顧銀魯 , 馬艷利

(銀川能源學(xué)院 基礎(chǔ)部,寧夏 銀川 750105)

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關(guān)于擬嚴(yán)格偽壓縮映像族的收縮投影方法

顧銀魯 , 馬艷利

(銀川能源學(xué)院 基礎(chǔ)部,寧夏 銀川 750105)

摘要：在Hilbert空間中，引入和研究一種新的收縮投影方法，用逼近一族閉的擬嚴(yán)格偽壓縮映像的公共不動(dòng)點(diǎn)，并利用所提出的迭代方法證明了擬嚴(yán)格偽壓縮映像族的不動(dòng)公共點(diǎn)強(qiáng)收斂定理.

關(guān)鍵詞：擬嚴(yán)格偽壓縮映像族；不動(dòng)點(diǎn)；收縮投影方法；閉映像

0引言

對(duì)于非擴(kuò)張映像的不動(dòng)點(diǎn)的迭代構(gòu)造問題，數(shù)學(xué)家經(jīng)過長(zhǎng)期不斷的努力和艱苦的深入研究以及探索，創(chuàng)造出了許多優(yōu)秀成果[1-11]．本文將Hilbert空間中閉的擬嚴(yán)格偽壓縮映像的收縮投影方法拓展到映像族上，給出一組新的迭代方法，然后對(duì)新的迭代方法對(duì)于強(qiáng)收斂于一點(diǎn)再加以證明.

1預(yù)備知識(shí)

定義2[11]凸集：設(shè)z1,z2∈C，若tz1+(1-t)z2∈C,t∈(0,1),稱C為凸集.

定義3[3]設(shè)H為Hilbert空間的內(nèi)積，且C為H上的一個(gè)非空閉凸子集，設(shè)T:C→C的自映像，用F(T)表示T的不動(dòng)點(diǎn)集.

定義4[2]映像T:C→C為擬嚴(yán)格偽壓縮映像，當(dāng)F(T)≠?時(shí)，存在常數(shù)k∈[0,1)，對(duì)?x∈C,y∈F(t)滿足‖Tx-p‖2≤‖x-p‖2+k‖x-Tx‖2.

定義5[8]映像T:C→C為嚴(yán)格偽壓縮映像，如果存在常數(shù)k∈[0,1)，對(duì)?x,y∈C滿足‖Tx-Ty‖2≤‖x-y‖2+k‖(I-T)x-(I-T)y‖2,也稱T為k-嚴(yán)格偽壓縮.

定義6[5]稱映像T:C→C是非擴(kuò)張映像，如果

‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖,?x,y∈C.

注1嚴(yán)格偽壓縮映像包括非擴(kuò)張映像，也就是說，T是非擴(kuò)張映像，當(dāng)且僅當(dāng)T是0-嚴(yán)格偽壓縮映像.

注2當(dāng)F(T)≠?時(shí)，所有的嚴(yán)格偽壓縮映像都是擬嚴(yán)格偽壓縮映像，然而其逆不真.

定義7[7]稱映像f:C→C是壓縮映像，如果存在常數(shù)k∈(0,1)，使得

‖fx-fy‖≤k‖x-y‖,?x,y∈C.

范數(shù)具有下列性質(zhì)[5]：

1)‖x‖≥0, 且‖x‖=0等價(jià)于x=0；

3)‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖(范數(shù)不等式).

定義 8[10]設(shè)C為實(shí)Hilbert空間H中的非空閉凸子集，任意點(diǎn)x∈H，存在C中的一個(gè)點(diǎn)的鄰域，記作PCx. 使得‖x-PCx‖≤‖x-y‖,對(duì)?y∈C，稱PCx為H到C的度量投影.

引理1[1]設(shè)C是實(shí)的Hilbert空間H中的一個(gè)非空閉凸子集，給定x∈H和z∈C,有z=PCx，當(dāng)且僅當(dāng)?y∈C有〈x-z,y-z〉≤0 .

引理2[9]設(shè)C是Hilbert空間上的一個(gè)非空閉凸子集，映像PC:H→C，稱為從H到C上的距離投影算子.

則有下面的式子成立，

‖y-PCx‖2+‖x-PCx‖2≤‖x-y‖2,?x∈H,?y∈C.

引理3[6]設(shè)H是一個(gè)Hilbert空間，有下列定義

1)‖x±y‖2=‖x‖2±2〈x,y〉+‖y‖2,?x,y∈H;

2)‖tx+(1-t)y‖2=t‖x‖2+(1-t)‖y‖2-t(1-t)‖x-y‖2，其中t∈[0,1),?x,y∈H.

顯然由‖·‖的定義得

‖x-y‖2=‖x-z‖2+‖z-y‖2+2〈x-z,z-y〉，?x,y,z∈H.

2主要結(jié)果

則數(shù)列{xn}強(qiáng)收斂于P0=PFx0.

證明以下分6步進(jìn)行證明.

第1步：證明F是C的非空閉凸子集.

2)再證F是凸集. 先證對(duì)?i∈N，F(xiàn)(Ti)是凸集.?p1,p2∈F(Ti),t∈(0,1)，設(shè)pt=tp1+(1-t)p2，此時(shí)需要證明Tipt=pt. 因?yàn)?‖p1-pt‖=(1-t)‖p1-p2‖

以及‖p2-pt‖=(1-t)‖p1-p2‖，由引理3的2)，有

‖pt-Tkpt‖2=‖t(p1-Tipt)+(1-t)(p2-Tipt)‖2=

t‖p1-Tipt‖2+(1-t)‖p2-Tipt‖2-t(1-t)‖p1-p2‖2≤

t(‖p1-pt‖2+ki‖pt-Tipt‖2)+(1-t)(‖p2-p1‖2+ki‖pt-Tipt‖2)-t(1-t)‖p1-p2‖2=

(t(1-t)2+(1-t)t2-t(1-t))‖p1-p2‖2+ki‖pt-Tipt‖2.

第2步：證明當(dāng)n≥1時(shí)，Cn是一個(gè)閉凸集.

1)先證Cn,i是一個(gè)閉凸集.

①當(dāng)n=1時(shí)，C1,1=C1,2=…=C是閉凸集.

(i)首先證明Ck+1,i為閉集.

所以z∈Ck+1,i. 由閉集的定義可知Ck+1,i是閉集.

(ii)再證Ck+1,i是凸集.

綜上所述Ck+1,i是閉凸集，即所有的當(dāng)n≥1時(shí)，都有Cn,i是閉凸集.

第3步：證明?n≥1，有F?Cn.

‖Tixk-p′‖2≤‖xk-p′‖2+k‖xk-Tixk‖2，

‖Tixk-xk‖2+‖xk-p′‖2+2〈Tixk-xk,xk-p′〉≤‖xk-p′‖2+k‖xk-Tixk‖2.

‖xn-x0‖2≤‖w-x0‖2-‖w-xn‖2≤‖w-x0‖2.

第5步：證明當(dāng)n→∞,xn→p0. 由Cn的構(gòu)造知，當(dāng)m>n時(shí)，Cm?Cn和xm=PCmx0∈Cn,由引理2得

‖xm-xn‖2=‖xm-PCnx0‖2≤‖xm-x0‖2-‖PCnx0-x0‖2= ‖xm-x0‖2-‖xm-x0‖2.

兩邊同時(shí)取極限，當(dāng)m,n→∞時(shí)，‖xm-xn‖→0，因此，序列{xn}是一個(gè)柯西列，所以當(dāng)n→∞時(shí)，有xn→p0∈C.

第6步：證明p0=PFx0.

1)首先證明p0=TFx0. 由上一步已經(jīng)得知，當(dāng)n→∞時(shí)，x→p0(p0∈C)，因此，當(dāng)n→∞時(shí)，‖xn+1-xn‖→0. 當(dāng)xn+1∈Cn+1時(shí)，有

這就表明,n→∞時(shí)，有‖xn-Tixn‖→0，因此，當(dāng)n→∞時(shí)，有xnc-p0∈C，從而有當(dāng)n→∞時(shí)，Tkxn→p0∈C. 由Ti是閉集，則p0=pip0.

2)再證明p0=PFx0.由xn=PCnx0，可以得到，對(duì)任意y∈Cn，〈y-xn,x0-xn〉≤0，當(dāng)F?Cn對(duì)任意n≥1，得到?w∈F,有〈w-xn,x0-xn〉≤0，取極限，即當(dāng)n→∞時(shí)，有〈w-p0,x0-p0〉≤0(?w∈F)，從而由引理1可得p0=PFx0. 因此，定理1得證.

參考文獻(xiàn)

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A Shrinking Projection Method on Common Fixed Point for a Family of Quasi-strict Pseudo-contraction Mapping

GU Yinlu, MA Yanli

(DepartmentofBasics,YinchuanEnergyCollege,Yinchuan750105,China)

Abstract:Propose a kind of new shrinking projection method for a family of quasi-strict pseudo-contraction mapping and prove a strong convergence theorem for closed and quasi-strict pseudo-contractions in a Hilbert space.The result improves and extends some recent relative results.

Key words:a family of quasi-strict pseudo-contraction mapping； fixed point； shrinking projection methods； closed mapping

中圖分類號(hào)：O177.91

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-0834(2016)01-0006-04

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2016.01.002

作者簡(jiǎn)介：顧銀魯(1981—)，女，山東鄒城人，銀川能源學(xué)院基礎(chǔ)部講師.

基金項(xiàng)目：銀川能源學(xué)院科研基金項(xiàng)目(2015-KY-Y-29)

收稿日期：2015-10-13