周　東　張　輝　葉佩青

清華大學，北京，100084

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多葉光柵葉片端面形狀優(yōu)化設(shè)計

周東張輝葉佩青

清華大學，北京，100084

摘要：為提高放射治療劑量的精度，減少因半影導致的劑量誤差，引入切割線理論建立了半影解析表達模型。提出了以最大射野范圍內(nèi)半影寬度均值為優(yōu)化目標，針對圓心偏置的圓弧類端面進行優(yōu)化設(shè)計的方法，并將優(yōu)化方法應(yīng)用于中心葉片和離軸葉片的優(yōu)化設(shè)計。結(jié)果表明：相比較最大圓弧相交半徑法得到的端面形狀，采用該算法優(yōu)化后的葉片半影寬度均值減小了1.6%。

關(guān)鍵詞：多葉光柵；葉片端面；半影建模；形狀優(yōu)化設(shè)計

0引言

多葉光柵是放射治療設(shè)備實施射束投照的重要執(zhí)行部件，也是放療系統(tǒng)中機械結(jié)構(gòu)較為復雜的部件之一。多葉光柵的主要功能是通過葉片運動形成復雜形狀的射野，改變射野形狀并調(diào)制射野范圍內(nèi)投照劑量的分布可滿足治療計劃要求，同時盡可能減小正常組織所受劑量。

按照聚焦形式，可將多葉光柵分為單聚焦多葉光柵與雙聚焦多葉光柵[1]。按照國際輻射學單位委員會的建議，患者在放射治療中實際接收的總劑量與計劃劑量誤差必須在5%以內(nèi)[2]。葉片端面形狀優(yōu)化設(shè)計是多葉光柵設(shè)計的重要內(nèi)容，已產(chǎn)生了多種優(yōu)化方法[3-4]。目前，研究報道主要集中在基于劑量學實驗的端面半影特性研究和基于解析求解的端面優(yōu)化研究兩大方面。

基于劑量學實驗的端面半影特性研究中，Huq等[5]對Elekta、Siemens和Varian等公司的6 MV加速器多葉光柵進行了劑量學實驗研究，結(jié)果表明，半影寬度與多葉光柵相對射線源安裝位置相關(guān)，離射線源越近，半影寬度越大。Mohan等[6]研究了Varian Clinac 120多葉光柵在6 MV和18 MV光子束下的劑量學特性。對比多種射野限束方法(光闌、MLC、MLC+光闌)后發(fā)現(xiàn)，僅采用MLC射野限束方式的半影寬度比其余兩種方式的半影寬度大。Wu等[7]研究了葉片端面半影造成的葉片投影位置、光野位置及射野位置之間的差異，并將中心葉片位置偏置的實驗結(jié)果用于預測離軸葉片的半影特性，提出了離軸葉片位置偏置預測方法。多葉光柵半影受射線源能量分布、多葉光柵葉片端面形狀、葉片位置等因素影響顯著，因此如何通過端面形狀最優(yōu)設(shè)計獲取理想半影特性，對實現(xiàn)精確放射治療意義重大。然而，上述劑量學實驗方法研究葉片端面形狀對半影的影響時，僅從既定的加速器幾何結(jié)構(gòu)物理參數(shù)出發(fā)，無法對比分析不同葉片形狀的半影特性，因此需要借助解析算法實現(xiàn)端面形狀優(yōu)化。

在基于解析求解的端面優(yōu)化研究方面，Jordan等[8]采用最大圓弧相交半徑法求解最優(yōu)半徑值。該方法將射線源視為理想點源，將葉片投影位置處于最大射野處，20%射線衰減線與圓弧端面底邊交點重合時對應(yīng)的半徑為理想半徑，但仿真分析發(fā)現(xiàn)，采用該準則設(shè)計的葉片端面半影并不是最優(yōu)設(shè)計。Sun等[9]引入高斯分布射線源，提出了射線追蹤算法，研究了直邊端面、聚焦端面及圓弧端面對多葉光柵半影特性的影響。Topolnjak等[10]通過幾何方法建立了最大相交圓弧半徑法的解析求解公式，分離了多葉光柵幾何半影及穿射半影，并通過經(jīng)驗公式對總半影寬度進行估算。目前尚未報道包含圓心偏置的端面優(yōu)化方法，同時未有學者提出并驗證端面總半影的解析求解方法。

針對上述研究不足，筆者提出一種通過切割線理論(tangent secant theory，TST)來進行半影解析建模的端面優(yōu)化方法。首先通過參數(shù)辨識獲取等效射線源大小及等效路徑長度，在此基礎(chǔ)上引入優(yōu)化理論，構(gòu)造包含圓心偏置的圓弧端面形狀優(yōu)化目標函數(shù)和約束條件，并采用基于梯度理論的優(yōu)化算法進行問題的求解。本研究主要包括三大部分：①提出了基于切割線理論的半影建模方法，并通過Monte Carlo數(shù)值仿真驗證模型的準確性；②將最大射野范圍內(nèi)的半影寬度均值作為目標函數(shù)，將圓心位置及半徑作為自變量，基于梯度算法對多葉光柵端面進行形狀優(yōu)化；③建立中心葉片與離軸葉片的幾何關(guān)系，將優(yōu)化方法應(yīng)用于離軸葉片的最優(yōu)端面設(shè)計。

1多葉光柵半影的建模及模型驗證

1.1多葉光柵工作原理

多葉光柵通過葉片運動形成射野的工作原理如圖1所示。葉片可對射線形成屏蔽，投影平面內(nèi)的射野形狀隨多葉光柵葉片位置變化而改變。因此，可根據(jù)腫瘤位置規(guī)劃多葉光柵葉片運動軌跡，確定各個投照角度所需的劑量強度，對腫瘤靶區(qū)實現(xiàn)準確劑量投照。本研究將位于中心軸線兩側(cè)的葉片定義為中心葉片，將其余葉片定義為離軸葉片。

圖1　多葉光柵工作原理

1.2半影解析建模

受射線源能量角度分布、幾何結(jié)構(gòu)射線穿射、治療頭散射等因素的影響，射野邊緣通常會形成半影。半影寬度一般定義為80%及20%等劑量線間的距離。為行文方便，后續(xù)章節(jié)中的半影均特指半影寬度。常用多葉光柵半影建模方法主要有Monte Carlo數(shù)值仿真、Ray-tracing射線追蹤算法等[9-10]。如果半影求解函數(shù)較為復雜，則嚴重制約計算效率，影響優(yōu)化迭代過程的順利進行。文獻[10]建立了幾何半影和穿射半影的解析表達，并將總半影表達為幾何半影和穿射半影的加權(quán)求和。幾何半影的計算需要求取端面切線，穿射半影則需要通過求取割線獲取。在上述求解方法的啟發(fā)下，筆者通過綜合幾何半影和穿射半影的成因，采用TST求取端面總半影。TST的思想是，通過構(gòu)建端面的切線和割線，獲得半影解析表達模型，其中，切線和割線的位置取決于等效射線源大小以及等效路徑長度，可通過參數(shù)辨識獲取上述模型參數(shù)。

坐標系選取如圖2所示，定義h1為葉片高度，坐標系原點O位于葉片高度中軸線MN上，葉片端面圓弧圓心Oc相對坐標系原點O在X方向上的偏置為b，圓心Oc與葉片端面頂點T的距離等于圓弧半徑R。葉片端面圓弧曲線c=[Rb]T。其中，(x-b)2+y2=R2。以葉片端面Y方向頂點為基準點，葉片行程范圍內(nèi)的起點為Lw，終點為Lp。Lw和Lp分別在探測平面形成投影點Tw和Tp。定義SCD為射線源與中軸線距離，SAD為射線源與探測平面距離，F(xiàn)S為最大射野范圍。以葉片處于Tw投影位置為例，采用TST求取半影寬度，算法過程如下。

圖2　切割線法半影建模

W(c,Tw)=yP80-yP20

(1)

(2)

(3)

已知射線源且葉片端面形狀確定時，投影位置Tw處的半影僅與參數(shù)e、l相關(guān)。其中，e、l與治療設(shè)備幾何參數(shù)及射線特性相關(guān)，在實際使用中可通過最小二乘擬合參數(shù)辨識獲取，即求解：

(4)

1.3模型驗證

1.3.1數(shù)值仿真模型

采用EGSnrc/BeamnrcMonteCarlo仿真軟件，建立包含射線源、多葉光柵及探測平面在內(nèi)的數(shù)值仿真模型。多葉光柵最大射野為40cm×40cm，葉片對數(shù)為40。本研究采用中間10對葉片形成的10cm×10cm射野。通過改變?nèi)~片位置，獲得不同投影位置下的半影。記錄粒子總數(shù)為109。本研究采用加速器參數(shù)如下：射線源為單一能量光子源，能量分布為高斯分布，半高全寬為1mm，射線平均能量為1.5MeV，鎢合金葉片衰減系數(shù)為0.95cm-1，SAD=100cm，SCD=46cm，hl=8cm，F(xiàn)S=40cm[11]。

1.3.2仿真結(jié)果半影計算

仿真得到射野范圍內(nèi)射線強度分布，以圓弧半徑為10cm，射野范圍0～10cm為例，給出仿真數(shù)據(jù)處理過程，得到葉片投影位置10cm處的射線強度分布，如圖3所示。

圖3　數(shù)值仿真數(shù)據(jù)處理

通過對探測平面的數(shù)據(jù)進行處理得到半影，處理過程如下：首先對仿真獲取的射線強度分布數(shù)據(jù)點進行曲線擬合，然后計算擬合后的曲線20%及80%射線強度的位置，兩者之間的距離即為半影。對圖3實驗數(shù)據(jù)進行曲線擬合，得到的半影為1.358mm，擬合方程為

(5)

取n=3，則式(5)中的參數(shù)如表1所示。

表1　高斯函數(shù)擬合方程參數(shù)

1.3.3參數(shù)辨識及模型驗證

筆者通過改變非圓心偏置圓弧端面葉片的半徑，計算不同半徑下，隨葉片投影位置變化的半影。在此基礎(chǔ)上，以仿真數(shù)據(jù)為參考值，通過最小二乘曲線擬合進行參數(shù)辨識，獲取切割線法半影模型中的參數(shù)e和l。

對于數(shù)值仿真模型，通過辨識得到的切割線法半影模型參數(shù)e=0.863 mm，l=1.240 cm。從圖4中可見，切割線法半影與仿真模型較為吻合。通過分析圖形數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，兩者最大誤差為9.50%。

圖4　圓弧端面最大射野范圍內(nèi)半影寬度曲線

2中心葉片端面優(yōu)化

2.1目標函數(shù)

多葉光柵端面半影寬度對靶區(qū)劑量精度影響顯著，小半影可實現(xiàn)較大的劑量梯度，因此本研究以半影均值為目標函數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計。取最大射野范圍內(nèi)葉片不同的投影位置Ti(i=1，2，…，N)處端面半影為Wi，半影均值為

(6)

(7)

式(7)表示投影位置Ti的坐標取值，其中，X坐標與射線源至多葉光柵距離以及探測平面距離有關(guān)，Y坐標在射野范圍內(nèi)作N等分。通過對最大射野范圍內(nèi)葉片投影位置進行均勻分割取樣，獲取劑量分布數(shù)據(jù)。

2.2約束條件

圓弧端面形狀由圓心半徑R及圓心偏置d確定。根據(jù)幾何關(guān)系，可將約束條件分成兩類。一類是邊界約束：

(8)

另一類是線性約束：

(9)

2.3優(yōu)化數(shù)學模型

為獲取探測平面內(nèi)較小的半影寬度，以半影均值為優(yōu)化目標，端面優(yōu)化函數(shù)如下：

minμ(c)

(10)

(11)

(12)

(13)

式(11)表示對矩陣中的元素逐一比較?；谏鲜霰磉_式建立TST半影模型。

2.4優(yōu)化結(jié)果

首先，對射線束中心軸線兩側(cè)的中心葉片進行優(yōu)化分析。選取基于梯度算法的優(yōu)化算法，將仿真模型及辨識得到的切割線法模型參數(shù)代入優(yōu)化數(shù)學模型，通過MATLAB優(yōu)化程序進行迭代計算。優(yōu)化后的半影均值為1.261mm，中心葉片圓弧端面優(yōu)化結(jié)果為Ropt=17.306cm，bopt=0.863cm。

計算發(fā)現(xiàn)，對于多組不同初值選取，優(yōu)化結(jié)果均收斂于同一點，可見目標函數(shù)為凸函數(shù)，所得優(yōu)化結(jié)果并沒有陷入局部最小值點，因此，該點是全局最小值點。將優(yōu)化后端面半影計算結(jié)果轉(zhuǎn)化為仿真模型參數(shù)，如圖5所示，可見切割線半影建模與仿真計算結(jié)果半影均值較一致。

圖5　優(yōu)化后圓弧端面半影特性與仿真結(jié)果比較

將本研究采用的模型參數(shù)代入文獻[10]的最大圓弧相交半徑解析公式計算，得到的最優(yōu)端面半徑為16.183cm，圓心未偏置，相應(yīng)的半影均值為1.281mm。對比發(fā)現(xiàn)，所提出優(yōu)化方法計算得到的半影均值比最大圓弧相交半徑法計算結(jié)果更優(yōu)，半影均值減小了1.6%。

3離軸葉片端面優(yōu)化

3.1離軸葉片幾何模型

按照葉片排布分，多葉光柵可分為水平排布多葉光柵和圓弧排布多葉光柵兩種。離軸葉片處于不同幾何位置時，葉片高度、葉片與射線源的距離、葉片投影點與射線源的距離均會隨葉片排布不同而有所變化。因此，中心葉片端面優(yōu)化方法在應(yīng)用于離軸葉片端面設(shè)計前，需要根據(jù)上述幾何關(guān)系作修正。

(14)

圖6　葉片水平排布及圓弧排布離軸葉片幾何模型

同理，對于葉片圓弧排布方式，考察投影位置為PE處的葉片，其相應(yīng)幾何關(guān)系為

(15)

3.2離軸葉片優(yōu)化結(jié)果

將不同排布下的幾何模型參數(shù)代入優(yōu)化數(shù)學模型，通過迭代計算，得到不同葉片投影位置處離軸葉片的最優(yōu)半徑及圓心偏置結(jié)果。葉片排布關(guān)于射線束中心軸線對稱，離軸葉片的投影位置可按單邊計算，計算結(jié)果如表2、表3所示。

表2　水平排布多葉光柵最優(yōu)端面　cm

表3　圓弧排布多葉光柵最優(yōu)端面　cm

由表2、表3可見，對于水平排布多葉光柵，葉片離軸越大，最優(yōu)半徑越大；最大圓心偏置的差值為0.27mm，且葉片離軸越遠，圓心沿Y軸負方向偏置越大。對于圓弧排布多葉光柵，最優(yōu)端面半徑離軸葉片與中心葉片最大相差3.27mm，圓心偏置最大相差0.05mm。但與水平排布相反，隨葉片離軸越遠，圓心沿Y軸負方向偏置越小。

3.3多葉光柵斑馬線曲面分析

根據(jù)離軸優(yōu)化結(jié)果，采用SolidWorks對優(yōu)化后的葉片作斑馬線曲面分析，如圖7所示。斑馬線曲面分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)條帶間隔較為均勻，端面圓弧過渡較為平穩(wěn)。

圖7　水平排布及圓弧排布端面優(yōu)化設(shè)計斑馬線分析

4結(jié)語

提出了基于半影建模的多葉光柵葉片端面形狀優(yōu)化設(shè)計方法，引入切割線法并建立了半影模型，并通過MonteCarlo仿真驗證了模型的準確性。在此基礎(chǔ)上，以射野范圍內(nèi)半影均值為目標函數(shù)，分別對中心葉片和離軸葉片端面形狀展開了優(yōu)化研究，獲取了端面最優(yōu)圓弧半徑及圓心偏置。結(jié)果表明，采用該優(yōu)化算法得到的后端面半影均值比最大圓弧相交半徑法得到的計算結(jié)果小1.6%。因此，本研究提出的端面優(yōu)化設(shè)計方法為多葉光柵設(shè)計提供了新的思路。

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(編輯張洋)

Shape Optimal Design of Leaf End for Multileaf Grating

Zhou DongZhang HuiYe Peiqing

Tsinghua University，Beijing，100084

Abstract：In order to improve dose delivery accuracy and reduce the dose error caused by penumbra, an analytical penumbra model was presented based on tangent secant theory. With penumbra width mean across radiation field set as objective function, leaf end shape optimization was proposed, which was applied for leaves in the shape of circular arc with center offset from the axis of leaf mean height. Furthermore, shape optimal design of leaf ends for on-axis and off-axis leaves was introduced. Results show that penumbra width mean is reduced by 1.6% for the optimized leaf end, compared with the method of maximum arc intersection radius.

Key words：multileaf collimator; leaf end; penumbra modelling; shape optimal design

作者簡介：周東，男，1987年生。清華大學機械工程系博士研究生。主要研究方向為腫瘤放射治療學、計算機輔助設(shè)計與制造CAD/CAM、數(shù)字化口腔醫(yī)學、遠區(qū)激光熔化快速成形SLM技術(shù)。發(fā)表論文4篇。張輝，女，1969年生。清華大學機械工程系副研究員。葉佩青，男，1963年生。清華大學機械工程系研究員。

中圖分類號：TH122; R815

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.06.006

基金項目：北京市科技計劃資助項目(Z141100000514015)；清華大學自主科研計劃資助項目(2011Z01013)；清華大學摩擦學國家重點實驗室自主研究項目(SKLT12A03)

收稿日期：2015-01-14