摘 "要:本文較詳細(xì)的介紹了四個(gè)極限的求值方法與原理,并對其進(jìn)行歸類.通過舉例加深對原理和方法的掌握。
關(guān)鍵詞:極限;第一重要極限;無窮小;有界函數(shù)
一、引言
高數(shù)的極限學(xué)習(xí)過程中,一般都會(huì)碰到這幾個(gè)極限的求值問題: "、 "、 xsin 、 xsin ,這四個(gè)極限在表達(dá)形式上有的大同小異,有的又完全不一樣,所以很多學(xué)生在求值的過程中就很容易混淆,甚至不知道到底有什么區(qū)別.本文分別介紹四個(gè)極限的求值過程、求值原理、以及與這四個(gè)極限相聯(lián)系的其他例題的求解,讓學(xué)生對求相關(guān)極限有較深層次的理解和掌握.
二、四個(gè)極限
1、 "與 xsin 是高等數(shù)學(xué)教材上兩個(gè)重要極限之一,求值過程中用到夾邊準(zhǔn)則、用到單位圓的圖形中相關(guān)三角形與扇形面積關(guān)系的不等式,這里不再重復(fù)求解了,大家都應(yīng)該都知道 "=1,再給大家介紹另外一種求值方法,在學(xué)過洛必達(dá)法則之后,這個(gè)極限可以通過洛必達(dá)法則來求:分析:洛必達(dá)法則的三個(gè)條件都滿足,所以 "= "=1求出的值也與通過夾邊準(zhǔn)則求出來的是完全吻合的.這個(gè)重要極限的擴(kuò)展形式也非常重要,當(dāng)x→0時(shí),有 →0,即: "=1 。 (擴(kuò)展形式必須滿足兩個(gè)條件:(1)x→0,(2)分子分母上的△保持 一致 ")。這個(gè)重要極限的值以及它的擴(kuò)展形式在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中非常重要,一定要牢記。
xsin 與 "表達(dá)形式上不同,實(shí)質(zhì)上還是一樣的,只是做了一下變形,對x的位置作恒等變化后得: xsin = ",當(dāng)x→∞時(shí), →0,這剛好是第一個(gè)重要極限的擴(kuò)展形式,所以 xsin =1
2、 xsin 與
對于 xsin ,當(dāng)x→0時(shí),xsin "中x→0,sin 在-1與1之間取值,sin ,即sin 為有界函數(shù),無窮小的性質(zhì)中有無窮小乘有界函數(shù)仍為無窮小,所以 xsin =0
對于 ",與 xsin 的求值過程很類似,只需做一個(gè)小變換即可。
= "sinx ,當(dāng)x→∞時(shí), →0,為無窮小,sinx為有界函數(shù),同樣的原理得 "=0。
綜上所述可得: "= xsin =1(重要極限及其擴(kuò)展知識(shí))。
xsin = "=0(無窮小乘有界函數(shù)仍為無窮小)。
三、應(yīng)用舉例
為了更好的熟練和理解上述求值過程中用到的知識(shí)點(diǎn),下面通過舉例來鞏固。
例1、求
解: "= (1- )=1-1=0
例2、求
解: " = "= =0
例3、求 (x-1)sin
解: (x-1)sin = "=1
三個(gè)例題中用到了重要極限的結(jié)論及擴(kuò)展形式,用到了無窮小乘有界函數(shù)仍為無窮小的知識(shí).
小結(jié):對于上述知識(shí)還應(yīng)多看,多理解,多練習(xí)才能熟練掌握。在高數(shù)的學(xué)習(xí)過程中要學(xué)會(huì)歸納記憶和理解,分門別類,這樣才能掌握得更好,理解得更透徹。
參考文獻(xiàn):
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