李奕蓉,胡捍英

(解放軍信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院,河南鄭州 450000)

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一種低旁瓣方向圖修正的MIMO雷達(dá)波形設(shè)計方法

李奕蓉,胡捍英

(解放軍信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院,河南鄭州 450000)

摘要:在多輸入多輸出雷達(dá)波形設(shè)計中,降低發(fā)射方向圖旁瓣能夠抑制旁瓣雜波和虛假目標(biāo)能量,提高接收信噪比,從而改善角度估計性能.鑒于此,提出一種基于低旁瓣方向圖修正的多輸入多輸出雷達(dá)波形設(shè)計方法.該方法在采用半正定松弛技術(shù)求解得到發(fā)射信號相關(guān)矩陣的基礎(chǔ)上,通過改變信號相關(guān)矩陣的非對角線元素,建立低旁瓣方向圖修正模型,對方向圖旁瓣進(jìn)行抑制.最后,根據(jù)修正后的信號相關(guān)矩陣獲得波束加權(quán)矩陣,并采用ESPRIT算法進(jìn)行到達(dá)角估計.同時,還對所提方法的可行性進(jìn)行了分析.仿真結(jié)果表明,所提方法能夠有效地降低方向圖旁瓣,提高角度估計精度和角度分辨率.

關(guān)鍵詞:多輸入多輸出雷達(dá);到達(dá)角估計;波形設(shè)計;低旁瓣;發(fā)射方向圖

波形分集[1-3]能力是多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)雷達(dá)區(qū)別于其他體制雷達(dá)的一個重要特性,尤其是對集中式多輸入多輸出雷達(dá)[4-5]來說,通過靈活地設(shè)計發(fā)射信號,可以提高參數(shù)估計精度和檢測概率等多方面的性能.現(xiàn)有的多輸入多輸出雷達(dá)大多發(fā)射正交波形[6-7],發(fā)射功率在空間全向均勻分布,有利于在雷達(dá)探測初始階段進(jìn)行全空檢測.但是,發(fā)射正交波形會導(dǎo)致接收信噪比降低.以角度估計為例,當(dāng)空間目標(biāo)位置較近時,若依然采用正交波形,將會導(dǎo)致目標(biāo)范圍內(nèi)信號獲得的功率較小,極大地影響接收端角度估計性能.因此,近年來以提高多輸入多輸出雷達(dá)參數(shù)估計精度為目的的部分相關(guān)波形設(shè)計方法得到了廣泛研究.

為了方便接收端進(jìn)行匹配濾波,現(xiàn)有的部分相關(guān)波形設(shè)計大多是通過設(shè)計波束加權(quán)矩陣對正交信號進(jìn)行加權(quán),形成滿足要求的發(fā)射波束.針對單基地多輸入多輸出雷達(dá),文獻(xiàn)[8]以最小化到達(dá)角(Direction Of Arrival,DOA)估計的克拉美羅界(Cramer-Rao Bound,CRB)為目標(biāo)建立優(yōu)化模型,并進(jìn)行求解.但是,該方法并沒有考慮信號的旋轉(zhuǎn)不變性,若要使用避免譜峰搜索的基于旋轉(zhuǎn)不變特性的信號參數(shù)估計(Estimating Signal Parameters via Rotational Invariant Technique,ESPRIT)算法,必須保證接收陣列為均勻線陣.文獻(xiàn)[9]將信號的旋轉(zhuǎn)不變性考慮到加權(quán)矩陣的優(yōu)化模型中,利用凸優(yōu)化方法求解加權(quán)矩陣,能夠在接收端采用ESPRIT算法進(jìn)行到達(dá)角估計,解除了接收陣列為均勻線陣的限制,避免了譜峰搜索帶來的高復(fù)雜度.但是,該方法不能保證每個陣元的發(fā)射功率相等,降低了雷達(dá)的總發(fā)射功率,進(jìn)而降低了探測距離.文獻(xiàn)[10]在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上,同時考慮每個陣元發(fā)射功率相等、方向圖匹配性能以及接收信號的旋轉(zhuǎn)不變性,建立波束加權(quán)矩陣的優(yōu)化模型,到達(dá)角估計性能優(yōu)于文獻(xiàn)[9].但是,該方法并沒有對方向圖旁瓣進(jìn)行額外限制,導(dǎo)致得到的方向圖旁瓣較高,接收信噪比降低,到達(dá)角估計性能依然受到限制.

針對上述問題,筆者提出一種基于低旁瓣方向圖修正的多輸入多輸出雷達(dá)波形設(shè)計方法,用于進(jìn)一步提高多輸入多輸出雷達(dá)到達(dá)角估計性能.首先,根據(jù)文獻(xiàn)[10]的模型,建立波束加權(quán)矩陣的基本優(yōu)化模型;然后,采用半正定松弛技術(shù)將該非凸優(yōu)化問題松弛為凸優(yōu)化問題,求解得到發(fā)射信號相關(guān)矩陣;緊接著,為了解決文獻(xiàn)[10]設(shè)計信號形成的發(fā)射方向圖旁瓣較高的問題,提出一種低旁瓣方向圖修正方法,通過修正發(fā)射信號相關(guān)矩陣的非對角線元素,有效地降低了方向圖旁瓣,提高了接收信噪比;最后,將信號相關(guān)矩陣轉(zhuǎn)換為波束加權(quán)矩陣,并采用ESPRIT算法進(jìn)行角度估計.

1 多輸入多輸出雷達(dá)模型

1.1 信號模型

假設(shè)單基地多輸入多輸出雷達(dá)有M個發(fā)射陣元,N個接收陣元,陣元之間集中式放置.其中,發(fā)射陣列為均勻線陣,陣元間距為d.令?(t)=[?1(t),…,?K(t)]T,為t時刻的K×1維窄帶發(fā)射信號向量,K為發(fā)射波束個數(shù)(K＜M,適當(dāng)減少發(fā)射波束個數(shù)可提高每個波束的發(fā)射功率).假設(shè)各陣元發(fā)射信號相互正交.為了將能量有效地集中于空間感興趣的區(qū)域內(nèi),引入M×K維波束加權(quán)矩陣W=[w1,…,wk]來對發(fā)射信號進(jìn)行處理,經(jīng)過加權(quán)處理后的發(fā)射信號為

則發(fā)射信號的設(shè)計等效于波束加權(quán)矩陣W的優(yōu)化.

發(fā)射方向圖反映了空間能量分布情況,其表達(dá)式為

設(shè)一個脈沖內(nèi)的發(fā)射總功率為E,則t時刻到達(dá)空間θ處的信號為

假設(shè)感興趣的區(qū)域內(nèi)共存在L個互不相關(guān)的目標(biāo),則經(jīng)目標(biāo)反射并于t時刻到達(dá)接收陣列的第τ個回波脈沖為

其中,αl(τ)為第τ個脈沖在目標(biāo)l上的散射系數(shù),b(θl)為第l個目標(biāo)的接收導(dǎo)向矢量,z(t,τ)為噪聲項.由于?(t)中各信號具備正交性,因此,在接收端利用?k(t)對r(t,τ)進(jìn)行匹配濾波后的信號可以表示為

1.2 到達(dá)角估計的克拉美羅界

由式(6)中的接收信號模型,引入波束加權(quán)矩陣W后到達(dá)角估計的克拉美羅界可以表示為[9]

1.3 波束加權(quán)矩陣W的基本優(yōu)化模型

為了在接收端采用不需要譜峰搜索的ESPRIT算法進(jìn)行角度估計,同時放寬對接收陣列陣型的要求,接收端信號應(yīng)滿足旋轉(zhuǎn)不變性.假設(shè)發(fā)射波束K為偶數(shù),則滿足信號旋轉(zhuǎn)不變性的波束加權(quán)矩陣W的結(jié)構(gòu)[]為

其中,Pd(θq)為期望方向圖,θq∈[-π/2,π/2],Q為角度細(xì)分的網(wǎng)格數(shù).式中約束條件C1及C2表示發(fā)射方向圖與期望方向圖匹配;C3表示每個陣元的發(fā)射功率相等,用于保證雷達(dá)向全空域發(fā)射總功率最大.式(10)為非凸優(yōu)化問題[10],不容易獲得最優(yōu)解.

2 基于低旁瓣方向圖修正的多輸入多輸出雷達(dá)波形設(shè)計方法

筆者提出了一種基于低旁瓣方向圖修正的多輸入多輸出雷達(dá)波形設(shè)計方法:首先,將式(10)松弛為凸優(yōu)化問題,求解發(fā)射信號相關(guān)矩陣;然后,建立低旁瓣方向圖修正模型,對信號相關(guān)矩陣的非對角線元素進(jìn)行修正,抑制發(fā)射方向圖旁瓣,以改善接收信噪比,提高到達(dá)角估計性能.

2.1 發(fā)射信號相關(guān)矩陣的求解

式(10)為非凸優(yōu)化問題,應(yīng)該將其轉(zhuǎn)換為凸優(yōu)化問題來求解.構(gòu)造矩陣Ai,滿足

則根據(jù)矩陣跡的性質(zhì),可得

定義X=wwH,雖然X的定義與真正的發(fā)射信號相關(guān)矩陣Rψ有所區(qū)別,但兩者具有等效性(2.3節(jié)對此進(jìn)行了說明),因此也將X稱為發(fā)射信號相關(guān)矩陣.引入X后,式(10)將轉(zhuǎn)換為對X進(jìn)行優(yōu)化.但是,注意到X必須滿足rank(X)=1,這個限制條件是非凸的,會導(dǎo)致整個優(yōu)化問題難以求解.因此,筆者采用半正定松弛(Semi-Definite Relaxation,SDR)技術(shù)[11]對該條件進(jìn)行松弛,則式(10)中關(guān)于w的優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為對發(fā)射信號相關(guān)矩陣X的優(yōu)化:

式(14)為半正定規(guī)劃(Semi-Definite Programming,SDP)問題,可利用Matlab凸優(yōu)化工具箱來有效求解.但是,由于上述方法在優(yōu)化過程中沒有對方向圖旁瓣進(jìn)行額外限制,將導(dǎo)致設(shè)計得到的方向圖旁瓣較高,影響接收信噪比.為了提高接收信噪比,應(yīng)對其旁瓣進(jìn)行抑制.接下來建立低旁瓣方向圖修正模型.

2.2 低旁瓣方向圖修正模型

文獻(xiàn)[12]給出了一種信號相關(guān)矩陣Rψ的優(yōu)化模型來降低方向圖旁瓣.而對筆者來說,根據(jù)式(14)僅能求解出X,因此,參照文獻(xiàn)[12]的模型,采用對X的非對角線元素進(jìn)行修正的方法來降低方向圖旁瓣.定義方向圖修正矩陣為B,其對角線元素為零,以最小化發(fā)射方向圖的旁瓣值為目標(biāo)建立的優(yōu)化模型為

其中,Ω表示旁瓣區(qū)域,定義為主瓣以外的區(qū)域.約束條件C1表示積分旁瓣最小化,C2保證信號相關(guān)矩陣的對角線元素不變,C3保證了修正后的X依然是Hermitian矩陣,C4保證修正后的矩陣仍為半正定矩陣.α為一預(yù)先給定的參數(shù),用于調(diào)節(jié)發(fā)射方向圖主瓣失真和旁瓣降低程度.式(15)也是一個半正定規(guī)劃問題,可利用Matlab凸優(yōu)化工具箱來求解.

根據(jù)上述模型獲得修正矩陣B的最優(yōu)解后,則最終的信號相關(guān)矩陣可以表示為X=X-B.根據(jù)X= wwH,采用隨機(jī)化方法[11]求解波束加權(quán)向量w.在求解得到w后,即可由式(9)構(gòu)造滿足信號旋轉(zhuǎn)不變性的波束加權(quán)矩陣W,至此完成發(fā)射信號的設(shè)計.發(fā)射信號設(shè)計完成后,即可在接收端采用ESPRIT算法(具體實現(xiàn)可參照文獻(xiàn)[9])進(jìn)行到達(dá)角估計.

2.3 算法可行性分析

旁瓣抑制可通過改變方向圖的空間分布特性來實現(xiàn).由式(2)可知,發(fā)射信號相關(guān)矩陣Rψ決定了發(fā)射方向圖的空間分布特性,理論上應(yīng)通過修正Rψ來抑制旁瓣.但是,Rψ只能由式(14)得到的X間接求解,求解復(fù)雜度較高,并且筆者最終需要的波束加權(quán)矩陣W也是由X求解得到的.因此,從這幾方面考慮,相比于Rψ,通過修正X來抑制方向圖旁瓣顯得更為合理.但是,必須保證X與Rψ形成的方向圖具有相同的空間分布特性,才能使得修正X能夠達(dá)到與修正Rψ一樣的旁瓣抑制效果.接下來對此進(jìn)行證明.

定理1 X與Rψ形成的方向圖具有相同的空間分布特性.

設(shè)X和X1對應(yīng)的方向圖分別為PX(θ)和PX1(θ),令a(θ)中c=2dλ,則由式(2)可得

其中,Re(·)表示取實部.信號相關(guān)矩陣Rψ= WWH= X+X1,由式(18)可知,Rψ對應(yīng)的發(fā)射方向圖P(θ)= 2PX(θ),說明X形成的方向圖與Rψ形成的方向圖具有相同的空間分布特性,只不過在幅度上有兩倍的差別.

當(dāng)k＞2時,證明過程與k=2時的類似,在此不再贅述.定理得證.

基于以上分析,通過修正X來建立低旁瓣方向圖修正模型是合理的.由于X與Rψ在反映方向圖空間分布特性上具有上述的等效性,因此,筆者也將X稱為發(fā)射信號相關(guān)矩陣.接下來給出建立模型時,只對X中非對角線元素進(jìn)行修正的原因.

由式(14)中的約束條件C3可知,在進(jìn)行低旁瓣方向圖修正時,應(yīng)該保持X的對角線元素不變,以滿足對每個陣元發(fā)射功率的限制.而X的非對角線元素直接影響方向圖的空間分布特性,因此應(yīng)該對X的非對角線元素進(jìn)行修正.接下來對此進(jìn)行證明.

定理2 X的非對角線元素直接影響方向圖的空間分布特性.

證明 令M×M維矩陣X0的對角線元素與X保持一致,其余元素設(shè)為零.X0對應(yīng)的方向圖是全向的,記為P0(θ)=aH(θ)X0a(θ).定義方向圖的空間分布的非均勻性γ,用于反映X形成的方向圖相對于全向方向圖的分布特性,γ的定義式為

其中,X-X0中只包含X的非對角元素,其余均為零.式(19)說明X的非對角線元素直接決定了γ的大小,即方向圖的空間分布特性.定理得證.

由上述定理可知,通過修正X的非對角線元素,可以改變發(fā)射方向圖的空間分布特性,實現(xiàn)旁瓣抑制.同時,當(dāng)發(fā)射方向圖總功率一定時,由于主瓣分配的功率遠(yuǎn)大于旁瓣,因此旁瓣功率分配的改變不會對主瓣形狀造成大的失真[12].

以上分析說明了筆者所提算法的可行性.接下來對筆者提出算法的性能進(jìn)行仿真及分析.

3 仿真及性能分析

假設(shè)單基地多輸入多輸出雷達(dá)發(fā)射陣列為均勻線陣,陣元數(shù)M=10,陣元間距為λ/2;接收陣元數(shù)N=10,接收陣列為直線陣,陣元位置隨機(jī)分布在[0,4.5λ]的范圍內(nèi).發(fā)射總功率E=M,發(fā)射波束個數(shù)K=2,發(fā)射陣元發(fā)射信號?(t)為已知的正交信號.感興趣的方向為[-10°,10°],α=15/M.噪聲服從零均值、方差為σ2z的復(fù)高斯分布,目標(biāo)散射系數(shù)服從零均值、方差為σ2α的復(fù)高斯分布.選擇正交波形和文獻(xiàn)[10]中設(shè)計的波形作為對比算法.

3.1 方向圖旁瓣抑制效果

圖1為正交波形、文獻(xiàn)[10]中的設(shè)計波形以及筆者進(jìn)行低旁瓣方向圖修正后的波形所形成的發(fā)射方向圖.可以看到,正交波形所形成方向圖在空間全向分布.文獻(xiàn)[10]和筆者設(shè)計所形成的方向圖均能夠?qū)⒛芰烤奂诟信d趣的區(qū)域內(nèi).由于筆者提出的算法采用了低旁瓣方向圖修正法,相比于文獻(xiàn)[10]中設(shè)計的方向圖,旁瓣值得到了有效降低,尤其是離主瓣較近的第一副瓣值顯著降低了,但是主瓣形狀略有失真.旁瓣值(尤其是第一副瓣值)的降低能夠抑制旁瓣雜波和虛假目標(biāo)能量,一方面可以減小其對主瓣內(nèi)信號的干擾,另一方面可以使能量集中在主瓣區(qū)域內(nèi),進(jìn)而提高接收信噪比.

圖1 發(fā)射方向圖　

圖2 克拉美羅界隨信噪比變化曲線

圖3 均方根誤差隨信噪比變化曲線　

圖4 角度分辨的成功概率隨信噪比變化曲線

3.2 到達(dá)角估計性能

假設(shè)感興趣的方向內(nèi)存在兩個目標(biāo),其方位角分別為θ1=6°和θ2=7°,快拍數(shù)為50,在接收端均采用ESPRIT算法進(jìn)行到達(dá)角估計,進(jìn)行500次蒙特卡洛試驗.圖2～圖4分別給出了3種方法到達(dá)角估計的克拉美羅界、均方根誤差(Root-Mean-Square Error,RMSE)以及角度分辨的成功概率隨信噪比變化的情況.由圖可知,正交波形多輸入多輸出雷達(dá)的角度估計性能最差,這主要是因為正交波形多輸入多輸出雷達(dá)形成全向方向圖,使得大部分能量浪費(fèi)在感興趣的區(qū)域之外,造成接收信噪比降低.另一方面,筆者提出的算法和文獻(xiàn)[10]中的算法僅采用K(K＜M)個發(fā)射波束,使得在總功率一定的條件下,每個波束的發(fā)射功率增大,同時,筆者提出的算法和文獻(xiàn)[10]中的算法還將能量聚集于感興趣的區(qū)域內(nèi),因此到達(dá)角估計性能優(yōu)于正交波形多輸入多輸出雷達(dá).而筆者提出的算法由于采用了低旁瓣方向圖修正方法,能夠進(jìn)一步降低旁瓣雜波和虛假目標(biāo)對主瓣內(nèi)信號的干擾,減少能量在非感興趣區(qū)域(旁瓣區(qū)域)的耗散,提高了接收信噪比,從而使得到達(dá)角估計精度和角度分辨率相對于文獻(xiàn)[10]中的能夠得到進(jìn)一步提高.

4 總 結(jié)

針對單基地多輸入多輸出雷達(dá)提出了一種基于低旁瓣方向圖修正的波形設(shè)計方法,用于改善到達(dá)角估計性能.首先,獲得發(fā)射信號相關(guān)矩陣;然后,利用低旁瓣方向圖修正方法,對信號相關(guān)矩陣的非對角線元素進(jìn)行修正,達(dá)到降低方向圖旁瓣的目的.仿真結(jié)果表明,筆者提出的方法能夠有效地降低方向圖旁瓣,使能量集中在感興趣區(qū)域內(nèi),提高接收信噪比,改善角度估計精度和角度分辨率.但是,由于筆者在構(gòu)造波束加權(quán)矩陣時,采用對偶的方法來滿足信號的旋轉(zhuǎn)不變性,要求發(fā)射波束必須為偶數(shù).在后續(xù)研究中,可以對如何構(gòu)造既滿足旋轉(zhuǎn)不變性,又不受波束數(shù)量限制的波束加權(quán)矩陣進(jìn)行研究.

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(編輯:郭 華)

簡 訊

日前,中國電子學(xué)會第二十一屆青年學(xué)術(shù)年會在我校召開.會議邀請了東南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院副院長崔鐵軍教授、中科院上海生命科學(xué)研究院李澄宇研究員、我校高新波教授和電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院副院長肖紹球教授等4位電子信息領(lǐng)域著名專家,分別作了題為《電磁超材料·從等效媒質(zhì)到現(xiàn)場可編程》、《工作記憶的動態(tài)神經(jīng)環(huán)路》、《基于三元空間融合的模式識別新范式》和《寬角掃描平面相控陣天線研究》的學(xué)術(shù)報告.會議就天線、通信、機(jī)器人、計算機(jī)、控制科學(xué)、電子科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域的最新進(jìn)展、發(fā)展趨勢以及在我國高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)中的應(yīng)用展開了交流與討論.

摘自《西電科大報》2015.11.14

MIMO radar waveform design method via low sidelobe beampattern modification

LI Yirong,HU Hanying
(Institute of Navigation and Space Target Engineering,Information Engineering Univ.,Zhengzhou 450000,China)

Abstract:In the design of the multiple-input multiple-output(MIMO)radar waveform,decreasing transmit beampattern sidelobes could reduce the energy of clutters and false targets from sidelobes and increase the received signal to noise ratio(SNR)so as to improve the angle estimation property.Motivated by this idea,a transmit waveform design method based on low sidelobe beampattern modification is proposed for MIMO radar.First,the transmit waveform cross-correlation matrix can be obtained by the semidefinite relaxation(SDR)technique.Then the essence of our method is to establish an optimization modification model to reduce the beampattern sidelobe by changing the non-diagonal elements of the waveform cross-correlation matrix.Finally,the corresponding transmit beamforming weight matrix is obtained by this modified matrix,and the ESPRIT algorithm is used for the direction of arrival(DOA) estimation.Meanwhile,the feasibility of our method is demonstrated.Simulation results show the superiorities of our method in sidelobe suppression,DOA estimation accuracy and angle resolution.

Key Words:multiple-input multiple-output radar;direction of arrival estimation;waveform design;low sidelobe;transmit beampattern

作者簡介:李奕蓉(1990-),女,解放軍信息工程大學(xué)碩士研究生,E-mail:liyirong131@163.com.

基金項目:國家科技重大專項資助項目(2011ZX03003-003-02)

收稿日期:2014-11-06 網(wǎng)絡(luò)出版時間:2015-05-21

doi:10.3969/j.issn.1001-2400.2016.02.023

中圖分類號:TN958

文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1001-2400(2016)02-0132-07

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150521.0902.020.html