摘 要：小型飛行器的應(yīng)用領(lǐng)域隨著其各種功能的開(kāi)發(fā)研究而不斷擴(kuò)大，然而無(wú)論是何種類型的小型飛行器，都遵循最基本的動(dòng)力學(xué)原理。本文以四旋翼小型飛行器為例，分析其多自由度運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所涉及的動(dòng)力學(xué)知識(shí)，并舉例其在物理學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：小型四旋翼飛行器；動(dòng)力學(xué)

1 前言

小型飛行器以其靈活的飛行姿態(tài)、優(yōu)越的運(yùn)行性能、廣泛的應(yīng)用范圍而倍受關(guān)注。小型飛行器非常適合在有限的空間范圍內(nèi)作業(yè)，可以攜帶攝像機(jī)、測(cè)繪儀器、空中通信節(jié)點(diǎn)、小型殺傷性武器等裝置，在人工操控或者自動(dòng)控制的條件下，以特定的飛行路線和飛行姿態(tài)完成相應(yīng)的任務(wù)。小型飛行器已經(jīng)在地震、泥石流等重大自然災(zāi)害的災(zāi)害評(píng)估及查險(xiǎn)救援、環(huán)境保護(hù)、電力系統(tǒng)巡線、航空成像及測(cè)繪、警用及軍用任務(wù)、通信中繼、農(nóng)業(yè)施肥和病蟲(chóng)害防治等領(lǐng)域發(fā)揮了重大作用。要實(shí)現(xiàn)小型飛行器的安全穩(wěn)定飛行，應(yīng)當(dāng)建立相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型對(duì)飛行器的運(yùn)動(dòng)狀況進(jìn)行數(shù)學(xué)上的描述，根據(jù)相關(guān)的物理學(xué)定律對(duì)飛行器的運(yùn)動(dòng)規(guī)律建立數(shù)學(xué)方程。

2 小型飛行器中的動(dòng)力學(xué)

目前的小型飛行器多為四旋翼小型飛行器，如下圖1所示，采用4個(gè)旋翼作為飛行的直接動(dòng)力源，旋翼對(duì)稱分布在機(jī)體的前后、左右4個(gè)方向，空間上呈軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)。4個(gè)旋翼處于同一高度平面且結(jié)構(gòu)和半徑都相同，其中一組對(duì)角線上的兩個(gè)旋翼逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，另外一組對(duì)角線上的兩個(gè)旋翼順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，4個(gè)電機(jī)對(duì)稱地安裝在飛行器的支架端，支架中間部位用于安放飛行控制計(jì)算機(jī)與外部設(shè)備，共同構(gòu)成具有垂直起降與空中懸停等特殊飛行能力的飛行器。

4個(gè)旋翼作為飛行動(dòng)力，旋翼面為固定傾角，升力的大小和方向是4個(gè)旋翼升力的合成，旋轉(zhuǎn)力矩由4個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速差提供，小型四旋翼飛行器的結(jié)構(gòu)形式無(wú)需復(fù)雜的機(jī)械部件，穩(wěn)定可靠。

四旋翼飛行器通過(guò)協(xié)調(diào)4個(gè)旋翼的升力對(duì)飛行姿態(tài)進(jìn)行控制，在空間內(nèi)的飛行姿態(tài)包含6個(gè)自由度。假設(shè)初始狀態(tài)為機(jī)身水平懸停，以機(jī)身右側(cè)旋翼為例，減小旋翼轉(zhuǎn)速會(huì)導(dǎo)致右翼面升力減小，破壞左右兩側(cè)的升力平衡導(dǎo)致機(jī)身向右側(cè)橫滾；同時(shí)由于破壞了旋翼的扭力矩平衡，導(dǎo)致機(jī)身向右側(cè)偏航；由于機(jī)身右側(cè)橫滾，升力在右側(cè)方向產(chǎn)生分力，致使飛行器向右側(cè)平移；從而改變四旋翼飛行器的飛行姿態(tài)。

小型四旋翼飛行器的6個(gè)自由度狀態(tài)分別指的是，懸停和升降運(yùn)動(dòng)、偏航運(yùn)動(dòng)、俯仰運(yùn)動(dòng)、橫滾運(yùn)動(dòng)、前后運(yùn)動(dòng)、左右運(yùn)動(dòng)，這6個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都可以通過(guò)控制4個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速來(lái)實(shí)現(xiàn)。

2.1 懸停和升降運(yùn)動(dòng)

由于空氣阻力的作用，4個(gè)旋翼會(huì)對(duì)飛行器機(jī)身產(chǎn)生反扭矩，反扭矩方向與旋翼旋轉(zhuǎn)方向相反。在其他條件一定的情況下，旋翼的轉(zhuǎn)速越高，反扭矩越大。1、3電機(jī)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，2、4電機(jī)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，4個(gè)電機(jī)的旋轉(zhuǎn)速度相同，旋翼產(chǎn)生的升力相同，反扭矩相互抵消，因此在水平方向上飛行器能夠保持穩(wěn)定。同時(shí)提高4個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)速，四旋翼飛行器的整體升力增大，超過(guò)飛行器重力時(shí)，飛行器垂直上升；同時(shí)降低4個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)速，四旋翼飛行器的整體升力減小，小于飛行器重力時(shí)，飛行器垂直下降；四旋翼飛行器整體升力等于其重力時(shí)，四旋翼飛行器保持懸停狀態(tài)。

2.2 偏航運(yùn)動(dòng)

如果1、3電機(jī)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速不等于2、4電機(jī)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速，兩組旋翼在順時(shí)針?lè)较蚝湍鏁r(shí)針?lè)较蛏袭a(chǎn)生的反扭矩將無(wú)法抵消，飛行器機(jī)身發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。同時(shí)增大2、4電機(jī)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速，減小1、3電機(jī)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋翼組產(chǎn)生的反扭矩大于順時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋翼組產(chǎn)生的反扭矩，使得機(jī)身整體承受順時(shí)針?lè)较虻姆磁ぞ?。由?、3電機(jī)轉(zhuǎn)速相同，2、4電機(jī)轉(zhuǎn)速相同，旋翼升力對(duì)稱，機(jī)身不會(huì)發(fā)生側(cè)翻，實(shí)現(xiàn)水平順時(shí)針偏航運(yùn)動(dòng)。

2.3 俯仰運(yùn)動(dòng)

2、4電機(jī)轉(zhuǎn)速不變，增大1電機(jī)轉(zhuǎn)速，減小3電機(jī)轉(zhuǎn)速，則1產(chǎn)生的旋翼升力大于3產(chǎn)生的旋翼升力，2、4轉(zhuǎn)速相同則相應(yīng)旋翼升力對(duì)稱，機(jī)頭上揚(yáng)，機(jī)身不會(huì)發(fā)生橫滾運(yùn)動(dòng)。旋翼轉(zhuǎn)速的變化會(huì)導(dǎo)致機(jī)身反扭矩的變化，為了保證反扭矩的平衡，1、3電機(jī)轉(zhuǎn)速的變化量應(yīng)當(dāng)相同。

2.4 橫滾運(yùn)動(dòng)

1、3電機(jī)轉(zhuǎn)速不變，增大4電機(jī)轉(zhuǎn)速，減小2電機(jī)轉(zhuǎn)速，可以控制機(jī)身向右側(cè)橫滾。前后兩個(gè)旋翼產(chǎn)生的升力相同，機(jī)身不會(huì)發(fā)生俯仰運(yùn)動(dòng)。

2.5 前后運(yùn)動(dòng)

實(shí)現(xiàn)飛行器的前后運(yùn)動(dòng)需要對(duì)飛行器施加前后方向的拉力，使機(jī)身產(chǎn)生俯仰運(yùn)動(dòng)，旋翼面與地面產(chǎn)生夾角，拉力在水平方向上產(chǎn)生分量，使得飛行器機(jī)身產(chǎn)生前后運(yùn)動(dòng)。拉力在垂直方向上的分量與重力平衡，機(jī)身在豎直方向上不會(huì)產(chǎn)生升降運(yùn)動(dòng)。

2.6 左右運(yùn)動(dòng)

實(shí)現(xiàn)飛行器的左右運(yùn)動(dòng)需要對(duì)飛行器施加左右方向的拉力，使機(jī)身產(chǎn)生橫滾運(yùn)動(dòng)，旋翼與地面產(chǎn)生夾角，拉力在水平方向上產(chǎn)生分量，使得飛行器機(jī)身產(chǎn)生左右運(yùn)動(dòng)。拉力在垂直方向上的分量與重力平衡，機(jī)身在豎直方向上不會(huì)產(chǎn)生升降運(yùn)動(dòng)。從受力上對(duì)飛行器進(jìn)行分析，飛行器的4個(gè)旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的升力作用在機(jī)身上，雨中力和阻力共同形成合力；從力矩上對(duì)飛行器進(jìn)行分析，飛行器受到旋翼力矩、空氣阻力、陀螺效應(yīng)等作用的影響。這些力、力矩共同作用在四旋翼飛行器上，改變飛行器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

3 結(jié)論及實(shí)際應(yīng)用

任何復(fù)雜運(yùn)動(dòng)都是以最基本的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)為基礎(chǔ)的，實(shí)際應(yīng)用中的小型飛行器結(jié)構(gòu)和功能都會(huì)更加復(fù)雜，但是仍然可以依據(jù)其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及規(guī)律，遵循相關(guān)的物理動(dòng)力學(xué)原理建立相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型，分析小型飛行器的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。

題目：下圖所示為四旋翼無(wú)人機(jī)，它是一種能夠垂直起降的小型遙控飛行器，目前正得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。一架質(zhì)量m=2kg的無(wú)人機(jī)，其動(dòng)力系統(tǒng)所能提供的最大升力F=36N，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受空氣阻力大小恒為f=4N。g取10m/s2。求：

（1）無(wú)人機(jī)在地面上從靜止開(kāi)始，以最大升力豎直向上起飛，求在t=5s時(shí)距離地面的高度h；

（2）當(dāng)無(wú)人機(jī)懸停在距離地面高度H=100m處，由于動(dòng)力設(shè)備故障，無(wú)人機(jī)突然失去升力而墜落。求無(wú)人機(jī)墜落地面時(shí)的速度v；

（3）在無(wú)人機(jī)墜落過(guò)程中，在遙控設(shè)備的干預(yù)下，動(dòng)力設(shè)備重新啟動(dòng)提供向上的最大升力。為了保證安全著陸，求飛行器從開(kāi)始下落到恢復(fù)升力的最長(zhǎng)時(shí)間t1。

解答：

（1）無(wú)人機(jī)的質(zhì)量為2kg，g=10m/s2，那么無(wú)人機(jī)的重力為20N。則無(wú)人機(jī)以最大升力豎直向上起飛，受到豎直向上的力為F-f-mg=36-4-20=12（N），加速度為a=（F-f-mg）/m=12/2=6（m/s2），那么t=5s時(shí)無(wú)人機(jī)距離地面的高度h=at2/2=6×5×5/2=75（m）。

（2）無(wú)人機(jī)在下落過(guò)程中，受到豎直向下的力為mg-f=20-4=16（N），加速度為a=（mg-f）/m=16/2=8（m/s2），那么距離為H=100m，下落到地面所需要的時(shí)間t=[（2×H）/a]1/2=[（2×100）/8]1/2=5（s），則無(wú)人機(jī)墜落地面時(shí)的速度v=at=8×5=40（m/s）。

（3）為了保證無(wú)人機(jī)安全著陸，飛行器從開(kāi)始下落到恢復(fù)升力達(dá)到最長(zhǎng)時(shí)間，應(yīng)該是無(wú)人機(jī)降落到地面且速度恰好為零的臨界狀態(tài)。假設(shè)t1時(shí)刻，無(wú)人機(jī)恢復(fù)最大升力，此時(shí)無(wú)人機(jī)的速度為v1=at1=8t1（m/s），無(wú)人機(jī)距離地面的高度為H’=H-at12/2=100-4t12，無(wú)人機(jī)受到豎直向上的力為F+f-mg=36+4-20=20（N），加速度為a2=（F+f-mg）/m=20/2=10（m/s2），無(wú)人機(jī)減速到零所需要的時(shí)間t2=v1/a2=0.8t1（s），墜落的高度為h’=a2t22/2=3.2t12（m），此時(shí)應(yīng)當(dāng)滿足h’=H’，也即3.2t12=100-4t12，解得t1=53/2/3（s）。

參考文獻(xiàn)

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（作者單位：山東省東營(yíng)市第一中學(xué)）