■張堯 馬聰 劉翔

（遼寧省地質(zhì)勘查院遼寧大連116100）

關(guān)于三角剖分的簡單分析

■張堯 馬聰 劉翔

（遼寧省地質(zhì)勘查院遼寧大連116100）

在物探的工作過程中，為了繪制等值線圖，必須對實測的離散數(shù)據(jù)進行網(wǎng)格化。由于受到了客觀要求，我們工作中繪制的等值線圖所使用的網(wǎng)格化方法均為三角形剖分法。在長期使用三角剖分的繪圖工作過程中遇到了種種現(xiàn)象，如：所繪等值線與手繪等值線相似性較大；所繪等值線圓滑程度不理想；所繪等值線容易出現(xiàn)順線的趨勢等?，F(xiàn)本人試圖對以上現(xiàn)象進行簡單分析，并將一些感想寫下來。

三角剖分網(wǎng)格化物探

本人所在二級單位主要使用mapgis及GeoIPAS作為繪圖軟件繪制物探的等值線圖。以上兩種軟件分別提供了數(shù)種不同的網(wǎng)格化方法，為了與三角剖分做比較，現(xiàn)列舉幾種主要的加以描述：

克里格方法是根據(jù)相鄰變量的值,利用變差函數(shù)所揭示的區(qū)域化變量的內(nèi)在聯(lián)系來估計空間變量數(shù)值。該方法總是盡可能地去描述原數(shù)據(jù)所隱含的趨勢特征,以區(qū)域化變量理論為基礎(chǔ),以變差函數(shù)為主要工具,在保證研究對象的估計值滿足無偏性條件和最小方差條件的前提下求得估計值[1]。

最小曲率法采用迭代的方法逐次求取網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù),其插值面類似一個薄的、線性—彈性形變板,該“板”經(jīng)過所有的數(shù)據(jù)點,且每個數(shù)據(jù)點具有最小曲率。在盡可能體現(xiàn)原數(shù)據(jù)的同時,最小曲率法產(chǎn)生盡可能的光滑曲面,繪制的圖件比較美觀。

徑向基函數(shù)法,是多個數(shù)據(jù)插值方法組合的一種多形式網(wǎng)格化方法。其基函數(shù)是由單個變量的函數(shù)構(gòu)成的,通過選擇不同的基本函數(shù)來定義不同的加權(quán)方法,進行不同方式的網(wǎng)格化。所有徑向基函數(shù)插值法都是準確的插值器,它們都能盡量適應(yīng)數(shù)據(jù)。

三角形剖分法是一種嚴格的插值方法,使用最佳的Delaunay三角形,通過直線連接各數(shù)據(jù)點形成一系列三角形,并且所有的三角形互不相交,每個三角形內(nèi)的網(wǎng)格節(jié)點值由該三角平面決定。由于采用所有的數(shù)據(jù)點去構(gòu)造三角形,因而原數(shù)據(jù)能得到很好的體現(xiàn),給定三角形內(nèi)的全部節(jié)點都要受到該三角形的表面限制。最佳三角形的選取原則為：三角形三個內(nèi)角盡量都是銳角，三條邊長度盡量相等，最小角最大化。因此最適合三角剖分的離散數(shù)據(jù)排列方式如圖1所示，即連成的三角形均是等邊三角形。

各種網(wǎng)格化方法原理及切入點雖然各異，但最終目的相同，都是為了做成連續(xù)的曲面，盡量真實的反應(yīng)實際的地球物理場狀況。各種網(wǎng)格化方法決定待插值結(jié)果的因素我認為有以下幾點（待補充）

（1）插值所使用的數(shù)學模型。這是決定不同網(wǎng)格化方法的直接因素，采用不同的插值方法對最終結(jié)果的精度及曲線的圓滑程度等都有直接影響。為了盡量達到更高的精度，一些網(wǎng)格化方法使用較為繁瑣而復雜的函數(shù)，所繪制等值線圓滑而細膩。相對而言，三角剖分采用的差值方法相當于兩個線性插值的疊帶（如果待插點位于三角形邊上則插值方法僅為線性插值），函數(shù)非常簡單，因此所繪制的等值線不夠圓滑，較為生硬。Mapgis在以TIN成圖的過程中可以對曲線做一定程度的圓滑處理，這是在網(wǎng)格已經(jīng)生成之后所做的，應(yīng)屬拋開插值單獨做圓滑處理，是為了盡量扼制局部的曲率突變，而非考慮實際地球物理場的規(guī)律，處理程度若較大會使精度大幅下降，有時甚至出現(xiàn)等值線交叉的情形。

圖1 三角剖分最理想的網(wǎng)度

（2）待插值與參與插值原始數(shù)據(jù)的距離。以此為切入點的網(wǎng)格化方法稱為距離法，由此將過程細化復雜化而衍生出一系列方法。各種網(wǎng)格化方法均或多或少受距離影響，即待插點越接近原始數(shù)據(jù)，則其結(jié)果越受之控制。三角剖分顯然也受距離影響，如圖2所示：A、B、C為圍成三角形的三個原始數(shù)據(jù)，D點為待插點。若其余條件未變而使C點處于如圖2-2位置，D點與C點間的距離減少，相較圖2-1,D點的結(jié)果更受C點控制。

圖2

（3）參與每一待插點的插值過程的原始數(shù)據(jù)范圍。參與單一待插點差值的原始數(shù)據(jù)范圍越小，越能突出局部細節(jié)，范圍越大則越突出區(qū)域特征而扼制局部細節(jié)。范圍過大則生成曲面過于平緩、細節(jié)大量流失，范圍過小則不能連成完整曲面。一些網(wǎng)格化方法可以自由選擇圈定原始數(shù)據(jù)范圍，可以使結(jié)果細節(jié)完善或反映區(qū)域信息，與之相比三角剖分網(wǎng)格不能脫離最佳三角形，已進行最優(yōu)選而得到唯一結(jié)果（除非最佳三角形不只一種可能性），參與單點插值的原始數(shù)據(jù)只能為2-3個，所繪等值線為唯一結(jié)果。

綜上所述我認為三角剖分相較于其他網(wǎng)格化方法是一種簡單、直接、結(jié)果唯一的插值方法，當精度要求不高時算是一種比較好的網(wǎng)格化方法?，F(xiàn)試圖對前文所述現(xiàn)象加以解釋：

所繪等值線與手繪等值線相似性較大，我認為造成這種現(xiàn)象的原因在于兩者均有以下特征：1.尊重原始數(shù)據(jù)。三角剖分由于采用線性插值，因此不會產(chǎn)生高于原始數(shù)據(jù)最高值及低于原始數(shù)據(jù)最低值的點，曲面極大值與極小值與原始數(shù)據(jù)的位置與數(shù)值均保持完全一致；2.原始數(shù)據(jù)點與點之間的差值分配按照線性分配；3.圓滑方式相似。單憑人力在有限的原始數(shù)據(jù)中不能發(fā)現(xiàn)最能反映客觀地球物理場的規(guī)律，因此手繪的圓滑處理出于一定程度上的合理以及美觀的目的，與前文三角剖分的圓滑方式類似。

所繪等值線圓滑程度不理想，前文已經(jīng)提到是由于三角剖分使用線性函數(shù)插值，不再闡述。

所繪等值線容易出現(xiàn)順線的趨勢，這是由于我們的物探工作所采用的網(wǎng)度都是線距大于點距，形成的最佳三角形最短邊是第二短邊的1/2.5或1/5，并不十分理想。如圖3-1所示，A、B、C為三個實測點，其中A、B為同一條線上相鄰測點，A、C為相鄰線上同一測點。以A、B、C構(gòu)成最佳三角形，其對應(yīng)的三條邊分別為a、b、c，由于三個點均為實測點，其對代插點的控制能力相同。在c，a上分別取點D、E，令BD=BE=r，D點的插值結(jié)果受A、B點的數(shù)據(jù)的控制，E點的插值結(jié)果受B、C控制?，F(xiàn)不斷變化r值觀察D、E的受控情況：當r趨于0時，D、E均只受B控制，受控制程度相同；隨著r不斷變大，D、E受B的控制不斷減小并分別漸漸開始受A、C的控制，總的受控程度均漸漸降低。由于AD

圖3

圖4

[1]劉兆平，楊進，武煒.地球物理數(shù)據(jù)網(wǎng)格化方法的選取 [J].物探與化探，2010，34（1）93-9

P631[文獻碼]B

1000-405X（2016）-6-84-2