周學(xué)良

（新疆工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830022）

具有N策略和負(fù)顧客反饋搶占型排隊(duì)系統(tǒng)狀態(tài)空間的完備性分析

周學(xué)良

（新疆工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830022）

將N策略與具有反饋搶占、負(fù)顧客到達(dá)的、重試這些服務(wù)規(guī)則結(jié)合在一起，然后運(yùn)用補(bǔ)充變量方法描述具有N策略和負(fù)顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊(duì)系統(tǒng)模型。在此基礎(chǔ)上，研究具有N策略和負(fù)顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)空間和共軛空間的完備性。

反饋搶占型；排隊(duì)系統(tǒng)；Banach空間；共軛空間

1 重試可修排隊(duì)系統(tǒng)模型研究現(xiàn)狀

在具有多通路的遠(yuǎn)程通信網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，由于網(wǎng)絡(luò)信號(hào)強(qiáng)弱的原因，客戶端的數(shù)據(jù)傳輸就有可能出現(xiàn)中止、錯(cuò)誤等現(xiàn)象，這就需要等待數(shù)據(jù)的再次傳輸。有關(guān)學(xué)者研究了具有反饋、啟動(dòng)失效的重試可修排隊(duì)系統(tǒng)。然而在一些排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)中，要完成一個(gè)服務(wù)可能需要選擇幾個(gè)階段的服務(wù)，即被稱為初步服務(wù)和主要服務(wù)。并且在進(jìn)行初步服務(wù)時(shí)，顧客具有優(yōu)先權(quán)可以搶占服務(wù)，但在進(jìn)行主要服務(wù)時(shí)，顧客不會(huì)被優(yōu)先權(quán)高德?lián)屨?。因此，吳錦標(biāo)等［1］將N策略、具有反饋搶占、負(fù)顧客到達(dá)的、重試這些服務(wù)規(guī)則結(jié)合在一起，然后運(yùn)用補(bǔ)充變量方法描述具有N策略和負(fù)顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊(duì)系統(tǒng)模型，并且得到了該排隊(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解存在的充分必要條件。杜紹安等［2］對(duì)該模型進(jìn)行了動(dòng)態(tài)分析，他們首先引入系統(tǒng)的狀態(tài)空間，算子和算子的定義域，將該模型轉(zhuǎn)換為抽象的Cauchy問題，接著運(yùn)用泛函分析中的線性算子半群理論證明了該模型存在唯一的正時(shí)間依賴解，然后當(dāng)失效率函數(shù)為常數(shù)時(shí)，得到該模型時(shí)間依賴解的漸進(jìn)行為。

此外，通過查閱文獻(xiàn)資料，至今仍未發(fā)現(xiàn)關(guān)于此模型的其他任何結(jié)果。由于杜紹安等［2］研究中模型的狀態(tài)空間涉及到Banach空間，但是沒有給出具體詳細(xì)的證明。本文沿用已有研究［3，4］的證明過程方法，運(yùn)用泛函分析中線性算子的有關(guān)理論和知識(shí)來證明該系統(tǒng)狀態(tài)空間的完備性。

2 主要結(jié)果

一類具有N策略和負(fù)顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊(duì)模型偏微分方程組描述詳見杜紹安等［2］的研究。其中，（x，t）∈［0，∞）×［0，∞）；p1（t）表示系統(tǒng)在時(shí)刻t處于待機(jī)狀態(tài)的概率；p2（x，t）dx表示系統(tǒng)在時(shí)刻t正在接受初步服務(wù)的顧客已經(jīng)耗去的服務(wù)時(shí)間在區(qū)間［x，x+dx）內(nèi)的概率；p3（x，t）dx表示系統(tǒng)在時(shí)刻t正在接受主要服務(wù)的顧客已經(jīng)耗去的服務(wù)時(shí)間在區(qū)間［x，x+dx）內(nèi)的概率；p4（x，t）dx表示系統(tǒng)在時(shí)刻t正處于修理的狀態(tài)，并且已經(jīng)用去的服務(wù)時(shí)間在區(qū)間［x，x+dx）內(nèi)的概率；用λ+表示正顧客的到達(dá)概率；用λ-表示負(fù)顧客的到達(dá)概率；用θ表示接受主要服務(wù)的概率；δ表示重試概率；α表示搶占服務(wù)的概率；μ（x）表示主要服務(wù)的失效率函數(shù)；η（x）表示初步服務(wù)的失效率函數(shù)；ψ（x）表示修理時(shí)間的失效率函數(shù)。

取狀態(tài)空間為：

2.1 定理1——具N策略和負(fù)顧客反饋搶占型排隊(duì)系統(tǒng)狀態(tài)空間X是Banach空間

可設(shè){gk}={pk}為空間X中的Cauchy序列，那么對(duì)，這里又因?yàn)閜s-pk∈X，所以可根據(jù)狀態(tài)空間中的范數(shù)定義得：

2.2 定理2——具有N策略和負(fù)顧客反饋搶占型排隊(duì)系統(tǒng)狀態(tài)空間X的對(duì)偶空間X?是Banach空間

利用2.1同樣的證明過程可以得到定理2。仍沿用杜紹安等［2］研究中的符號(hào)，且系統(tǒng)狀態(tài)空間和對(duì)偶空間完備性的前提下，具有N策略和負(fù)顧客反饋搶占型排隊(duì)系統(tǒng)得偏微分方程組可改寫為Banach空間X中的抽象Cau?chy問題：

其中，線性算子A、算子U和算子E的表達(dá)式詳見杜紹安等［2］研究中的符號(hào)表達(dá)，從而可以運(yùn)用泛函分析中的線性算子相關(guān)理論、定理和方法進(jìn)一步研究一類具有N策略和負(fù)顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)間依賴解的漸進(jìn)行為及其他一些可靠性指標(biāo)，具體研究資料方法詳見周學(xué)良等［5］的證明過程。

［1］吳錦標(biāo)，尹小玲，劉再明.具有N策略和負(fù)顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊(duì)系統(tǒng)［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2009（2）：323-335.

［2］杜紹安，艾合買提·卡斯木.具有N策略和負(fù)顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊(duì)模型研究［J］.新疆大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010（1）：37-50.

［3］阿力木·米吉提，蔡玲霞.第二種服務(wù)可選的M/M/1排隊(duì)模型狀態(tài)空間及對(duì)偶空間的完備性［J］.新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012（2）：72-76.

［4］周學(xué)良，呂元新.具有三種狀態(tài)可修排隊(duì)系統(tǒng)狀態(tài)空間的完備性［J］.科技信息，2013（2）：133.

［5］周學(xué)良，艾尼·吾甫爾.一類具有三種狀態(tài)的可修排隊(duì)系統(tǒng)研究［J］.應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào)，2010（2）：149-159.

Analysis of the Completeness of the State Space of Preemptive Queueing System with N Strategy and Negative Feedback

Zhou Xueliang
（Xinjiang Industrial Vocational and Technical College，Urumqi Xinjiang 830022）

The N strategy was combined with a feedback preemption,a negative customer arrival,and retry service rules,then a M/G/1 retrial repairable queueing system model with the N strategy and negative customer feedback by using the method of supplementary variable was described.On this basis,the completeness of state space and conju?gate space of the M/G/1 retrial repairable queueing system model with the N strategy and negative customer feedback was studied.

feedback type grab；queuing system；Banach space；conjugate space

O226

A

1003-5168（2016）09-0025-02

2016-08-25

周學(xué)良（1982-），男，碩士，講師，研究方向：可靠性模型的動(dòng)態(tài)分析。