徐　磊，陳曉懷

(合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

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蒙特卡洛法評定坐標測量機直徑測量不確定度

徐磊，陳曉懷

(合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

摘要：工件完整的測量結(jié)果由測量估計值和測量不確定度組成，而坐標測量機在實際應(yīng)用過程中，通常僅提供一個被測參數(shù)的估計值。以坐標測量機測量工件直徑為例，闡述了測量過程中影響測量結(jié)果的不確定度來源，并討論了坐標測量機面向任務(wù)的不確定度評定模型，給出基于測量不確定度表示指南和蒙特卡洛法的不確定度評定方法。最后，用某工件直徑測量的不確定度評定實例驗證所述方法的可行性。通過比較發(fā)現(xiàn)：當(dāng)測量模型為非線性模型或輸入量服從多種分布類型時，蒙特卡洛法更加準確、便捷。

關(guān)鍵詞：坐標測量機；直徑測量；蒙特卡洛法；不確定度評定

0引言

在進行工件測量時，完整的測量結(jié)果應(yīng)包含測量估計值和測量不確定度。測量不確定度是表征被測量值分散性的非負參數(shù)。測量結(jié)果的可用性很大程度上取決于其測量不確定度的大小[1]。文獻[2]依據(jù)測量不確定度表示指南(guide to the expression of uncertainty in measurement,GUM)對測量模型較為簡單的測量系統(tǒng)進行測量不確定度的評定，簡單有效，但對于坐標測量機(coordinate measuring machine,CMM)而言，該方法評定難度較大。這是由于CMM是一種復(fù)雜的幾何量測量儀器，其測量策略的多樣性使得不同測量任務(wù)的不確定度評定過程和結(jié)果大相徑庭，且影響CMM測量不確定度的誤差源因素很多，誤差源與測量結(jié)果的傳遞關(guān)系難以確定[3-4]。文獻[5]基于產(chǎn)品幾何規(guī)范對CMM測量結(jié)果進行不確定度評定，該方法雖具可行性，但其復(fù)現(xiàn)性試驗的合理規(guī)劃是難點，測量人員需要有深厚的專業(yè)功底，且該方法需要大量試驗數(shù)據(jù)，工作量較大。因此，CMM的測量結(jié)果通常只提供被測參數(shù)的估計值，不能給出測量任務(wù)的測量不確定度[6-7]。本文在CMM直角坐標系下，采用最小二乘法擬合圓，對工件直徑測量的不確定度進行分析評定。分別采用GUM法和蒙特卡洛法(Monte Carlo method,MCM)對測量不確定度進行評定，并對兩種方法進行了比較。研究內(nèi)容對提高CMM測量不確定度評定的可靠性與可操作性，以及提升CMM的應(yīng)用價值和空間，都具有一定的參考價值。

1測量模型

對應(yīng)擬合圓時所采的測量點Pi(xi,yi)，則有正規(guī)方程組：

(1)

求解方程組(1)即可得到a、b、c，表示為：

(2)

CMM在圓的實際測量和評定過程中，一般會對采樣點附加約束條件，即測量采樣點數(shù)量為偶數(shù)，且在被測圓周上等間距分布。在此約束條件下最小二乘圓的圓心坐標[9]為：

(3)

(4)

求解式(4)，可得直徑表達式為：

(5)

2測量不確定度評定模型

CMM測量直徑時，影響測量結(jié)果的主要誤差源包括儀器自身的21項機構(gòu)誤差、測量重復(fù)性誤差、熱變形誤差、力變形誤差、探測系統(tǒng)誤差和動態(tài)測量誤差等。因此，CMM測量直徑D的一般數(shù)學(xué)表達式[10]為：

D=d+d(αW-αM)δθ+δres+δt+δv，

(6)

其中：d為測量模型的輸出直徑；αW為工件的熱膨脹系數(shù)；αM為CMM光柵尺的熱膨脹系數(shù)；δθ為實際測量溫度與標準溫度(20 ℃)的差值；δres為示值誤差對測量結(jié)果的影響；δv為測量力對測量結(jié)果的影響;δt為動態(tài)誤差對測量結(jié)果的影響。

直徑D是關(guān)于輸入量d、δθ、δres、δv、δt的函數(shù)，即：

D=f(d,δθ,δres,δv,δt)。

輸入量之間互不相關(guān)，根據(jù)GUM法可得各傳遞因數(shù)[11]為：

于是，CMM測量直徑D的合成標準不確定度為：

四是運行環(huán)境方面的問題。任何一項工作機制的運行，都需要一定的環(huán)境作為支撐?！耙徽臼健彼痉ù_認機制得以建立，其根本原因是黨和政府關(guān)于完善矛盾糾紛多元化解機制的基本要求。在這種條件下，完善工作機制、化解矛盾糾紛、維護社會穩(wěn)定成為各級黨委、政府和相關(guān)部門的一項重要任務(wù)，也就為“一站式”司法確認機制的建立創(chuàng)造了條件。該機制的運行，不僅需要司法機關(guān)、司法行政機關(guān)創(chuàng)造條件予以保障，同時也需要各級黨委、政府、相關(guān)部門和組織，在思想理念、工作目標、工作機制等方面提供支持和保障，為該機制的運行創(chuàng)造良好環(huán)境。

(7)

同理，可分析得到u(d)。由式(5)知：

d=g(xi,yi,x0,y0)。

則各傳遞因數(shù)為：

(8)

于是，

(9)

將u(d)代入式(7)即得到被測直徑D的標準不確定度uC(D)。

3蒙特卡洛法

蒙特卡洛法評定測量不確定度是基于分布傳播的原理，適用于具有任意多個可由概率密度函數(shù)表征的輸入量和單一輸出量的測量模型，即需要已知模型中各輸入量的概率分布，由評定模型計算出輸出量的分布[12-14]。

圖1　基于蒙特卡洛法的不確定度評定流程圖

基于蒙特卡洛法的不確定度評定步驟如下：(Ⅰ)建立公式Y(jié)=f(xi)，即確定輸出量與輸入量之間的數(shù)學(xué)模型和測量不確定度的來源；(Ⅱ)分析確定各輸入量的概率密度函數(shù)g(xi)和蒙特卡洛模擬次數(shù)M；(Ⅲ)通過計算機技術(shù)產(chǎn)生M組偽隨機輸入量，代入評定方程，得到輸出量的M個值與分布函數(shù)的離散表示。將輸出量的期望作為測量結(jié)果的估計值，輸出量的標準偏差作為測量結(jié)果的標準不確定度，結(jié)合包含概率P，確定測量結(jié)果的包含區(qū)間，得出擴展不確定度。蒙特卡洛法評定測量不確定度的流程如圖1所示。

4實例分析

采用?？怂箍礛H3D-DCC型三坐標測量機對車載空壓機上殼體的直徑進行測量，并評定其測量不確定度。試驗所用坐標測量機空間長度測量精度MPEE≤(3+4L/1 000) μm，光柵尺的分辨率為0.1 μm。被測工件和機器光柵尺的熱膨脹系數(shù)以及變化范圍分別為：

αW=23.2×10-6℃-1；△αW=±4×10-6℃-1；

αM=10.5×10-6℃-1；△αM=±2×10-6℃-1。

將工件擺放在工作平面的中央，記錄測量環(huán)境，采取自動測量的方法，鎖定Z軸。在同一圓截面上等間距采樣8個點來評價被測圓的直徑。

表1　采樣點的坐標值傳遞因數(shù)

重復(fù)測量10次獲得各采樣點的坐標值，計算單點坐標的不確定度u(xi)、u(yi)，為安全起見，選取其中的最大值作為最終的評價數(shù)據(jù)。通過試驗數(shù)據(jù)計算知u(xi)≈u(yi)≤1.60 μm，則由式(3)計算可得u(x0)≈u(y0)≤0.57 μm。通過式(8)計算各傳遞因數(shù)，結(jié)果如表1所示。

根據(jù)式(9)計算得u(d)=1.10 μm。試驗采用自動測量，測速較慢，測量力所引起的誤差和動態(tài)誤差可忽略不計。根據(jù)被測工件的標稱尺寸計算知u(δres)=1.89 μm。試驗室溫度控制在(20±1) ℃，考慮均勻分布，則δθ=1 ℃，計算得：

根據(jù)式(7)計算標準不確定度為：

uC(D)=2.20 μm。

GUM法指出當(dāng)輸出量服從或近似服從正態(tài)分布時：

(Ⅰ)若自由度小，則根據(jù)韋爾奇-薩特思偉特(Welch-Satterthwaite)公式計算出自由度v，并由t分布表得到包含因子k。

(10)

該法需要計算出所有不確定度分量的自由度。

(Ⅱ)若自由度大，則當(dāng)包含概率P=95%時，包含因子k默認取2.00;當(dāng)P=99%時，k默認取3.00。在實際應(yīng)用中，通常無法確定輸出量的分布類型與自由度，但在不確定度報告中又需要給出擴展不確定度，此時包含因子k根據(jù)包含概率取2.00或3.00，即假設(shè)輸出量服從正態(tài)分布。

若取P=95%，則k=2.00。GUM法獲得測量結(jié)果的擴展不確定度為U=k·uC(D)=4.40 μm，包含區(qū)間為(67.064 0，67.073 8)。

4.2MCM評定結(jié)果

圖2　蒙特卡洛法直徑測量結(jié)果的分布圖

方法D/mmU/μmk包含區(qū)間(P=95%)GUM67.06844.802.00(67.0636,67.0732)GUM67.06843.801.72(67.0646,67.0722)MCM67.06863.501.75(67.0651,67.0721)

4.3評定結(jié)果對比

由圖2可以看出：輸出量近似服從梯形分布，與GUM法默認的服從正態(tài)分布不符。所以當(dāng)包含概率P=95% 時，GUM法所采用的包含因子k不可取2.00，此時由梯形角參數(shù)與包含概率可得：k=1.72。則U=k·uC(D)=3.80 μm，包含區(qū)間為(67.064 6，67.072 2)?；贕UM法與MCM評定出的CMM直徑測量的擴展不確定度，如表2所示。

對比評定結(jié)果可知：當(dāng)包含因子k在不考慮輸出量的分布，默認取2.00時的擴展不確定度比實際的擴展不確定度擴大了26%。

5結(jié)論

(1)MCM略過求解靈敏系數(shù)的過程，避免了GUM法在計算靈敏系數(shù)時忽略泰勒級數(shù)高階項的誤差和繁雜的計算。

(2)在測量不確定度評定模型復(fù)雜的情況下，運用MCM可有效簡化測量不確定度的評定流程。

(3)MCM可由輸出量的離散表示得出擴展不確定度，避免了GUM法中包含因子k的近似。

綜上所述，當(dāng)CMM測量模型為非線性等復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型或輸入量服從多種分布類型時，基于蒙特卡洛法評定測量不確定度更加準確、便捷。

參考文獻：

[1]國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局.測量不確定度評定與表示:JJF 1059.1—2012[S].北京:中國質(zhì)檢出版社,2012.

[2]張孝軍,程銀寶,吳軍,等.數(shù)字式功率計檢測電磁灶熱效率測量結(jié)果不確定度評定[J].計量與測試技術(shù),2013,40(7):48-49.

[3]張國雄.三坐標測量機[M].天津:天津大學(xué)出版社,1999.

[4]陳曉懷,李紅莉,楊橋,等.坐標測量機面向任務(wù)的測量不確定度評定[J].計量學(xué)報,2015,36(6):579-583.

[5]楊橋,徐磊,姜瑞.基于GPS的三坐標測量機不確定度評定[J].計量與測試技術(shù),2014,41(9):1-2.

[6]葉德培.測量不確定度理解評定與應(yīng)用[M].北京:中國質(zhì)檢出版社,2013:1-9.

[7]陳曉懷,王漢斌,程銀寶,等.基于測量不確定度的產(chǎn)品檢驗中誤判率計算[J].中國機械工程,2015,26(14):1847-1850,1856.

[8]馬向南,李航,劉麗麗,等.最小二乘改進算法及其在橢圓擬合中的應(yīng)用[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2014,35(3):18-21.

[9]李飛,雷賢卿,崔靜偉,等.圓度誤差的二分法逼近搜索評定[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2014,35(2):20-23.

[10]李高峰.三坐標測量機形狀誤差測量不確定度評定[D].合肥:合肥工業(yè)大學(xué),2013.

[11]費業(yè)泰.誤差理論與數(shù)據(jù)處理[M].6版.北京:機械工業(yè)出版社,2010.

[12]陳懷艷,曹蕓,韓潔.基于蒙特卡羅法的測量不確定度評定[J].電子測量與儀器學(xué)報,2011,25(4):301-308.

[13]石照耀,張宇,張白.三坐標機測量齒輪齒廓的不確定度評價[J].光學(xué)精密工程,2012,20(4):766-771.

[14]國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局.用蒙特卡洛法評定測量不確定度:JJF 1059.2—2012[S].北京:中國質(zhì)檢出版社,2012.

中圖分類號：TB92

文獻標志碼：A

收稿日期：2015-11-11

作者簡介：徐磊(1993-),男,安徽滁州人,碩士生;陳曉懷(1954-),女,安徽懷寧人,教授,博士,博士生導(dǎo)師,主要研究方向為現(xiàn)代精度理論與應(yīng)用.

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(51275148)

文章編號：1672-6871(2016)03-0015-04

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.03.004