xué)學(xué)報,2010,30(5)：579-582.

[5]張杰. 用地球位模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換GPS高程[J].測繪科學(xué)技術(shù)學(xué)報,2009,26(6)：408-413.

[6]劉成龍，楊天宇.基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的 GPS高程擬合方法的探討[J].西南交通大學(xué)學(xué)報,2007,42(2)：148-152.

[7]黃磊，張書畢，王亮亮，等. 粒子群最小二乘支持向量機(jī)在GPS高程擬合中的應(yīng)用[J].測繪科學(xué),2010,35(5)：190-192.

[8]姬張建，袁運斌，盛傳貞.混沌粒子群支持向量機(jī)并考慮地形改正的GPS高程擬合[J].大地測量與地球動力學(xué)，2010,30(2)：95-98.

[9]CANUTO C, TABACCO A, URBAN K.The Wavelet Element Method Part I:Construction and Analysis[J].Applied and Computational Harmonic Analysis,1996(6):1-52.

[10]CANUTO C, TABACCO A, URBAN K.The Wavelet Element Method Part I:Realization and Additional Feature in 2D and 3D[J].Applied and Computational Harmonic Analysis,2000(8):123-165.

[11]COHEN A. Numerical Analysis of Wavelet Method[M].Amsterdam: Holland Elsevier Press,2003.

[12]張國華，張文娟，薛鵬翔.小波分析與應(yīng)用基礎(chǔ)[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2006.

[13]高原，張恒瑾，趙春江.多項式曲面模型在GPS高程擬合中的應(yīng)用[J].測繪科學(xué),2011,36(3)：179-181.

中圖分類號：P228.4

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：0494-0911(2016)03-0058-03

作者簡介：唐健林(1964—)，男，高級工程師，主要研究方向為控制測量、攝影測量。E-mail:492287960@qq.com

收稿日期：2015-03-20

引文格式： 唐健林，徐陶，龍盈. 小波函數(shù)應(yīng)用于GPS高程擬合的分析[J].測繪通報，2016(3)：58-60.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0086.