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方程無(wú)數(shù)解問題的常見類型與巧用

◇江蘇李輝

中學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)方程有無(wú)數(shù)解問題,讓學(xué)生感覺很是棘手.解決這類問題的一個(gè)主要思路是通過化歸轉(zhuǎn)化自主建構(gòu)方程.方程思想是解決這類問題的核心思想.中學(xué)數(shù)學(xué)的方程主要類型是整式方程中的一元一次方程和一元二次方程,還有少量的非整式方程.特別是一些定值、定點(diǎn)、恒成立問題,如果從方程的角度去解決會(huì)得到巧妙的解法.

1巧用“方程0x=0有無(wú)數(shù)個(gè)解”

解決這類問題的依據(jù): 關(guān)于x的方程ax+b=0有無(wú)數(shù)解?a=0且b=0.

分析定值問題可以轉(zhuǎn)化為方程問題,因?yàn)閤取任意值,所以方程的解有無(wú)數(shù)個(gè).

分析含參數(shù)的定點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為方程問題,因?yàn)閍為任意值,所以關(guān)于a的方程有無(wú)數(shù)個(gè)解.

2巧用“方程0x2+0x+0=0有無(wú)數(shù)個(gè)解”

解決這類問題的依據(jù):關(guān)于x的方程 ax2+bx+c=0恒成立? a=0且b=0且c=0.

分析f(x)f(1/x)=k(k為常數(shù)),可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程問題,因?yàn)閤為任意值,所以方程有無(wú)數(shù)解.

(b-2ak)x2+(b2+1-a2k-4k)x+(b-2ak)=0.

上式是關(guān)于x的恒等式,所以

將式①代入②可得4a2k2+1-a2k-4k=0,即(4k-1)(a2k-1)=0， 所以k=1/a2或k=1/4.若a2k=1,得b=2/a與ab≠2矛盾,所以k=1/4.

3巧用“非整式方程有無(wú)數(shù)個(gè)解”

解決這類問題的依據(jù): 關(guān)于x的方程af(x)+b=0有無(wú)數(shù)解?a=0且b=0或af2(x)+bf(x)+c=0有無(wú)數(shù)解?a=0,b=0,c=0.

分析假設(shè)存在這樣的α、β,使得f(θ)=3/2恒成立. 由f(θ)=3/2得關(guān)于θ的方程有無(wú)數(shù)解,從而求解.

解假設(shè)存在這樣的α、β,使得f(θ)=3/2成立,則由f(θ)=3/2得

無(wú)數(shù)解問題在函數(shù)與方程、解析幾何中有廣泛的應(yīng)用,在解決過程中滲透著化歸和方程的數(shù)學(xué)思想方法.通過這種綜合思維能力的訓(xùn)練,學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力就能夠得到更深的拓展.

(作者單位：江蘇省南通市通州區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué))