林志朋，劉振祥，楊　棟，歐陽建明，楊麗佳

(國防科技大學 理學院，長沙　410073)

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對稱邊界條件下軌道炮有限元/邊界元仿真

林志朋，劉振祥，楊棟，歐陽建明，楊麗佳

(國防科技大學 理學院，長沙410073)

摘要：基于deal.ii編寫了電磁軌道炮有限元仿真程序，建立了拉格朗日運動坐標下電磁軌道炮的有限元仿真模型；通過使用有限元邊界元耦合方法可以對電磁軌道炮的邊界條件進行計算，而無需對軌道炮周邊的空氣劃分網格，是一種處理電磁場邊界問題的有效方法；但是，由于邊界元方法，使用的是滿秩矩陣，在三維情況下計算量大，利用軌道炮的對稱性，使用對稱邊界條件，減少了參與計算的網格數目，從而減少計算量。

關鍵詞：軌道炮；有限元；邊界元；對稱邊界條件

Citation format:LIN Zhi-peng, LIU Zhen-xiang, YANG Dong, et al.Finite Element/Boundary Element Simulation of 3D Rail Gun with Coupling Method Based on Symmetry Condition[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2016(3):42-44.

電磁軌道炮通常主要是由兩條導軌和一個電樞組成的電磁加速裝置。通過組成電磁回路， 形成電磁場，并且與電樞上的電流相互作用，產生洛倫茲力推進其前進。電磁軌道炮的有限元仿真涉及運動﹑電接觸﹑熱傳導等諸多過程，非常復雜。電磁軌道炮在發(fā)射過程中會產生速度趨膚效應，影響電樞上電流的分布，從而影響電樞的受力分布以及熱分布。對電磁軌道炮的有限元仿真有助于幫助理解電磁軌道炮發(fā)射的過程，為改進電磁軌道炮的結構提供指導依據， 降低研究成本。

國內外許多學者對電磁軌道炮的有限元仿真進行了研究，有基于歐拉坐標系的[1]，也有基于拉格朗日坐標系的， 如EMAP3D[2]。采用歐拉坐標系可以采用流線迎風算法來計算迎風項[3]，而本文參考的了EMAP3D的設計原理，采用的是拉格朗日坐標系。在電磁軌道炮仿真中由于角點的存在和對軌道炮的邊界條件進行計算的需要，需要額外計算。一種方法是增加額外網格計算周邊的環(huán)境，一種是使用有限元/邊界元耦合方法，國內林慶華等人[4-5]對這兩種方法都進行過研究。

本文使用了有限元/邊界元耦合的方法，這樣可以不需要額外網格，但是由于邊界元方法使用了滿秩矩陣，在3維情況下計算量大，因此本文利用了軌道炮的對稱性，使用對稱邊界條件，減少了參與計算的網格數目，減少計算量。

1理論模型

電磁軌道由于具有對稱性，因此可以通過使用對稱邊界條件，減少計算量，圖1為仿真所用的網格。邊界條件的對稱約束可以利用矢勢和電場在對稱面上的反對稱性和連續(xù)性，結合拉格朗日乘子的方法施加。

圖1　仿真所使用的網格

在拉格朗日坐標系下，圖1中電樞和導軌采用獨立坐標，分別屬于運動坐標系和靜止坐標系，這樣就不需要使用額外網格。兩坐標系中電磁場方程是一致的，即：

(1)

運動網格采用固定空間步長的方式運動。通過隱式時間差分的算法計算矢勢對時間的導數。

由于在運動邊界上電場切向分量需要滿足連續(xù)性要求[6]，即：

(2)

方括號表示跳變，所以考慮運動后，有：

(3)

其中m代表運動標，s代表靜止坐標。上式表明：當使用拉格朗日坐標時，φ值的切向導數在運動邊界上是不連續(xù)的。可以通過使用離散的φ勢或者添加額外的自由度表示這一切向跳變，本文采用后一種方法。為了便于計算交界面上電樞和導軌，采用了不同的自由度，然后通過拉格朗日乘子的方法進行約束，使之保持連續(xù)。這樣就不用在每一個時間步重復計算有限元矩陣。

由于矢勢使用的是拉格朗日元，所以需要添加規(guī)范條件，即：

(4)

電樞所受的力可以通過方程：

(5)

來計算。之后用計算的力來修正運動時間步長，反復迭代，當兩次計算的時間步長接近時，即可認為收斂。

本文程序將電源配置放在python中，因此可以很容易實現對不同波形電流源或電壓源的支持。

計算的邊界條件可以通過有限元與邊界元耦合的方法得到，即除了使用有限元方程，還要加入邊界積分方程[7]：

(6)

其中G是格林函數，Ak是矢勢的分量，i是結點的編號。

由于電樞運動，在計算每一個時間步時需要重新計算邊界元相關的矩陣。為了減少計算量，可以視電樞與軌道中間部分一起運動，這時他們彼此間的相對位置不變，無需重復計算，而只要重新計算導軌首尾的貢獻即可。

對稱區(qū)域的邊界元可以通過映射方法得到，由于源點與網格上的場點距離不同，所以仍需要加入計算中。但由于網格只有原來的1/4，所需計算的場點也只有原來的1/4，使計算量大為減少。

2仿真結果

圖2為仿真所得的磁場分布圖，其中上側和右下側為對稱面，電樞從左下至右上側運動。圖中可以看到磁場趨于內表面。磁場與右下側對稱面相垂直，結果是對稱的。計算量有效減少。

圖2　磁場分布圖

3結論

三維電磁軌道炮的有限元仿真由于大尺度，多物理，結構復雜，為了進行精確的計算仿真，需要龐大的計算資源以及正確的仿真模型。通過編寫代碼，掌握了電磁仿真的關鍵技術，為改進軌道炮的設計提供了理論模型。

本文建立了對稱邊界條件下，三維電磁軌道炮有限元邊界元耦合模型。考慮了拉格朗日坐標系下電場的運動邊界條件。通過合理的設計減少了軌道炮系有限元與邊界元耦合時所需的計算量。

本文程序仍然有許多可以改進的地方，如本文為了不重復計算有限元矩陣，使用在運動方向上均勻的網格，當軌道炮尺寸比較大時，計算量仍很大,以及由于電樞與軌道的網格不在同一坐標系，需要添加跳變條件。這兩點可以通過使用隨電樞一起運動的網格改進，在軌道的頭端可以通過動態(tài)加入新網點保持計算的準確性。由于沒有使用逆矩陣減少邊界元的計算量，在迭代時計算量比較大。在速度比較低時，時間步長較大，影響對時間的偏導數計算，為了提高精度可以結合非線性的顯示差分算法[8]，使用更加細致的網格提高精度，以及通過MPI或GPU對計算進行進一步的加速。

參考文獻：

[1]RODGER D,LAI H C.A comparison of formulations for 3D finite element modeling of electromagnetic launchers[J].IEEE Transactions on Magnetics,2001,37(1):135-138.

[2]HSIEH K.A Lagrangian formulation for mechanically,thermally coupled electromagnetic diffusive processes with moving conductors[J].Magnetics,IEEE Transactions on,1995,31(1):604-609.

[3]XU E X,SIMKIN J,TAYLOR S C.Streamline upwinding in a 3-D edge-element method modeling eddy currents in moving conductors[J].IEEE transactions on magnetics,2006,42(4):667-670.

[4]林慶華,栗保明.電磁軌道炮三維瞬態(tài)渦流場的有限元建模與仿真[J].兵工學報,2009(9):1159-1163.

[5]林慶華,栗保明.有限元/邊界元耦合法計算電磁軌道炮三維瞬態(tài)渦流場[J].南京理工大學學報(自然科學版),2010(2):217-221.

[6]SATAPATHY S,HSIEH K.Jump conditions for Maxwell equations and their consequences[J].AIP Advances,2013,3(1):12120.

[7]MEUNIER G E R.The finite element method for electromagnetic modeling[M].John Wiley & Sons,2010.

[8]HANNALLA A,MACDONALD D.Numerical analysis of transient field problems in electrical machines[A].1976:893-898.

[9]李小將，楊成偉，武昊然. 基于單參數靈敏度方法的軌道炮系統(tǒng)性能影響因素分析[J].兵工自動化，2014(9):4-6.

(責任編輯周江川)

Finite Element/Boundary Element Simulation of 3D Rail Gun with Coupling Method Based on Symmetry Condition

LIN Zhi-peng, LIU Zhen-xiang, YANG Dong, OUYANG Jian-ming, YANG Li-jia

(College of Science, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Abstract:This article created finite element program and model for rail launch based on deal.ii in Lagrange coordinate frame. By using coupling finite element/boundary element coupling method, we can calculate boundary condition without air grid surround rail gun. It is a valid method to handle boundary problems of electromagnetic without the perimeter of the rail gun air mesh. But for boundary element method using full matrix which will cost a lot of calculation in 3D situation, we would better using symmetry conditions for rail gun to reduce the grid number and calculation.

Key words:rail gun; finite element; boundary element; symmetry condition

文章編號：1006-0707(2016)03-0042-03

中圖分類號：TM303.1

文獻標識碼：A

doi:10.11809/scbgxb2016.03.011

作者簡介：林志朋(1988—)，男，碩士研究生， 主要從事電磁發(fā)射與等離子體研究。

基金項目：國防預研項目

收稿日期：2015-10-09；修回日期：2015-10-22

本文引用格式：林志朋，劉振祥，楊棟，等.對稱邊界條件下軌道炮有限元/邊界元仿真[J].兵器裝備工程學報，2016(3):42-44.

【裝備理論與裝備技術】