張應遷??

摘要：針對圓拱在徑向均布載荷下的屈曲問題，在基于Boussinesq、Lamb方程求解圓拱徑向臨界載荷的基礎上，通過采用變分法、有限單元法并經數值驗證發(fā)現，BEAM3單元誤差較大，并且誤差隨中心角的增大而增大，而BEAM188以及SHELL181單元分析結果與理論解吻合相當好。因此，可以在實際設計當中采用BEAM188或SHELL181單元進行結構臨界載荷的確定。

關鍵詞：兩鉸拱；變分法；有限單元法；ANSYS

中圖分類號：U448.22 文獻標志碼：B

Abstract： In traditional method， the critical load of circular arch buckling is obtained by solving Boussinesq and Lamb equations. The variational method and finite element method were used to study the radial critical load of the circular arch. By numerical verification， the error of the BEAM3 element is large， and the error grows with the increase of the central angle. The results of BEAM188 element and SHELL181 element are in good agreement with theoretical results. Therefore， the BEAM188 element or SHELL181 element can be used to identify the critical load of the structure.

Key words： two-hinged arch； variational approach； finite element method； ANSYS

0 引 言

在豎向載荷作用下產生水平反力的曲桿結構稱為拱。拱在工程中有很廣泛的應用，在公路工程中拱橋是最基本的橋型之一。

拱與梁不僅是外觀不同，更重要的是在豎向載荷作用下產生水平反力，這種水平反力也稱為推力。由于水平推力的存在，拱中各截面的彎矩比曲梁式簡支梁的彎矩小得多，這使拱成為一種以受壓為主的結構。因此，拱可以用抗壓強度較高而抗拉強度低的磚、石、混凝土等材料修建，這是拱結構的主要優(yōu)點。拱的缺點是支座要承受水平推力，因而要求具有比梁更為堅固的基礎支撐結構[1-2]。

圓拱在徑向載荷下的屈曲問題一直是眾多學者研究的熱點。Kirchhoff最早提出拱穩(wěn)定的數學理論；Bryan第一個系統研究了拱的平衡穩(wěn)定；Southwell進一步研究了彈性體的穩(wěn)定性問題；Nikolaii對圓環(huán)和圓拱的穩(wěn)定性做了大量的研究；還有對圓拱彈性穩(wěn)定做出巨大貢獻的Timoshenko。隨著計算機技術的迅速發(fā)展，數值方法在圓拱穩(wěn)定性研究方面起的作用越來越大，Smirnov在這方面做了大量的工作，Gaber、Dinnik、Morgaevsky等在圓拱穩(wěn)定性試驗驗證方面進行了很多探索。本文基于Boussinesq、Lamb方程求解圓拱徑向臨界載荷，并將變分法和有限單元法運用到圓拱徑向臨界載荷的研究中。

1 圓拱徑向載荷作用下的面內失穩(wěn)

圓拱在徑向載荷作用下的面內失穩(wěn)研究主要基于2類方程，即Boussinesq方程和Lamb方程。前者研究的重點是徑向位移，后者研究的重點則是切向位移。研究圓拱在徑向載荷下的屈曲問題，對拱有以下3點基本假設：圓拱所采用的材料需滿足線彈性（即滿足胡克定律）；拱的中心線不可壓縮；作用在拱上的載荷均為保守力系。

1.1 Boussinesq方程

3 有限單元法

有限單元法是一種有效解決數學問題的解題方法。其基礎是變分原理和加權余量法，基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節(jié)點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數或插值函數形式構成不同的有限元方法。有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的發(fā)展慢慢用于流體力學的數值模擬。ANSYS作為強大的有限元分析商業(yè)軟件，是世界范圍內增長最快的計算機輔助工程（CAE）軟件，能與多數計算機輔助設計（CAD）軟件接口，如Creo、NASTRAN、Alogor、I-DEAS、AutoCAD等，實現數據的共享和交換。同時，ANSYS軟件也是融結構、流體、電場、磁場、聲場分析于一體的大型通用有限元分析軟件，在核工業(yè)、鐵道、石油化工、航空航天、機械制造、能源、汽車交通、國防軍工、電子、土木工程、造船、生物醫(yī)學、輕工、地礦、水利、日用家電等領域有著廣泛的應用。

4 數值驗證

分別采用ANSYS中常用的3種單元來研究圓拱在徑向載荷下的屈曲問題，即BEAM3、BEAM188、SHELL181。BEAM3單元共有3個自由度，面內的2個平動自由度以及垂直于該面的轉動自由度，而BEAM188和SHELL181單元共有6個自由度，即3個平動自由度和3個轉動自由度。

為了驗證ANSYS的3種單元對圓拱屈曲載荷模擬的準確度，選用工程中常用的矩形截面b×h=001×0.01，材料為Q235鋼，彈性模量為2×1011 Pa，圓拱半徑R=1 m。表3、4分別列出了不同中心角α下3種單元模擬的屈曲載荷與理論解的對比，其中表3對應的是反對稱模態(tài)，表4對應的是對稱模態(tài)。圖2～4分別對應30°、60°、90°圓拱屈曲模態(tài)，圖5、6為不同有限元單元計算結果與理論解的對比。

5 結 語

在求解Boussinesq以及Lamb方程的基礎上得到圓拱徑向臨界載荷，同時將變分法運用到圓拱徑向臨界載荷的研究上來。通過對比發(fā)現3種方法的結果一致，在研究過程中發(fā)現通過Lamb方程可以很容易分別得到圓拱屈曲對應的反對稱和對稱臨界載荷，而Boussinesq方程以及變分法相對要繁瑣一些。

從表3、4可以看出BEAM3單元模擬圓拱在徑向載荷作用下的屈曲載荷精度相對較差，誤差隨著角度的增加也有所增加；而BEAM188以及SHEL-L181單元精度較高，最大誤差不超過3%，能較好地滿足任意角度下圓拱臨界載荷的確定。從圖5、6可以看出，有限元分析中不同單元計算結果雖然和理論解有所差異，但是臨界載荷隨中心角α的變化趨勢卻是一致的。

當然關于兩鉸圓拱在徑向載荷下的屈曲問題還有許多考慮的因素，比如由于制造誤差導致的截面不均勻、安裝過程中出現的預應力、施工過程導致的各截面曲率半徑不相等、初始缺陷、材料非線性、后屈曲等，這些都是下一步需要研究的重點內容。

參考文獻：

[1] 王勖成.有限單元法[M].北京：清華大學出版社，2003.

[2] 張應遷，張洪才.ANSYS有限元分析從入門到精通[M].北京：人民郵電出版社，2010.

[責任編輯：譚忠華]