王曉東，周豐峻，張　偉

(1.河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471023；2.總參工程兵科研三所，河南 洛陽(yáng) 471023)

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鏡像對(duì)稱(chēng)性多邊形構(gòu)型等邊凸多面體解析計(jì)算方法

王曉東1，周豐峻2，張偉1

(1.河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471023；2.總參工程兵科研三所，河南 洛陽(yáng) 471023)

摘要：基于組合多面體理論，利用計(jì)算機(jī)圖形學(xué)相關(guān)矩陣變換，建立了鏡像對(duì)稱(chēng)性多邊形構(gòu)型等邊凸多面體解析計(jì)算方法，并得到了等邊凸多面體由構(gòu)型和徑長(zhǎng)唯一確定的結(jié)論，該方法可直接運(yùn)用到大跨度單層球形網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中。等邊凸面體由平面多邊形板塊組成，便于設(shè)計(jì)和加工；主體桿件只有一種，便于預(yù)制及快速構(gòu)建。

關(guān)鍵詞：計(jì)算機(jī)圖形學(xué)；鏡像；等邊凸多面體；單層球形網(wǎng)殼

0引言

沿座邊和沿角展開(kāi)多面體由正五邊形和六邊形網(wǎng)格組成[1]，且具有鏡像對(duì)稱(chēng)性[2](與正20面體對(duì)稱(chēng)性相同，所屬對(duì)稱(chēng)群為Ih)，本文將其統(tǒng)稱(chēng)為鏡像對(duì)稱(chēng)性多邊形構(gòu)型多面體。

具有正20面體對(duì)稱(chēng)性的球形網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)因具有高度對(duì)稱(chēng)性、造型優(yōu)美、網(wǎng)格均勻以及受力合理等優(yōu)點(diǎn)而倍受青睞[3-5]。其中，三角形構(gòu)型網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)主要是美國(guó)工程師R.Fuller于1954年提出的短程線網(wǎng)殼[5]，其節(jié)點(diǎn)由5根或6根桿件匯交而成。而具有正20面體對(duì)稱(chēng)性的多邊形構(gòu)型網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)，節(jié)點(diǎn)由3根桿件[1]匯交而成，具有自身質(zhì)量輕、用鋼量少等優(yōu)勢(shì)[6]，目前其計(jì)算方法主要基于“突角和相等”假定[6-8]。本文在此基礎(chǔ)上建立了等邊凸多面體解析計(jì)算方法，使得結(jié)構(gòu)主體桿件只有一種，便于工廠預(yù)制及結(jié)構(gòu)快速構(gòu)建[8]，從而縮短工期。

該方法基于組合多面體理論，以獨(dú)立角點(diǎn)坐標(biāo)為未知變量，利用多面體對(duì)稱(chēng)性及計(jì)算機(jī)圖形學(xué)相關(guān)矩陣變換[9]求解單元內(nèi)相關(guān)角點(diǎn)的坐標(biāo)。然后，建立方程組使獨(dú)立六邊形各角點(diǎn)共平面，使獨(dú)立桿件兩兩相等，使正五邊形角點(diǎn)到球心距離為定值，并據(jù)此編寫(xiě)相關(guān)計(jì)算程序求解各獨(dú)立角點(diǎn)坐標(biāo)。凸多面體六邊形網(wǎng)格具有平面性，故板塊可做成便于加工的平面形式，從而減少模具費(fèi)用。

1基于組合多面體理論的凸多面體約束條件

1.1拓?fù)浼s束

由文獻(xiàn)[1]可知：從平面單元映射到空間單元，包括拓?fù)溧徑雍屯負(fù)潢P(guān)聯(lián)等在內(nèi)的拓?fù)潢P(guān)系不變。

1.2對(duì)稱(chēng)性約束

圖1　92面體平面單元

在沿座邊或沿角展開(kāi)平面單元圖中，可按下述原則確定一個(gè)正三角形：三角形形心與單元中心重合，三角形棱邊穿過(guò)單元最外層六邊形形心。例如，圖1為92面體平面單元，圖1中確定的正三角形為加粗虛線。顯然也可以反過(guò)來(lái)對(duì)正三角形進(jìn)行網(wǎng)格劃分，得到平面單元。

若無(wú)特殊說(shuō)明，本文中的平面單元是對(duì)圖2所示△O5O51O52進(jìn)行網(wǎng)格劃分得到的。對(duì)稱(chēng)性約束是指：若平面單元中的幾何元素(包括點(diǎn)、棱邊和六邊形)關(guān)于△O5O51O52的棱邊或高對(duì)稱(chēng)，則對(duì)平面單元進(jìn)行拓?fù)渥儞Q后，幾何元素關(guān)于△O5O51O52的棱邊或高與點(diǎn)O確定的平面對(duì)稱(chēng)。例如，對(duì)圖2中的△O5O51O52進(jìn)行網(wǎng)格劃分，得到的162面體平面單元見(jiàn)圖3，其中，點(diǎn)P1與點(diǎn)A1關(guān)于O5O52對(duì)稱(chēng)，對(duì)平面單元進(jìn)行拓?fù)渥儞Q后，點(diǎn)P1與點(diǎn)A1關(guān)于面OO5O52對(duì)稱(chēng)(面OO5O52見(jiàn)圖2)。

對(duì)于平面單元，將位于△O5O2O3內(nèi)及邊界上的角點(diǎn)稱(chēng)為特征角點(diǎn)，將形心位于△O5O2O3內(nèi)及邊界上的六邊形稱(chēng)為特征六邊形，將中點(diǎn)位于△O5O2O3內(nèi)及邊界上的六邊形稱(chēng)為特征棱邊。例如，圖3所示單元中，六邊形I～I(xiàn)II為特征六邊形，點(diǎn)P1～P4及點(diǎn)M為特征角點(diǎn)，A1P1等加粗棱邊為特征棱邊。

圖2 正20面體圖3 162面體平面單元

1.3平面性約束

平面性約束是指平面單元拓?fù)渥儞Q為空間單元后，特征六邊形依然具有平面性。同時(shí)滿足拓?fù)浼s束、對(duì)稱(chēng)性約束和平面性約束的多面體是凸多面體。

1.4等邊約束

等邊約束是指平面單元拓?fù)渥儞Q為空間單元后，所有特征棱邊長(zhǎng)度相等。同時(shí)滿足拓?fù)浼s束、對(duì)稱(chēng)性約束、平面性約束和等邊約束的多面體是等邊凸多面體。

1.5徑長(zhǎng)約束

定義正五邊形角點(diǎn)到球心距離為標(biāo)準(zhǔn)徑長(zhǎng)。徑長(zhǎng)約束由標(biāo)準(zhǔn)徑長(zhǎng)確定。

2正20面體相關(guān)參數(shù)求解

求解圖2所示正20面體的相關(guān)參數(shù)，利用對(duì)稱(chēng)性建立多邊形構(gòu)型凸多面體約束方程。

2.1繞過(guò)原點(diǎn)任一軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣

空間一軸過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且單位方向向量為(a,b,c)，則繞該軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣[9]Br為：

Br=a2+(1-a2)cosθ ab(1-cosθ)+csinθ ac(1-cosθ)-bsinθab(1-cosθ)-csinθb2+(1-b2)cosθbc(1-cosθ)-asinθac(1-cosθ)+bsinθbc(1-cosθ)-asinθc2+(1-c2)cosθé?êêêêù?úúúú

(1)

2.2正20面體中心對(duì)稱(chēng)軸相關(guān)參數(shù)求解

2.3鏡像對(duì)稱(chēng)面方程求解

2.4關(guān)于對(duì)稱(chēng)平面的對(duì)稱(chēng)變換矩陣

(Ⅰ)設(shè)平面#1的方程為ax+by+cz=0(a2+b2+c2≠0)，點(diǎn)A(x,y,z)關(guān)于面#1的對(duì)稱(chēng)變換矩陣推導(dǎo)方法如下：先將面#1連同點(diǎn)A一起旋轉(zhuǎn)至面#1與xOy面重合；然后，按關(guān)于xOy面對(duì)稱(chēng)變換的方法處理；最后，將面#1連同變換后的點(diǎn)反轉(zhuǎn)到原來(lái)位置上[9]。對(duì)稱(chēng)變換矩陣為：

(2)

(Ⅱ)關(guān)于面OO5O52、面OO5O22和面OO51O2的對(duì)稱(chēng)變換矩陣分別為：

3沿座邊展開(kāi)多面體

圖4　組合42面體平面單元

3.1設(shè)定未知變量并由對(duì)稱(chēng)性約束求相關(guān)角點(diǎn)坐標(biāo)

設(shè)點(diǎn)P1、M經(jīng)拓?fù)渥儞Q后的坐標(biāo)分別為：

點(diǎn)P1與點(diǎn)A1關(guān)于面OO5O52對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P1與點(diǎn)C1關(guān)于面OO51O2對(duì)稱(chēng)，故點(diǎn)A1和點(diǎn)C1坐標(biāo)分別為：

3.2根據(jù)平面性約束建立方程

由六邊形I的對(duì)稱(chēng)性知：六邊形Ⅰ具有平面性?P1M⊥OO2。由此建立約束方程：

(3)

3.3根據(jù)等邊約束建立方程

令特征棱邊兩兩相等，建立約束方程：

(4)

3.4根據(jù)徑長(zhǎng)約束建立方程

令標(biāo)準(zhǔn)徑長(zhǎng)為100，建立約束方程：

(5)

聯(lián)立方程(3)～方程(5)解得等邊凸42面體特征角點(diǎn)坐標(biāo)為：

P1(17.476 777 162 483 51，95.477 393 660 613 52，24.054 720 114 545 802)；

M(35.852 948 150 265，79.845 688 955 441 87，49.347 349 629 615 15)。

根據(jù)已求特征角點(diǎn)坐標(biāo)、拓?fù)浼s束和對(duì)稱(chēng)性約束建立的等邊凸42面體全球模型見(jiàn)圖5，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)半球模型見(jiàn)圖6。

圖5 等邊凸42面體全球模型圖6 等邊凸42面體網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)半球模型

4沿角展開(kāi)多面體

以組合122面體作為沿角展開(kāi)多面體的算例。圖7為組合122面體平面單元，其中，六邊形I～I(xiàn)II為特征六邊形，點(diǎn)P1～P3為特征角點(diǎn)，P1A1等加粗邊為特征棱邊。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性約束，對(duì)平面單元進(jìn)行拓?fù)渥儞Q后，點(diǎn)P1、P2位于面OO5O52上；面OO5O22為六邊形Ⅰ的對(duì)稱(chēng)面；面OO5O52和OO51O2為六邊形Ⅱ的對(duì)稱(chēng)面；六邊形Ⅲ有3個(gè)穿過(guò)棱邊中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)面。面、軸等空間幾何元素元圖2。

圖7　組合122面體平面單元

4.1設(shè)定未知變量并根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求相關(guān)角點(diǎn)坐標(biāo)

設(shè)特征角點(diǎn)P1、P2、P3坐標(biāo)分別為p1=(0,y1,z1)，p2=(0,y2,z2)，p3=(x3,y3,z3)。 點(diǎn)P1、P3分別與點(diǎn)A1、A3關(guān)于面#53對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P3與點(diǎn)B3關(guān)于面#23對(duì)稱(chēng)。故點(diǎn)A1、A3、B3坐標(biāo)分別為a1=(0,y1,z1)Bm5，22，a3=(x3,y3,z3)Bm5，22，b3=(x3,y3,z3)Bm51，2。

4.2根據(jù)平面性約束建立方程

由各特征六邊形經(jīng)拓?fù)渥儞Q后的對(duì)稱(chēng)性：

(Ⅰ)六邊形Ⅰ具有平面性?面P1P2P3⊥面OO5O22。由點(diǎn)P1、P2、P3的坐標(biāo)可求出面P1P2P3的法向量σ1。令σ1與面OO5O22法向量的點(diǎn)積等于0，即：

(6)

(7)

(Ⅲ)六邊形Ⅲ恒為平面六邊形。

4.3根據(jù)等邊約束建立方程

令特征棱邊兩兩相等，建立約束方程：

(8)

(9)

(10)

(11)

4.4根據(jù)徑長(zhǎng)約束建立方程

令標(biāo)準(zhǔn)徑長(zhǎng)為100，建立約束方程：

(12)

聯(lián)立方程(6)～方程(12),解得特征角點(diǎn)坐標(biāo)為：

P1(0，98.455 080 744 761 96，17.509 913 636 063 487)；

P2(0，94.593 651 368 860 11，37.728 620 338 600 194)；

P3(19.229 132 760 508 03，90.732 221 992 958 26，43.976 544 313 966 69)。

根據(jù)已求特征角點(diǎn)坐標(biāo)、拓?fù)浼s束和對(duì)稱(chēng)性約束建立的等邊凸122面體全球模型見(jiàn)圖8，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)半球模型見(jiàn)圖9。

圖8等邊凸122面體全球模型圖9等邊凸122面體網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)半球模型

5鏡像對(duì)稱(chēng)性等邊凸多面體由構(gòu)型和徑長(zhǎng)唯一確定

表1為鏡像對(duì)稱(chēng)性等邊凸多面體未知變量與約束方程數(shù)量統(tǒng)計(jì)表。由表1可知：使鏡像對(duì)稱(chēng)性多邊形構(gòu)型多面體為等邊凸多面體的約束方程個(gè)數(shù)，等于設(shè)定的未知變量個(gè)數(shù)，故當(dāng)單元構(gòu)型和徑長(zhǎng)一定時(shí)，對(duì)應(yīng)的等邊凸多面體是唯一確定的。

表1　鏡像對(duì)稱(chēng)性等邊凸多面體未知變量與約束方程數(shù)量統(tǒng)計(jì)

注：未知變量為特征角點(diǎn)坐標(biāo)，約束方程包括平面性約束方程、等邊約束方程和徑長(zhǎng)約束方程。

6結(jié)論

(1)本文方法是根據(jù)多面體的性質(zhì)建立的，以特征角點(diǎn)坐標(biāo)為未知變量，利用拓?fù)浼s束、對(duì)稱(chēng)性約束、等邊約束、徑長(zhǎng)約束及計(jì)算機(jī)圖形學(xué)相關(guān)矩陣變換理論，建立約束方程。(2)對(duì)于鏡像對(duì)稱(chēng)性多邊形構(gòu)型多面體，當(dāng)單元構(gòu)型和徑長(zhǎng)一定時(shí)，對(duì)應(yīng)的等邊凸多面體是唯一確定的。等邊凸多面體不僅所有多邊形網(wǎng)格具有平面性，而且所有棱邊長(zhǎng)度均相等。(3)這一系列球形等邊凸多面體可直接運(yùn)用到單層球形網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中。由于主體桿件只有一種，因此，便于桿件批量預(yù)制及網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)快速構(gòu)建。由于多邊形網(wǎng)格具有平面性，因此，玻璃或其他材質(zhì)屋面可以做成平面形式，便于加工。

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中圖分類(lèi)號(hào)：TU33

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期：2015-07-08

作者簡(jiǎn)介：王曉東(1991-),男,河南安陽(yáng)人,碩士生;周豐峻(1938-),男,山東黃縣人,院士,博士生導(dǎo)師,主要從事空間結(jié)構(gòu)的研究.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51208182,51309233)

文章編號(hào)：1672-6871(2016)03-0064-05

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.03.014