韓月喬， 高存臣

(中國海洋大學數(shù)學科學學院， 山東 青島 266100)

?

具有大時滯的非線性定常大系統(tǒng)的無條件穩(wěn)定性

韓月喬， 高存臣

(中國海洋大學數(shù)學科學學院， 山東 青島 266100)

摘要：應用Lyapunov函數(shù)分解法(即標量和的Lyapunov函數(shù)法)，結合微分方程與微分差分方程的等價性的方法(即分解等價法)，研究了具有大時滯的非線性定常大系統(tǒng)的無條件穩(wěn)定性，得到了該系統(tǒng)為無條件穩(wěn)定的充分性判據(jù)。本文對時滯項的研究不同于以往的小時滯，找到了使含大時滯項的系統(tǒng)為無條件穩(wěn)定的途徑，從而為這類問題的研究給出了一種新方法。

關鍵詞：定常大系統(tǒng)； 大時滯； 非線性； 無條件穩(wěn)定性

HAN Yue-Qiao， GAO Cun-Chen. Unconditional stability of monlinear constant large scale systems with large time delay[J].Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(3): 134-140.

在任何實際控制系統(tǒng)中，由于信號的傳遞、變量的測量以及系統(tǒng)設備所具有的一些物理特性等各種因素，時滯的影響往往是不可避免的，如多級火箭發(fā)射控制信號具有時滯、電感器的感應具有時滯等。近年來，時滯系統(tǒng)的研究成為控制理論中的一個熱點問題，引起了學者們的廣泛關注[1-3]，特別是對于具有小時滯的非線性系統(tǒng)，已有了比較深入的研究[4-13]。其中，文獻[4]研究了時滯離散廣義大系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性；文獻[5]研究了具有時滯的非線性無窮大系統(tǒng)的穩(wěn)定性；文獻[7]研究了二階非線性時滯微分方程的穩(wěn)定性；文獻[9]研究了變時滯線性系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性；文獻[11]整合了分數(shù)時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性測試。他們狀態(tài)當中的時滯多為小時滯，然而，對具有大時滯的非線性大系統(tǒng)的研究并不多見。一般而言，由于對大時滯項中的狀態(tài)xi(t-τ)的處理比較棘手，從而給問題的討論帶來一定障礙，使得大時滯系統(tǒng)的研究處于初始階段。本文通過將小時滯[5-7]推廣到大時滯，應用標量和的Lyapunov函數(shù)法，結合分解等價法，研究了具有大時滯的非線性定常大系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)時滯無關的無條件穩(wěn)定的充分性判據(jù)。

1預備知識

考慮具有大時滯的非線性定常大系統(tǒng)

(1)

其中，φi(t)∈C1([-τ,0],R)，cij,bij為實常數(shù),i,j=1,2,…,n；τ≡Const.≥0，令

為研究方便，本文作出如下假設：

(2)

其中η是與xi，yi無關的正常數(shù)。

系統(tǒng)(1)中不含時滯的線性部分為

(3)

將(3)按主對角線分成l組相互無關的微分方程組

(4)

(5)

(r=1,2,…,l;n1+n2+…+nl=n)，

記

(6)

E為(3)的系數(shù)矩陣中除掉(4)的系數(shù)矩陣J后，矩陣元素的絕對值的最大值，即

E=

(7)

系統(tǒng)(4)中第r(r=1,2,…,l)組的微分方程組為

(8)

微分方程組(8)的特征方程為

(9)

I∈Rnr×nr為單位矩陣。

對r=1,2,…,l，代數(shù)方程(9)的Routh-Hurwitz主子行列式為

(10)

設系統(tǒng)(4)的特征方程(9)的特征根均具負實部，由Routh-Hurwitz定理知

2主要結果

定理1若系統(tǒng)(4)的零解是漸近穩(wěn)定的，并設系統(tǒng)(1)的非線性項滿足假設條件(A1)，則存在常數(shù)▽1>0,▽2>0，使當

(11)

時，對任何τ≥0，系統(tǒng)(1)的零解也是漸近穩(wěn)定的[11-12]。其中

(12)

(13)

(14)

證明作l個Lyapunov函數(shù)的和式[3]

V=Vn1+…+Vnr+…+Vnl。

(15)

對(15)沿著系統(tǒng)(1)的積分曲線對t求導數(shù)，有

xn(t),x1(t-τ),…,xn(t-τ))]+2×

(16)

其中

(17)

x1(t-τ),…,xn(t-τ))|+2×

xn(t-τ)),…,fn(x1(t),…,xn(t),x1(t-τ),…,xn(t-τ)]|。

(18)

應用文獻[3]第3章引理4,得到估計式

(19)

σ=n1+…+nr-1+1,…,n1+…+nr-1;j=n1+…+nr-1+1,…,n1+…+nr(r=1,2,…,l)將(19)式代入(17)式，由文獻[3]第3章引理4，得

(20)

將(12)~(14)式代入(20)式中，得到

(21)

因為n=n1+…+nr+…+nl，所以少于l個n1,n2,…,nl的任意線性組合皆小于n。即

(22)

同理，對任意的r(r=2,3,…，l-1),有

(23)

(r=2,3,…，l-1)

(24)

將(22)~(24)式代入(21)式中，得到

(25)

由文獻[3]第3章引理5，得到

(26)

將(26)式代入(25)式，得到

V*≤

(27)

應用文獻[3]第3章引理4以及假設A1)，得到

(28)

σ=n1+…+nr-1+1,…,n1+…+nr-1;j=n1+…+nr-1+1,…,n1+…+nr(r=1,2,…,l)將不等式(28)代入(18)式中，得到

V**≤

(29)

運用假設A1)，將(12)-(14)式代入(29)式中，得

V**≤

(30)

運用文獻[3]第3章引理6于(30)式，得到

(31)

綜上，得到

(32)

推論1對于具有大時滯的線性定常大系統(tǒng)

(33)

3數(shù)值例子

考慮2維具有大時滯的非線性定常系統(tǒng)

(34)

(35)

此時，子系統(tǒng)(35)的零解是漸近穩(wěn)定的，由于

(36)

所以，由定理1知，系統(tǒng)(34)的零解是無條件穩(wěn)定的。

系統(tǒng)(34)的狀態(tài)曲線圖形如圖1所示。從圖1可以看出，狀態(tài)曲線x1(t)，x2(t)隨著時間t的增加將會趨于0，即系統(tǒng)(34)是無條件穩(wěn)定的。而且系統(tǒng)的狀態(tài)曲線在0.5S內(nèi)就接近0了，所以，該系統(tǒng)在本文定理的條件下，具有快速穩(wěn)定的性能。

圖1　系統(tǒng)(34)的狀態(tài)曲線示意圖

4結語

在本文，應用標量和的Lyapunov函數(shù)法，結合微分方程與微分差分方程的分解等價性方法，研究了具有大時滯的非線性定常大系統(tǒng)的無條件穩(wěn)定性，得到了一個系統(tǒng)為無條件穩(wěn)定的充分性判據(jù)。給出了具體的數(shù)值例子說明了研究結果的可行性和有效性。

順便指出：利用本文的方法可以給出具有大時滯的非線性時變大系統(tǒng)為無條件穩(wěn)定的判據(jù)，限于篇幅，將另文給出。

參考文獻：

[1]文海霞. 一類時滯非線性動力系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定性[J]. 科學技術與工程, 2009, 9(2): 430-432.

WenHX.Globalexponentialstabilityofaclassofnonlineardynaicalsystemswithtimedelays[J].ScienceTechnologyandEngineering, 2009, 9(2): 430-432.

[2]高存臣, 袁付順, 肖會敏. 時滯變結構控制系統(tǒng)[M]. 北京：科學出版社, 2004: 1-219.

GaoCC,YuanFS,XiaoHM.Variablestructurecontrolsystemswithtimedelays[M].Beijing:SciencePress, 2004: 1-219.

[3]劉永清, 宋中昆. 大型動力系統(tǒng)的理論與應用(卷I) [M]. 廣州：華南工學院出版社, 1988: 111-130.

LiuYQ,SongZK.TheoryanApplicationofLarge-ScalePowerSystems[M].Guangzhou：SouthernChinaInstituteofTechnology, 1988: 111-130.

[4]鄭萌, 張慶靈, 朱寶彥. 時滯離散廣義大系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術, 2007, 29(7): 1126-1130.

ZhengM,ZhangQL,ZhuBY.Stabilityanalysisofdiscretesingularlargescalesystemswithtimedelays[J].SystemsEngineeringandElectronics, 2007, 29(7): 1126-1130.

[5]章毅, 張毅. 非線性無窮時滯大系統(tǒng)的穩(wěn)定性[J]. 數(shù)學季刊, 1990, 5(3): 100-101.

ZhangY,ZhangY.Stabilityoflargescalesystemswithnonlinearinfinitedelays[J].ChineseQuarterlyJournalofMathematics, 1990, 5(3): 100-101.

[6]胡何麗. 非線性不確定時變時滯中立系統(tǒng)的非脆弱控制[J]. 沈陽大學學報(自然科學版), 2013 (1): 39-44.

HuHL.Non-fragilecontrolfornonlinearuncertainneutralsystemswithtime-varyingdelays[J].JournalofShenyangUniversity(NaturalScienceEdition), 2013 (1): 39-44.

[7]楊芳, 劉萬霞. 非線性二階時滯微分方程的有界性[J]. 內(nèi)蒙古財經(jīng)學院學報(綜合版), 2005(1): 1-2.

YangF,LiuWX.Boundednessofnonlineardifferentialequationswithtwoorderdelays[J].JournalofInnerMongoliaFinanceandEconomicsCollege, 2005(1): 1-2.

[8]WangM,ZhangSY,ChenB,etal.Directadaptiveneuralcontrolforstabilizationofnonlineartime-delaysystems[J].ScienceChinaInformationSciences, 2010, 53(4): 800-812.

[9]PhatVN,KhongthamY,RatchagitK.LMIapproachtoexponentialstabilityoflinearsystemswithintervaltime-varyingdelays[J].LinearAlgebraandItsApplications, 2012, 436(1): 243-251.

[10]JayawardhanaB,OuyangR,AndrieuV.StabilityofsystemswiththeDuhemhysteresisoperator:Thedissipativityapproach[J].Automatica, 2012, 48(10): 2657-2662.

[11]WangZH,DuML,ShiM.Stabilitytestoffractional-delaysystemsviaintegration[J].ScienceChinaPhysics,MechanicsandAstronomy, 2011, 54(10): 1839-1846.

[12]YangRM,WangYZ.Stabilityforaclassofnonlineartime-delaysystemsviaHamiltonianfunctionalmethod[J].ScienceChinaInformationSciences, 2012, 55(5): 1218-1228.

[13]JohnsonMA,ZumbrunK.Nonlinearstabilityofperiodictravelingwavesolutionsofsystemsofviscousconservationlawsinthegenericcase[J].JournalofDifferentialEquations, 2010, 249(5): 1213-1240.

責任編輯陳呈超

Unconditional Stability of Nonlinear Constant Large Scale Systems with Large Time Delay

HAN Yue-Qiao， GAO Cun-Chen

(School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

Abstract:In this paper, nonlinear constant large scale systems with large time delay are under consideration. Generally speaking, issues of large time delay systems have been rarely investigated yet because it is difficult to deal with the state term, which brings some difficulties to the dissussion of the problem. Motivated by the above discussion, the purpose in this work lies in overcoming the difficulties. By using the Lyapunov function decomposition method (that is the method of Lyapunov function of the scalar sum) and the equivalence method of differential equations and differential difference equations (that is decomposition equivalent method), a sufficient condition of unconditional stability is obtained. In addition, different from the previous research which takes attentions on the small time delay, this paper aims to investigate systems with large delay and find a way to keep the systems unconditionally stable, which proposes a new method for study on such problems. At last, a numerical example is presented to illustrate the effectiveness of the proposed approach. It is worth pointing out that the unconditional stability criterion of this paper would be extended to other systems such as nonlinear time varying systems with large time delay in the furture.

Key words:constant large scale systems；large time delay；nonlinearity；unconditional stability

DOI：10.16441/j.cnki.hdxb.20130343

中圖法分類號：O211.6

文獻標志碼：A

文章編號：1672-5174(2016)03-134-07

作者簡介：韓月喬(1991-)，女，博士生。E-mail:415778808@qq.com

收稿日期：2013-09-04；

修訂日期：2015-12-10

*基金項目：國家自然科學基金項目(60974032)資助

引用格式：韓月喬， 高存臣. 具有大時滯的非線性定常大系統(tǒng)的無條件穩(wěn)定性[J]. 中國海洋大學學報(自然科學版), 2016, 46(3): 134-140.

Supported by National Natural Science Foundation of China(60974032)