燕碧娟, 張文軍, 李占龍, 孫大剛(太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原　030024)

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層間過渡約束阻尼結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的分布參數(shù)傳遞函數(shù)解

燕碧娟, 張文軍, 李占龍, 孫大剛(太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原030024)

摘要：針對傳統(tǒng)約束阻尼結(jié)構(gòu)振動能耗散有限問題，引入“層間過渡層”設(shè)計(jì)的概念，提出一種層間過渡約束阻尼結(jié)構(gòu)，采用分布參數(shù)傳遞函數(shù)法對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行了動力響應(yīng)分析。經(jīng)推導(dǎo)，得到了阻尼結(jié)構(gòu)的各階損耗因子和頻率的解析解，并進(jìn)行了有限元仿真驗(yàn)證，二者計(jì)算結(jié)果吻合良好。以懸臂阻尼板為例，探討了過渡層參數(shù)行為對其頻響特性的影響，結(jié)果表明，在結(jié)構(gòu)振動時(shí)，過渡層可將變形傳遞給阻尼層，起到放大阻尼層的剪切變形作用，從而耗散更多的振動能量；同時(shí)還討論了過渡層的厚度、剪切模量、密度與泊松比對結(jié)構(gòu)固有頻率和損耗因子的影響，為進(jìn)一步優(yōu)化工作打下了良好基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：傳遞函數(shù)法；過渡層；約束阻尼；動力響應(yīng)

在減振結(jié)構(gòu)表面附加阻尼耗能層和彈性約束層，構(gòu)成傳統(tǒng)約束阻尼結(jié)構(gòu)[1-2]，它可將外界的振動能轉(zhuǎn)化為熱能進(jìn)行耗散。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，其能量耗散能力經(jīng)常會受到一定限制[3]。針對該問題，國內(nèi)外學(xué)者做了大量研究工作。Lepoittevin等[4]對約束阻尼梁的最外約束層進(jìn)行了間隔處理，并基于應(yīng)變能分析對間隔位置進(jìn)行了優(yōu)化；Gao等[5]用壓電材料做約束層，來增大阻尼層的剪切變形；孫大剛等[6]采用了雙阻尼層和約束層，構(gòu)成五層管狀約束阻尼結(jié)構(gòu)，并成功將五層結(jié)構(gòu)應(yīng)用于履帶車輛的驅(qū)動輪中。本文引入“層間過渡層”設(shè)計(jì)的概念，提出一種層間過渡約束阻尼結(jié)構(gòu)(見圖1)，即：在傳統(tǒng)約束阻尼結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)層與阻尼耗能層結(jié)合面處增加過渡緩沖層(其彈性模量和損耗因子介于金屬材料和黏彈性材料之間)，減小彈性約束層與阻尼耗能層的耦合，從而增大阻尼層彎曲振動；另一方面，“層間過渡層”的引入，可增加振動沖擊能耗散的通道，改善結(jié)構(gòu)阻尼和剛度。

1.基礎(chǔ)層　2. 過渡層　3. 阻尼層　4. 約束層圖1　 層間過渡約束阻尼板示意圖Fig.1 constrained damping plate with transition layer

針對阻尼結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)研究，主要有解析和有限元兩種方法[7]。分布參數(shù)傳遞函數(shù)法作為一種有效的數(shù)值分析方法，得到了許多學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[7]針對四邊簡支三層約束層阻尼板，采用傳遞函數(shù)方法進(jìn)行了動力學(xué)分析。楊坤等[8]基于哈密頓原理，采用分布參數(shù)體系傳遞函數(shù)方法，對復(fù)合材料夾層梁進(jìn)行了動力學(xué)響應(yīng)分析。Yang等[9]形成了一維系統(tǒng)的分布參數(shù)傳遞函數(shù)理論，并進(jìn)行了大量的研究工作，結(jié)果表明此解相對于特征函數(shù)展開處理法具有明顯的優(yōu)勢；Susanto[10]基于分布參數(shù)傳遞函數(shù)法對主動壓電層合結(jié)構(gòu)梁進(jìn)行了建模及動力學(xué)分析。

本文針對提出的層間過渡約束阻尼結(jié)構(gòu)，建立其動力學(xué)方程，采用分布參數(shù)傳遞函數(shù)法導(dǎo)出解析解。并探討過渡層參數(shù)行為對動力學(xué)特性的影響。

1動力學(xué)方程的建立

建立圖2所示坐標(biāo)系，假設(shè)粘彈阻尼層沿長度方向的拉伸應(yīng)力是可以忽略的，其僅發(fā)生純剪切變形；忽略基礎(chǔ)層和最外約束層的剪切變形；同時(shí)略去各層之間的相對橫向應(yīng)變，即整個(gè)結(jié)構(gòu)的側(cè)向位移(坐標(biāo)z的位移w)相等[11-12]。根據(jù)圖2各層變形關(guān)系，可推得層間過渡阻尼結(jié)構(gòu)振動時(shí)，過渡層的剪切角(ψ)與阻尼層的剪切角(γ)之間關(guān)系式如下：

(1)

式中：下標(biāo)1、2、3、4分別表示基礎(chǔ)層、過渡層、阻尼層和約束層；u表示各層的軸向變形分量；w為側(cè)向位移；H表示各層的厚度。

圖2　各層變形關(guān)系示意圖Fig.2 Deformation pattern of each layer

對于阻尼層與過渡層，其剪切力可表示為：

τ3=G3γτ2=G2ψ

(2)

式中，G為剪切模量。

對于基礎(chǔ)層、過渡層，其總的軸力(N12)、彎矩(M12)可分別表示如下

(3)

(4)

式中，(EA)表示軸向拉伸剛度，(EQ)表示各層彈性模量與面慣性矩的乘積，(EI)表示彎曲剛度。同理，對于約束層，有：

(5)

式中，E表示彈性拉伸模量，b為結(jié)構(gòu)寬度。

考慮到整個(gè)阻尼結(jié)構(gòu)受力平衡及根據(jù)牛頓第二定律，可得側(cè)向(z向)平衡方程如下：

(6)

式中：ρ=∑ρi(i=1,2,3,4)，ρ為密度，q表示側(cè)向外加載荷大小。

軸向(x向)平衡方程如下：

(7)

(8)

式中，f表示軸向拉力。

聯(lián)立式(1)～(8)，得層間過渡約束阻尼結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程為：

(9)

式中,Dt=(EI)12+(EI)4；a=H1/2+H2+H3+H4/2

2分布參數(shù)傳遞函數(shù)解

定義層間過渡約束阻尼結(jié)構(gòu)的狀態(tài)向量：

對動力學(xué)方程(9)進(jìn)行拉普拉斯變換，并表示成狀態(tài)空間形式如下：

(10)

式中

對于層間過渡約束阻尼結(jié)構(gòu)，固定其基礎(chǔ)層一端，并進(jìn)行基礎(chǔ)激振，其余附加層均為自由，其拉普拉斯域邊界條件可改寫為：

Mη(0，s)+Nη(l,s)=γ

(11)

式中，M和N表示邊界條件選擇矩陣；γ表示邊界激振載荷向量。

根據(jù)分布參數(shù)傳遞函數(shù)方法[13]，方程(10)的解為：

(12)

式中，G(x,ζ,s)稱為層間過渡阻尼結(jié)構(gòu)域內(nèi)傳遞函數(shù)矩陣，H(x,s)表示邊界傳遞函數(shù)矩陣，分別為：

H(s)=eF(s)x(M(s)+N(s)eF(s))-1

求解特征方程：

det[M(s)+N(s)eF(s))]=0

(13)

即可獲得層間過渡約束阻尼結(jié)構(gòu)的復(fù)特征值si，進(jìn)一步通過式(14)[11]即可得到結(jié)構(gòu)的各階固有頻率fi及結(jié)構(gòu)損耗因子ηi。

(14)

3算例驗(yàn)證

以層間過渡約束阻尼板為例，其幾何參量為：長0.5 m, 寬0.3 m, 基礎(chǔ)層厚H1=25 mm, 過渡層厚H2=20 mm，阻尼層厚H3=15 mm, 約束層厚H4=10 mm。材料參量為：基礎(chǔ)層和約束層采用相同材料，其密度ρ1=ρ4=7 800 kg/m3, 拉伸模量E1=E4=2.1×1011Pa，泊松比ν1=ν4=0.3，過渡層密度ρ2=1 200 kg/m3，剪切模量G2=7.629×108Pa，泊松比ν2=0.45，阻尼層密度ρ3=1 130 kg/m3, 剪切模量G3=7.629×106(1+0.15i) Pa，泊松比ν3=0.499。

為了驗(yàn)證上述所建動力學(xué)模型及傳遞函數(shù)解的正確合理性，本文同時(shí)進(jìn)行了有限元計(jì)算分析，獲得層間過渡阻尼板的的前5階固有頻率和結(jié)構(gòu)損耗因子，并與本文的解析解作比較，結(jié)果如表1所示。

表1　層間過渡約束阻尼板解析解與有限元結(jié)果比較

從表1可知，傳遞函數(shù)方法解析解與有限元計(jì)算結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了本文解析法求解層間過渡阻尼結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題的正確性。但傳遞函數(shù)法求解計(jì)算量小，節(jié)省計(jì)算時(shí)間，相對有限元法具備一定的優(yōu)勢。

4分析討論

4.1頻響特性曲線討論

圖3　過渡層剪切模量和阻尼性能對頻響特性的影響Fig.3 The effect of transition layer’s shear module and damping on frequency character

通過本文的傳遞函數(shù)法，還可對層間過渡約束阻尼結(jié)構(gòu)的頻響特性進(jìn)行分析。在上節(jié)算例基礎(chǔ)上，對阻尼結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)層固定端處施加頻率范圍0～4 500的單位正弦激勵(lì)，圖3給出了過渡層剪切模量和阻尼性能對層間過渡約束阻尼板頻響特性的影響。分析圖3(a)可知，當(dāng)過渡層剪切模量與阻尼層數(shù)量級相等時(shí)，此時(shí)，整個(gè)結(jié)構(gòu)振動劇烈，欲獲得良好的減振效果，只有提高過渡層的剪切模量實(shí)現(xiàn)。然而，對比圖3(a)、(b)可知，若過渡層所選材料具有一定的內(nèi)阻尼時(shí)，整個(gè)結(jié)構(gòu)減振效果會得到一定的改進(jìn)。另，從圖3知，若過渡層與阻尼層材料相同時(shí)(點(diǎn)劃線)，四層阻尼結(jié)構(gòu)演變?yōu)閭鹘y(tǒng)的三層約束阻尼結(jié)構(gòu)(等效為提高了阻尼層的厚度)，通常為了達(dá)到理想的減振要求，需增加阻尼層的厚度，然而隨著阻尼層厚度的增加，結(jié)構(gòu)損耗因子會達(dá)到一極限值，此時(shí)，即使再繼續(xù)增加其厚度也不能夠提高結(jié)構(gòu)對振動能的損耗能力。經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)不改變阻尼結(jié)構(gòu)厚度時(shí)，若讓過渡層的剪切模量大于阻尼層(實(shí)線)，在結(jié)構(gòu)振動時(shí)，過渡層可將變形傳遞給阻尼層，起到放大剪切變形的作用，從而消耗更多的振動能量。故 “層間過渡層”概念的引入，可提高結(jié)構(gòu)的減振緩沖效果，且相對于多層(五層以上)結(jié)構(gòu)，有著制作容易的特點(diǎn)。

4.2過渡層厚度的影響

圖4　過渡層厚度對損耗因子與頻率的影響Fig.4 Influence of transition layer thickness on Loss factor and frequency

針對第3節(jié)算例，改變過渡層厚度，探討阻尼板固有頻率和結(jié)構(gòu)損耗因子的變化趨勢，其結(jié)果見圖4。從圖中可知，隨著過渡層厚度的增加，結(jié)構(gòu)剛度與質(zhì)量均隨之上升，但剛度增大對頻率的影響相對于質(zhì)量增大的影響更加顯著，整個(gè)結(jié)構(gòu)變“硬”，故阻尼板的各階固有頻率該條件下皆增大，但改變不明顯。同時(shí)，隨著過渡層厚度的增加，結(jié)構(gòu)損耗因子并未持續(xù)增加，而在20 mm附近，存在最大值；另外經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)過渡層厚度等于H2=0時(shí)，一階損耗因子η1=0.060 7，H2=15 mm時(shí)，η1=0.074 1，H2=25 mm時(shí),η1=0.070 4，故“過渡層”的引入，能夠增加整個(gè)結(jié)構(gòu)的能量耗散，但一味增加過渡層厚度并不一定能取得更好地放大阻尼層剪切變形效果。

4.3過渡層剪切模量的影響

圖5　過渡層剪切模量對損耗因子與頻率的影響Fig.5 Influence of transition layer shear module on Loss factor and frequency

因過渡層的剛度低于阻尼層時(shí)，結(jié)構(gòu)振動變形時(shí)，材料損耗因子較低的過渡層就將產(chǎn)生很大的動態(tài)應(yīng)變，而不再起到擴(kuò)大阻尼層變形的作用，故過渡層的剪切模量應(yīng)具有某一合理的取值范圍。圖5給出了結(jié)構(gòu)損耗因子及各階頻率隨過渡層剪切模量變化情況。從圖5(a)可知，在給定的剪切模量范圍內(nèi)(介于約束層金屬材料和阻尼層黏彈性材料之間)，結(jié)構(gòu)損耗因子存在峰值，從初始至當(dāng)過渡層與阻尼層二者剪切模量相差2個(gè)數(shù)量級區(qū)間，曲線上升明顯，隨后變化較平緩，而當(dāng)過渡層剪切模量接近約束層時(shí)，損耗因子又有所下降。同時(shí)，分析圖5(b)頻率變化趨勢可知，各階均隨著過渡層剪切模量增加而逐漸上升，當(dāng)G2=7.629×109Pa時(shí)，第五階變化最為明顯，而其它各階(特別是第一階)改變不太明顯。另對于第一階，當(dāng)G2=7.629×106Pa時(shí)，f1=68.250 Hz;G2=1×107Pa時(shí)，f1=68.401 Hz;G2=7.629×108Pa時(shí)，f1=73.075 Hz;G2=7.629×109Pa時(shí)，f1=76.967 Hz。

4.4過渡層密度的影響

表2給出了各階頻率及結(jié)構(gòu)損耗因子隨過渡層密度變化情況。從中可知：當(dāng)層間過渡約束阻尼結(jié)構(gòu)的其它參數(shù)固定時(shí)，其各階固有頻率及第一階損耗因子均隨著過渡層密度的增大而減??；而其余各階損耗因子則隨著過渡層密度的增大而增大，但整個(gè)結(jié)構(gòu)阻尼損耗因子的變化并不明顯。

4.5過渡層泊松比的影響

在層間過渡約束阻尼結(jié)構(gòu)其余參數(shù)保持恒定的情況下，改變過渡層材料的泊松比，探討結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性。其各階頻率及損耗因子隨過渡層泊松比的變化情況見表3。經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，隨著過渡層泊松比的增加，整個(gè)結(jié)構(gòu)的彎曲剛度隨之增加，故各階固有頻率也略有增加，但影響不是很大。同時(shí)，當(dāng)過渡層材料泊松比在0.3～0.499范圍內(nèi)變化時(shí)，各階損耗因子幾乎未發(fā)生改變，故改變材料泊松比對提高整個(gè)結(jié)構(gòu)損耗因子的貢獻(xiàn)甚微。

表2　過渡層密度(單位：kg/m3)對各階固有頻率(單位：Hz)及損耗因子的影響

表3　過渡層泊松比對各階固有頻率(單位：Hz)及結(jié)構(gòu)損耗因子的影響

5結(jié)論

(1) 本文引入“層間過渡層”設(shè)計(jì)的概念，提出了一種層間過渡約束阻尼結(jié)構(gòu)，經(jīng)推導(dǎo)，建立了其動力學(xué)方程，給出了其分布參數(shù)傳遞函數(shù)解析解。經(jīng)與有限元計(jì)算結(jié)果對比，驗(yàn)證了該方法的正確性。

(2) 傳遞函數(shù)法可分析層間過渡約束阻尼結(jié)構(gòu)的頻響特性，經(jīng)探討得知，過渡層的引入，能起到放大阻尼層剪切變形的效果，增加結(jié)構(gòu)的能量耗散，且過渡層具有內(nèi)阻尼時(shí)，減振效果更佳。

(3) 過渡層參數(shù)行為對阻尼結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性有著重要影響。經(jīng)分析知，過渡層厚度與剪切模量對整個(gè)結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性影響明顯，而其密度及泊松比影響不大，故在實(shí)際應(yīng)用中，過渡層厚度及剪切模量的選取相對泊松比、密度的選取更為重要。隨著過渡層厚度和剪切模量在一定范圍內(nèi)增加，結(jié)構(gòu)的各階固有頻率逐漸上升；而損耗因子存在峰值。本文分析理論及結(jié)果為進(jìn)一步優(yōu)化工作打下了良好基礎(chǔ)。

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Distributed parameter transfer function method for dynamic response of a constrained damping structure with transition layer

YANBi-juan,ZHANGWen-jun,LIZhan-long,SUNDa-gang(Mechanical Engineering College, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030024, China)

Abstract:To solve limited vibration energy consumption problems of a traditional constrained damping structure, the concept of “transition layer” was introduced and a type of constrained damping structure with transition layer was proposed. The dynamic response for this damping structure was analyzed with the distributed parameter transfer function method. The analytical solutions of structural loss factor and frequency for a cantilevered damping plate were deduced, and a finite element simulation was also done. The calculation results of both two methods agreed well each other. The effects of transition layer’s parameters behavior on the cantilevered damping plate’s frequency response characteristics were analyzed. The results showed that the transition layer can transfer deformation to the damping layer and enlarge the shear deformation of the damping layer, so more vibration energy was dissipated when the structure vibrates. At the same time, the effects of thickness, shear modulus, density and Poisson ratio of the transition layer on structural natural frequencies and loss factors were also discussed. The results laid a good foundation for the further optimization.

Key words:transfer function method; transition layer; constrained damping; dynamic response

中圖分類號:S219.032.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.05.030

收稿日期：2014-12-30修改稿收到日期：2015-03-17

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(51405323;51305288)；太原科技大學(xué)博士啟動基金(20132002)

第一作者 燕碧娟 女，博士，副教授，1975年生