謝　旭， 鐘婧如， 張　鶴， 張治成(浙江大學(xué) 土木工程系，杭州　310058)

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人-橋豎向耦合振動計算方法

謝旭， 鐘婧如， 張鶴， 張治成(浙江大學(xué) 土木工程系，杭州310058)

摘要：為了分析輕質(zhì)人行橋的人-橋豎向耦合振動，建立了基于雙腳支撐人體計算模型的人-橋耦合振動方程。根據(jù)行人在剛性地面行走時的步伐荷載計算結(jié)果與文獻(xiàn)給出的步伐荷載時程曲線對比，驗證了雙腳支撐人體計算模型能較好地模擬行人的腳步力特性并討論了合理的人體參數(shù)取值范圍。以一座跨度22.8 m、第一階豎彎自振頻率7.23 Hz的鋁合金人行橋為例，運用Monte Carlo法模擬人群的步行參數(shù)，形成不同密度人群過橋的隨機工況，并用直接積分法計算了考慮人群-橋豎向耦合振動的鋁合金人行橋動力響應(yīng)。計算結(jié)果表明，當(dāng)人群密度較大時，考慮人橋耦合的人致振動卓越頻率趨于分散，其振動響應(yīng)明顯小于不考慮耦合影響的計算結(jié)果。

關(guān)鍵詞：人行橋;耦合振動;舒適性;步伐荷載;隨機人群

隨著輕質(zhì)高強材料在人行橋建設(shè)中的推廣應(yīng)用，改進(jìn)人行橋振動舒適性驗算方法是完善橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計的重要工作[1]。目前，國內(nèi)外對人行橋的振動舒適性驗算主要有兩種方法：一是采用結(jié)構(gòu)的自振頻率，如我國《城市人行天橋與人行地道技術(shù)規(guī)范》(CJJ69-95)[2]規(guī)定結(jié)構(gòu)的豎向自振頻率不小于3.0 Hz；另一種是采用結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，如德國EN03等標(biāo)準(zhǔn)[3-5]根據(jù)步伐荷載作用下的振動響應(yīng)驗算橋梁的舒適性。與前者相比，后者考慮了步行荷載和結(jié)構(gòu)的動力特性，通用性強，已經(jīng)成為研究人行橋舒適性問題的主要方法[6]。

自20世紀(jì)70年代以來，用于人行橋動力計算的步伐荷載模型以及基于結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的舒適性驗算方法得到了很大改進(jìn)[7-14]。但是，既有的算法一般不考慮人-橋相互作用，而是將行人激勵以外荷載的形式施加于橋面[15]。2000年倫敦千禧橋發(fā)生嚴(yán)重的側(cè)向振動問題，促使許多學(xué)者對人行橋側(cè)向耦合振動進(jìn)行大量研究，如Dallard[16]提出了側(cè)向振動線性自激勵模型，Ingolfsson[17]運用振動裝置研究了橋面振動對行人側(cè)向步行力的影響，袁旭斌[18]根據(jù)振動臺試驗結(jié)果研究結(jié)構(gòu)振動對步伐力的影響，宋志剛等[19]提出了基于動力放大系數(shù)的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)簡化計算方法。

相對于側(cè)向振動而言，目前關(guān)于人-橋豎向耦合振動的研究較為欠缺。輕質(zhì)人行橋由于自重輕、剛度小，在步伐激勵下豎向動力特性變化大，耦合作用對橋梁的豎向振動響應(yīng)會產(chǎn)生不可忽視的影響[20-21]。為了分析這類影響，李紅利等[22]基于雙腳支撐的人體動力學(xué)模型建立了考慮人-橋耦合振動的運動方程，并試驗研究了人-橋動力相互作用的整體效應(yīng)，給出以單人形式描述的人橋動力相互作用理論表達(dá)式；Qin等[23]用雙腳支撐人體模型建立了簡支梁在單人過橋時的人-橋耦合振動計算方法，但采用的計算方法不便于考慮任意的隨機人群腳步荷載作用。本文在文獻(xiàn)[23]的基礎(chǔ)上用直接積分法建立基于雙腳支撐人體模型的人-橋耦合振動計算方程，并討論行走模型的參數(shù)取值范圍。以一座跨度為22.8 m的鋁合金人行天橋為例，運用Monte Carlo法隨機模擬步行參數(shù)，計算不同密度人群作用下的人-橋耦合振動響應(yīng)，分析人-橋耦合振動對輕質(zhì)人行橋結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的影響。

1人-橋豎向耦合振動計算方法

1.1步伐荷載模型

圖1為雙腳支撐的人體行走模型。人體由集中質(zhì)量(COM)和剛體-彈簧-阻尼系統(tǒng)模擬。圖中，下標(biāo)l和t分別表示前后腳，k和c表示腿部的剛度和阻尼，θ為腿與橋面的夾角，xc和yc為重心位置縱向和豎向位移。前腳落地瞬間假定腿與橋面的攻角為θ0，這時前腿為自然長度，支點反力為零，人體的豎向平衡依靠后腿支撐。當(dāng)人體處于單腳支撐狀態(tài)時，可作為雙腳支撐的一個特例來考慮。

圖1　雙腳支撐模型Fig.1 Bipedal walking model

人體集中質(zhì)量(COM)的受力分析如圖2所示。圖中S表示腿的恢復(fù)力，D為腿的阻尼力。假定人體沿橋梁縱向勻速前進(jìn)，則可根據(jù)腿與橋面的夾角，建立如下的單自由度動平衡方程：

(1)

式中，m為人體質(zhì)量，g為重力加速度。

圖2　集中質(zhì)量(COM)受力狀態(tài)Fig.2 Forces exerted on the center of body(COM)

腿的恢復(fù)力S和阻尼力D分別由腿部的剛度k和阻尼系數(shù)c計算得到，即：

(2)

式中，Δl和Δv為腿長的改變量和腿上下端的相對速度，下標(biāo)l、t的含義同前?；謴?fù)力和阻尼力均設(shè)定為不小于零的值?？紤]橋面豎向與縱向振動影響的腿長變化以及相對速度分別按式(3)、式(4)計算：

(3)

(4)

式(3)中，Lleg為腿的自然長度，由圖3所示的前腳落地瞬間人體計算模型得到。圖3中L0為步長；重心和前腳落地點的距離與步長的比值用λCOM表示；上標(biāo)“·”表示變形對時間的一階導(dǎo)數(shù)，即速度。為了盡量消除初始條件對計算的影響，以進(jìn)橋前的直立、且單點支撐姿勢作為初始狀態(tài)(如圖4)，這時可假定人體豎向的初加速度、初速度為零。其中，H0為初始狀態(tài)人體重心的高度，根據(jù)人體重量以及腿的軸向剛度確定，即：

H0=Lleg-mg/kl

(5)

圖3　前腳落地瞬間人體計算模型Fig.3 Bipedal walking model when the leading limb contacts the ground

圖4　行走初始狀態(tài)Fig.4 Initial state in walking

橋面在腳步落地點受到的步伐荷載根據(jù)圖5的關(guān)系可以表示成為：

(6)

式中，F(xiàn)y、Fx分別為腳步的豎向和縱向反力，下標(biāo)l,t的含義同前。

圖5　橋面受力狀態(tài)Fig.5 Forces exerted on the deck

1.2計算模型驗證以及人體參數(shù)影響分析

為了檢驗上述算法并討論合理的人體參數(shù)取值范圍，圖6給出了人體行走模型以1.5 Hz步頻在剛性地面行走時的豎向動荷載系數(shù)αy(t)與文獻(xiàn)[24]的結(jié)果對比，這里αy(t)為豎向步伐荷載與人體自重的比值，定義詳見式(8)。因兩者的腳步力接觸時間略有差異(按本文模型計算得到的腳步力接觸時間約為文獻(xiàn)[24]的90%)，這里將接觸時間按等比例調(diào)整到一致。計算時假定行人體重為0.7 kN；腿部剛度k與腳步的初始攻角θ0參考相關(guān)文獻(xiàn)分別取16 kN/m及69°[23,25-26]；阻尼系數(shù)c及行人重心位置λCOM分別近似地取為0.14 kN·s/m和0.53；根據(jù)文獻(xiàn)[27]給出的數(shù)據(jù),可擬合得到步長與頻率f關(guān)系為：

L0=0.45+0.007 41ef/0.54

(7)

圖6表明，由本文方法得到的腳步力時程與文獻(xiàn)結(jié)果基本一致，說明本文方法能較好地模擬豎向走行步伐荷載的基本特性。

圖6　步伐力模擬結(jié)果與文獻(xiàn)[24]對比圖Fig.6 Comparison of the simulated ground reaction force with the curve from reference [24]

圖7為行人以1.5 Hz至2.0 Hz步頻在剛性路面行走時的單腳步伐力時程曲線模擬結(jié)果。圖7中，αy為豎向動荷載系數(shù)，αx為縱向動荷載系數(shù)，即

(8)

式中，F(xiàn)y、Fx分別為豎向步伐力和縱向步伐力，G為人體重量。圖中雙峰特性隨步頻的變化規(guī)律與文獻(xiàn)[24]基本一致，驗證了本文提出的人橋耦合振動計算方法的合理性。

圖7　不同頻率行走的步伐荷載Fig.7 Ground reaction forces with different pacing frequencies

在上述人體計算模型中，相關(guān)參數(shù)主要包括前腳落地瞬間的重心位置λCOM、腿部剛度k和阻尼系數(shù)c。為了研究這些參數(shù)對步伐荷載的影響，本文對參數(shù)的取值進(jìn)行比較分析。圖8為當(dāng)步頻1.5 Hz時的計算結(jié)果。由圖可知，腳步落地時，重心位置越靠前，腿部剛度越大，豎向力凹凸程度越大，反之越小。相比之下，腿部的阻尼取值對步伐力的影響較小。

根據(jù)上述對比分析，腿部剛度和阻尼比應(yīng)在16 kN/m、0.14 kN.s/m左右取值，而λCOM隨著步頻增加逐漸增大，大致為0.50～0.60。

圖8　重心位置，腿的剛度和阻尼對步伐荷載的影響Fig.8 Effect of the COM position, the leg stiffness and the leg damping on the shape of ground reaction force

1.3人-橋豎向耦合振動計算方程

本文利用有限元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)動力計算，人-橋耦合振動方程如下：

(9)

2鋁合金人行橋豎向耦合振動分析

2.1橋梁概況

本文以杭州市復(fù)興路鋁合金人行天橋為例，基于上述豎向耦合振動計算模型，分析人-橋耦合振動對輕質(zhì)人行橋動力響應(yīng)的影響。該橋為上端開口的簡支梁桁架橋，跨度為22.8 m，橋面寬度4.5 m。為了方便計算，采用空間單梁模型，按等剛度和等質(zhì)量進(jìn)行換算。橋梁的單位長度質(zhì)量為491 kg/m，豎向彎曲變形的截面等效慣性矩為0.04 m4，側(cè)向彎曲變形的截面等效慣性矩為0.093 m4，等效扭轉(zhuǎn)常數(shù)為0.011 m4，彈性模量為7×107kN/m2。圖9為人行橋的平面圖與橫斷面圖。

圖9　鋁合金人行橋Fig.9 Aluminum alloy footbridge

采用Rayleigh阻尼考慮結(jié)構(gòu)阻尼效果，即：

C=α0M+β0K

(10)

式中，系數(shù)α0取0.02，β0取0.000 4，前三階對應(yīng)的阻尼比約為0.93%，1.40%，3.64%。

結(jié)構(gòu)自振頻率計算結(jié)果如表1所示，豎向振動的基頻為7.23 Hz，遠(yuǎn)大于《城市人行天橋與人行地道技術(shù)規(guī)范》(CJJ69-95)規(guī)范規(guī)定的舒適性驗算頻率3.0 Hz。

2.2單人通行時的耦合振動計算

首先計算單人步行荷載下的橋梁振動響應(yīng)。假定行人沿著橋梁的中心線走行，步頻為1.8 Hz，步長為0.7 m，體重0.7 kN。橋梁跨中點作為結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)輸出點。

表1　鋁合金人行橋的自振特性

圖10為人體重心位置COM的豎向位移和速度時程曲線，表明行人在行走中能夠保持穩(wěn)定的動力過程。圖11為橋梁跨中的豎向撓度、速度和加速度響應(yīng)時程，分人-橋耦合和非耦合兩種情況。結(jié)果表明，在單人通過時考慮耦合振動的結(jié)果與不考慮耦合振動的結(jié)果基本一致，耦合振動的影響較小。

圖10　重心(COM)的振動響應(yīng)Fig.10 Dynamic responses of the COM in walking

2.3人群荷載下的耦合振動計算

為了模擬人行橋在實際運營狀態(tài)時的振動響應(yīng)，本文將上述單人模型運用于人群作用下的人-橋耦合振動響應(yīng)計算。假定人群密度為0.2～3.0人/m2。為考慮人群個體的隨機特性，將人群分布位置、步頻、體重、腿長、步長等用Monte-Carlo法在設(shè)定的數(shù)據(jù)范圍內(nèi)隨機生成。其中步頻為1.6～1.8 Hz，體重為0.6～0.8 kN，人群在橋面均勻分布。走行方向跟據(jù)人在橋面的位置確定，即按照靠右行走規(guī)則根據(jù)人在橋面上的位置規(guī)定其前進(jìn)方向。人群總數(shù)N根據(jù)人群密度計算得到，即為單位面積人數(shù)×橋面面積。在同一人群密度下用相同的人群分布條件分別計算考慮耦合振動和不考慮耦合振動的影響。另外，當(dāng)行人步行出橋5 m以后在入橋位置激活剛出橋的行人，并按原速度步入橋梁，以確保橋面上的總?cè)藬?shù)保持不變，形成穩(wěn)態(tài)的人群荷載模式。

為了獲得更為可靠的動力響應(yīng)結(jié)果，將每一種人群密度計算10個不同的隨機人群工況，得到各人群密度下的豎向最大加速度均值。

表2為不同密度人群作用下考慮與不考慮人橋耦合振動的橋梁跨中最大豎向動力響應(yīng)均值對比。表中“No”為不考慮人橋耦合的結(jié)果，“Yes”為考慮耦合的結(jié)果。作為一例,圖12給出了三種人群密度情況下的

加速度響應(yīng)時程及相應(yīng)的FFT頻譜分析對比圖。圖中，“Y”表示考慮耦合作用的結(jié)果，“N”表示不考慮耦合作用。結(jié)果表明，計算時是否考慮人-橋耦合作用，對鋁合金人行天橋的動力響應(yīng)結(jié)果有明顯的影響，影響程度隨著人群密度增大而變得更為顯著；考慮人-橋耦合作用時，動力響應(yīng)計算結(jié)果明顯小于不考慮相互作用的計算結(jié)果。產(chǎn)生這一現(xiàn)象是因為考慮人橋耦合影響時，振動頻率較為分散，不同頻率的振動相互抵消。如圖12所示，考慮人橋耦合影響時的結(jié)構(gòu)振動含有多個卓越頻率，而不考慮人橋耦合影響的振動響應(yīng)卓越頻率更為集中。

表2　不同密度的人群過橋時結(jié)構(gòu)最大動力響應(yīng)均值

圖11　單人過橋時結(jié)構(gòu)跨中的振動響應(yīng)時程Fig.11 Dynamic responses at midspan of footbridge with single pedestrian walking

圖12　人群過橋時結(jié)構(gòu)跨中加速度響應(yīng)時程與FFT頻譜Fig.12 Dynamic responses and FFT spectra at midspan point of footbridge with stochastic crowd excitation

3結(jié)論

本文建立了考慮人-橋豎向耦合振動的人行橋結(jié)構(gòu)動力計算方法，并以一座跨度為22.8 m的簡支鋁合金人行天橋為例，分析了考慮與不考慮人橋耦合振動對輕質(zhì)人行橋結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響。研究得到以下幾點結(jié)論：

(1) 通過與文獻(xiàn)的步伐荷載對比，驗證了雙腳支撐模型得到的步伐荷載能較好反應(yīng)腳步力的基本特征。

(2) 通過比較分析不同人體參數(shù)條件下的步伐荷載計算結(jié)果，計算模型的腿部剛度和阻尼建議在16 kN/m、0.14 kN.s/m左右取值；腳步落地瞬間的人體重心位置距離前腳落地點為步長的0.50倍～0.60倍前后。

(3) 通過實際人行橋的人-橋耦合振動計算分析，驗證了提出的人-橋耦合振動響應(yīng)計算方法即使在高密度的隨機人群工況下，結(jié)構(gòu)動力計算也具有較好的收斂性和穩(wěn)定性。

(4) 鋁合金人行天橋由于自重輕，采用不考慮人橋耦合影響的計算方法得到的結(jié)果偏大。

參 考 文 獻(xiàn)

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Calculation method for human-bridge vertically coupled vibration

XIEXu,ZHONGJing-ru,ZHANGHe,ZHANGZhi-cheng(Department of Civil Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China)

Abstract:In order to investigate the human-bridge vertically coupled vibration of lightweight footbridges, a human-bridge vertically coupled vibration equitation based on a bipedal pedestrian model was developed. A comparison between the simulated foot force on rigid ground and the foot force time history curve presented in reference showed that the human body bipedal walking model provided here can simulate the features of ground reaction force properly. Reasonable ranges of the parameters of this bipedal model were discussed. A 22.8m-span aluminum alloy footbridge (with the 1st vertical bending vibration natural frequency of 7.23 Hz) was taken as an example to calculate the structural dynamic responses under vertical crowd-bridge interaction. Stochastic crowd walking parameters were generated by Monte-Carlo method to simulate the random crowd conditions of different densities, and the direct integral method was used to compute the dynamic response of the foot bridge considering crowd-bridge vertically coupled vibration. The results indicated that as the crowd density rises, the predominant frequencies of the human-bridge coupled vibration tend to dispersing, the vibration responses are much smaller than those not considering the coupling effect.

Key words:footbridge; coupled vibration; serviceability; foot force; stochastic crowd

中圖分類號:U448.11

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.05.017

收稿日期：2014-11-21修改稿收到日期：2015-03-12

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(51378460)

第一作者 謝旭 男，博士,教授，1963年12月生