徐曉蘇，周 峰，張 濤，徐 祥

（1. 微慣性儀表與先進(jìn)導(dǎo)航技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096；2. 東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096）

基于四元數(shù)自適應(yīng)卡爾曼濾波的快速對(duì)準(zhǔn)算法

徐曉蘇1,2，周 峰1,2，張 濤1,2，徐 祥1,2

（1. 微慣性儀表與先進(jìn)導(dǎo)航技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096；2. 東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096）

針對(duì)捷聯(lián)慣導(dǎo)初始對(duì)準(zhǔn)問題，提出了一種具有干擾抑制能力的四元數(shù)自適應(yīng)卡爾曼濾波初始對(duì)準(zhǔn)算法。通過將初始對(duì)準(zhǔn)問題轉(zhuǎn)化為Wahba姿態(tài)確定問題，直接建立四元數(shù)的濾波模型，并采用自適應(yīng)卡爾曼濾波對(duì)初始時(shí)刻姿態(tài)四元數(shù)進(jìn)行估計(jì)，利用姿態(tài)四元數(shù)更新求出當(dāng)前姿態(tài)來實(shí)時(shí)地反映載體的姿態(tài)變化。針對(duì)直接構(gòu)建量測模型導(dǎo)致收斂速度慢的問題，提出一種基于最優(yōu)四元數(shù)估計(jì)法構(gòu)造K矩陣原理的改進(jìn)算法。利用三軸轉(zhuǎn)臺(tái)模擬不同的搖擺環(huán)境進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)表明了改進(jìn)算法具有較快的收斂速度和良好的穩(wěn)定性及精度，中等精度的慣導(dǎo)系統(tǒng)在150 s至200 s的對(duì)準(zhǔn)時(shí)間內(nèi)，航向角均值誤差小于2′。

初始對(duì)準(zhǔn)；四元數(shù)；自適應(yīng)卡爾曼濾波；姿態(tài)確定

捷聯(lián)慣性導(dǎo)航初始對(duì)準(zhǔn)作為 SINS研究領(lǐng)域的關(guān)鍵技術(shù)之一，一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)。SINS初始對(duì)準(zhǔn)一般分為粗對(duì)準(zhǔn)階段和精對(duì)準(zhǔn)兩個(gè)階段：粗對(duì)準(zhǔn)階段大多數(shù)采用解析法完成，如凝固解析法；精對(duì)準(zhǔn)階段一般采用狀態(tài)估計(jì)法，如卡爾曼濾波。SINS初始對(duì)準(zhǔn)的本質(zhì)是通過矢量觀測來確定姿態(tài)，其求解的算法可分為確定性算法和狀態(tài)估計(jì)法[1]。在確定性方法中，常用的有基于雙矢量定姿原理的TRAID法[2-3]和基于求解特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量的最優(yōu)四元數(shù)估計(jì)法[4-5]。傳統(tǒng)TRAID法僅僅利用兩個(gè)不同時(shí)刻的矢量觀測信息，其余時(shí)刻的觀測矢量信息并未充分利用，所選時(shí)刻觀測矢量的精度對(duì)對(duì)準(zhǔn)結(jié)果的影響較大。文獻(xiàn)[6]中基于慣性空間中重力積分矢量的解析粗對(duì)準(zhǔn)算法，研究了基于多矢量定姿的粗對(duì)準(zhǔn)方法，雖然對(duì)觀測矢量的利用率大大提升，但是對(duì)準(zhǔn)精度同樣與所選時(shí)刻觀測矢量的精度有較大相關(guān)，并且不能實(shí)時(shí)地反應(yīng)載體姿態(tài)的變化。文獻(xiàn)[7-10]通過觀測矢量和參考矢量構(gòu)造出K矩陣，并采用相應(yīng)的估計(jì)方法求出K矩陣特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，其本質(zhì)都為最優(yōu)四元數(shù)估計(jì)法（q-method）。與雙矢量定姿法相比，q-method具有較快的收斂速度和良好的精度。文獻(xiàn)[1]中提出直接以對(duì)準(zhǔn)初始時(shí)刻的四元數(shù)作為估計(jì)狀態(tài)的四元數(shù)卡爾曼濾波初始對(duì)準(zhǔn)算法，獲得了較快的收斂速度和滿意的精度，但在該文中所使用的卡爾曼濾波器算法中，需要提前獲悉加速度計(jì)隨機(jī)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，才能保證濾波的穩(wěn)定性。

本文同樣直接以初始對(duì)準(zhǔn)時(shí)刻的四元數(shù)作為估計(jì)狀態(tài)，建立卡爾曼濾波模型，并采用實(shí)用的自適應(yīng)卡爾曼濾波算法進(jìn)行估計(jì)，該算法具有計(jì)算量小，濾波初始參數(shù)設(shè)置簡單，易于工程實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)。針對(duì)本文提出的四元數(shù)自適應(yīng)濾波算法存在收斂速度慢的問題，提出了一種改進(jìn)的四元數(shù)自適應(yīng)濾波算法。該算法基于最優(yōu)四元數(shù)估計(jì)法構(gòu)造K矩陣的原理，通過對(duì)觀測模型中的觀測矩陣進(jìn)行改造，有效地加快了算法的收斂速度。三軸轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)表明了本文提出的對(duì)準(zhǔn)方法具有較快的收斂速度和良好的穩(wěn)定性及精度。

1 坐標(biāo)系定義

本文涉及的相關(guān)坐標(biāo)系定義如下：

b—載體坐標(biāo)系，原點(diǎn)位于載體的質(zhì)心且與載體固連，x沿載體橫軸向右，y沿載體縱軸向前，z沿載體立軸向上，xyz構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。

i—基座慣性坐標(biāo)系，初始對(duì)準(zhǔn)起始時(shí)刻，b系相對(duì)于慣性空間凝固后所得的慣性坐標(biāo)系，它在慣性空間內(nèi)的指向保持不變。

e—地心地球坐標(biāo)系，原點(diǎn)位于地心且與地球固連，x軸在赤道平面內(nèi)與本初子午線相交，y軸與z、x構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系，z軸沿地球極軸的方向。

n—導(dǎo)航坐標(biāo)系，x軸沿當(dāng)?shù)鼐暰€切線指向東，y軸沿著當(dāng)?shù)亟?jīng)線方向指向北，z軸沿地理垂線向上，也被稱為“東北天”坐標(biāo)系。

2 四元數(shù)初始對(duì)準(zhǔn)方法

2.1 最優(yōu)四元數(shù)估計(jì)法

對(duì)準(zhǔn)初始時(shí)刻t0，由于i系與載體系b系重合，所以根據(jù)四元數(shù)運(yùn)算關(guān)系有：

在載體無線速度的情況下，由比力方程可得：

式(3)用四元數(shù)表示為：

將式(1)代入并整理可得：

令：

則式(5)可表示為：

令：

式中：(α×)、(β×)分別為以α、β向量構(gòu)成的反對(duì)稱矩陣。

式(7)可化為：

此時(shí)，根據(jù)最優(yōu)姿態(tài)確定的方法，可將對(duì)準(zhǔn)問題轉(zhuǎn)化為Wahba姿態(tài)確定問題：

只要求出 K矩陣的最小特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量并歸一化，即可求得再通過式(1)可求出

2.2 四元數(shù)自適應(yīng)卡爾曼濾波法

式中，Qk和Qk-1分別表示在 tk和 tk-1時(shí)刻對(duì)應(yīng)的

由式(9)可建立如下量測模型：

通過以上濾波模型的建立，利用實(shí)用的自適應(yīng)卡爾曼濾波算法進(jìn)行估計(jì)，具體估計(jì)過程如下：

2.3 搖擺基座仿真實(shí)驗(yàn)

搖擺基座仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)采用的運(yùn)動(dòng)模型為：

式中：縱搖搖擺幅值A(chǔ)θ=8°，搖擺頻率fθ=0.15 Hz；橫搖搖擺幅值A(chǔ)γ=6°，搖擺頻率fγ=0.2 Hz；航向搖擺幅值A(chǔ)ψ=5°，搖擺頻率fψ=0.125 Hz；搖擺起始相位都為0°。仿真采用的捷聯(lián)慣性儀表指標(biāo)為：陀螺常值漂移0.01 (°)/h，陀螺隨機(jī)漂移0.01 (°)/h；加速度計(jì)常值偏置 50 μg，加速度計(jì)隨機(jī)偏置 50 μg；經(jīng)度為118.786365°；緯度為 32.057313°；儀表采樣頻率為200 Hz；捷聯(lián)解算周期為5 ms，仿真時(shí)間為200 s。

在水平姿態(tài)搖擺中心為 0°，航向角搖擺中心為45°時(shí)，兩種對(duì)準(zhǔn)方法的姿態(tài)誤差結(jié)果如圖1所示。

圖1 最優(yōu)四元數(shù)法和四元數(shù)濾波法對(duì)準(zhǔn)姿態(tài)誤差Fig.1 Alignment errors of q-method and QAKF

從圖1中可以看出，相比于最優(yōu)四元數(shù)法，四元數(shù)濾波法誤差收斂速度很慢。為此，將針對(duì)四元數(shù)濾波法存在收斂速度慢的問題進(jìn)行分析并對(duì)算法作改進(jìn)。

3 問題分析及算法改進(jìn)

3.1 四元數(shù)濾波法對(duì)準(zhǔn)誤差分析

根據(jù)式(6)得出，β(t)是通過當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭從n系到i系轉(zhuǎn)換得到的矢量，由于當(dāng)?shù)氐乩砦恢檬且阎?，因此，可以認(rèn)為觀測矢量β(t)是無誤差的，即M(β(t))是無誤差的?？疾歃?t)，該觀測矢量是加速度計(jì)輸出構(gòu)成的，而加速度計(jì)輸出中包含加速度計(jì)零偏和隨機(jī)偏置，因此，觀測矢量α(t)中是包含誤差的形式，即M(α(t))中是存在誤差的，再由式(12)可知，四元數(shù)濾波法觀測模型中的觀測陣Hk是存在誤差的。

式(16)兩邊同乘Qk并結(jié)合式(12)得：

將式(17)右邊部分移至左邊得：

從式(18)可以看出，實(shí)際的觀測模型中包含了加速度計(jì)零偏和加速度計(jì)隨機(jī)偏置相關(guān)項(xiàng)。由于在式(12)中直接忽略了加速度計(jì)零偏和隨機(jī)偏置相關(guān)項(xiàng)的影響，所以從理論上分析得出，導(dǎo)致四元數(shù)濾波法收斂慢主要是由于加速度計(jì)零偏和隨機(jī)偏置所致。

為了驗(yàn)證以上分析的正確性，本文設(shè)計(jì)加速度計(jì)隨機(jī)偏置如表1所示的三種情況。

表1 三種加速度計(jì)隨機(jī)偏置Tab.1 Three kinds of random bias of accelerometer

仿真實(shí)驗(yàn)其他條件不變，對(duì)準(zhǔn)姿態(tài)誤差如圖2所示。

從圖2中可以看出，在加速度計(jì)隨機(jī)偏置為0 μg、50 μg和100 μg時(shí)，隨著隨機(jī)偏置的增大，航向角對(duì)準(zhǔn)誤差收斂速度由快到慢，且相差明顯，因此，可以得出以下結(jié)論：四元數(shù)濾波法航向角的收斂速度對(duì)加速度計(jì)的隨機(jī)偏置比較敏感，隨機(jī)偏置越大，其收斂速度越慢。在實(shí)際工程當(dāng)中，加速度計(jì)的隨機(jī)偏置一般都較大，因此，若不對(duì)該算法進(jìn)行改進(jìn)，將不利于四元數(shù)濾波法的實(shí)際應(yīng)用，甚至是失效。加速度計(jì)零偏對(duì)該算法的影響與隨機(jī)偏置相似，由于篇幅所限，本文不再作分析。

圖2 四元數(shù)濾波法三種隨機(jī)偏置下的對(duì)準(zhǔn)誤差Fig.2 Alignment errors of QAKF with three kinds of random biases

3.2 改進(jìn)四元數(shù)濾波法

本節(jié)通過最優(yōu)四元數(shù)法構(gòu)造K矩陣的原理，對(duì)四元數(shù)濾波法進(jìn)行改進(jìn)，以加快其收斂速度。構(gòu)造如下K矩陣：

式(20)兩邊同乘Qk并結(jié)合式(12)得：

將式(21)右邊部分移至左邊得：

與式(18)相比較發(fā)現(xiàn)：加速度計(jì)零偏和隨機(jī)偏置項(xiàng)以積分形式出現(xiàn)，且與矩陣相乘。由式不難得出各項(xiàng)元素都為小于 1的實(shí)數(shù)，因此，式(22)中加速度計(jì)零偏和隨機(jī)偏置相關(guān)項(xiàng)的影響大為減小。

仿真實(shí)驗(yàn)條件同上，最優(yōu)四元數(shù)法、四元數(shù)濾波法和改進(jìn)四元數(shù)濾波法三者在20 s到200 s內(nèi)的對(duì)準(zhǔn)誤差結(jié)果，如圖3所示。

從圖3中可以看出，改進(jìn)的四元數(shù)濾波法的航向角誤差收斂速度和精度都要明顯優(yōu)于四元數(shù)濾波法，且與最優(yōu)四元數(shù)法相當(dāng)。因此，本文提出的改進(jìn)四元數(shù)濾波法有效。從圖中亦可看出，改進(jìn)四元數(shù)濾波法的穩(wěn)定性要優(yōu)于最優(yōu)四元數(shù)法。為了更好地對(duì)比改進(jìn)四元數(shù)濾波法和最優(yōu)四元數(shù)法，將加速度計(jì)隨機(jī)偏置設(shè)置為200 μg，其他仿真條件不變，對(duì)準(zhǔn)姿態(tài)誤差如圖4所示。

圖4 最優(yōu)四元數(shù)法和改進(jìn)四元數(shù)濾波法對(duì)準(zhǔn)誤差Fig.4 Alignment errors of q-method and improved-QAKF

通過圖4可知，在加速度計(jì)具有較大的隨機(jī)噪聲下，改進(jìn)四元數(shù)濾波法和最優(yōu)四元數(shù)法的水平姿態(tài)精度相當(dāng)且符合粗對(duì)準(zhǔn)的極限精度，而兩者的航向角對(duì)準(zhǔn)誤差在 150 s到 200 s以內(nèi)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.0030°、0.0032°和 0.0050°、0.0056°。兩者的航向角對(duì)準(zhǔn)精度相當(dāng)，但是，前者的穩(wěn)定性要優(yōu)于后者。從圖中也可直觀地看出，改進(jìn)四元數(shù)濾波法的穩(wěn)定性要優(yōu)于最優(yōu)四元數(shù)法。

4 轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文算法的有效性，利用FOSN光纖捷聯(lián)慣組在三軸轉(zhuǎn)臺(tái)上完成不同實(shí)驗(yàn)條件下的對(duì)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)，其中光纖陀螺的零位穩(wěn)定性為0.006 (°)/h (1σ)，零位重復(fù)性為0.006 (°)/h (1σ)，隨機(jī)游走系數(shù)為(1σ)，石英撓性加速度計(jì)的零位穩(wěn)定性為50 μg (1σ)，零位重復(fù)性為50 μg (1σ)，捷聯(lián)慣組采樣頻率為200 Hz。捷聯(lián)慣組安裝如圖5所示。

圖5 捷聯(lián)慣組在轉(zhuǎn)臺(tái)安裝位置Fig.5 Placement of IMU on turntable

本文設(shè)計(jì)多組實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證算法的有效性，實(shí)驗(yàn)1為靜基座實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)2為小幅度搖擺實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)3為大幅度搖擺實(shí)驗(yàn)。為了更好地模擬艦船實(shí)際情況，縱搖、橫搖和航向搖擺中心分別為2°、-2°和90°，縱搖角、橫搖角和航向角的搖擺頻率分別為0.15 Hz、0.2 Hz和0.125 Hz。實(shí)驗(yàn)條件設(shè)置如表2所示。

表2 實(shí)驗(yàn)條件設(shè)置Tab.2 Settings of experiment condition

鑒于篇幅所限，本文僅對(duì)實(shí)驗(yàn)3進(jìn)行結(jié)果分析。實(shí)驗(yàn)3中，改進(jìn)四元數(shù)濾波法的對(duì)準(zhǔn)姿態(tài)變化如圖6所示，改進(jìn)四元數(shù)濾波法和最優(yōu)四元數(shù)法在80 s 至200 s對(duì)準(zhǔn)時(shí)間內(nèi)的對(duì)準(zhǔn)姿態(tài)誤差如圖7所示。

由圖7可知，兩者的水平姿態(tài)誤差相當(dāng)，但在航向角誤差上，改進(jìn)四元數(shù)濾波法的波動(dòng)較小，穩(wěn)定性明顯優(yōu)于最優(yōu)四元數(shù)法。在80 s時(shí)，改進(jìn)四元數(shù)濾波法的航向角誤差為0.2366°。在對(duì)準(zhǔn)150 s至200 s的時(shí)間內(nèi)，改進(jìn)四元數(shù)濾波法的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.0198°和 0.0396°。改進(jìn)四元數(shù)濾波法三組實(shí)驗(yàn)在對(duì)準(zhǔn)150 s至200 s時(shí)間內(nèi)的均值誤差統(tǒng)計(jì)如表3所示。

圖6 搖擺及對(duì)準(zhǔn)姿態(tài)變化曲線Fig.6 Attitude changing curve of turntable and alignment

圖7 改進(jìn)四元數(shù)濾波法和最優(yōu)四元數(shù)法對(duì)準(zhǔn)誤差Fig.7 Alignment errors of q-method and improved-QAKF

表3 對(duì)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.3 Results of alignment experiment

5 結(jié) 論

本文針對(duì)捷聯(lián)慣導(dǎo)初始對(duì)準(zhǔn)問題，提出一種四元數(shù)自適應(yīng)卡爾曼濾波對(duì)準(zhǔn)算法。該算法直接對(duì)初始時(shí)刻姿態(tài)四元數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并采用了較為簡單且易于工程實(shí)現(xiàn)的自適應(yīng)卡爾曼濾波器。然而，仿真實(shí)驗(yàn)表明了該算法存在收斂速度慢的缺陷。通過對(duì)該問題的理論分析，本文進(jìn)一步提出了一種改進(jìn)的四元數(shù)自適應(yīng)濾波算法。該算法基于最優(yōu)四元數(shù)估計(jì)法構(gòu)造K矩陣的原理，通過對(duì)觀測模型中的觀測矩陣進(jìn)行改造，有效地降低了加速度計(jì)零偏和隨機(jī)誤差的影響。仿真實(shí)驗(yàn)及三軸轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)表明了該算法的正確性和有效性。

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Initial alignment algorithm for SINS based on quaternion adaptive Kalman filter

XU Xiao-su1,2, ZHOU Feng1,2, ZHANG Tao1,2, XU Xiang1,2
(1. Key Laboratory of Micro-inertial Instrument and Advanced Navigation Technology, Ministry of Education, Southeast University, Nanjing 210096, China; 2. School of Instrument Science & Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China)

An anti-disturbance initial alignment algorithm with quaternion adaptive Kalman filter is presented for strap-down inertial navigation system (SINS). By transforming the problem of initial alignment into Wahba attitude determination, the measurement model with quaternion is built directly, and an adaptive Kalman filter is adopted to estimate the initial attitude quaternion. By using the updating of attitude quaternion, the body’s current attitude is obtained to reflect the attitude’s change in real time. In view that the direct-constructed measurement model has the problem of slow convergence, an improved quaternion adaptive Kalman filter is proposed, which is based on the principle of building K matrix with optimal quaternion method, which has. Experiments under different swing environment with three-axis turntable show that this algorithm has fast convergence speed, high stability and good precision. The mean headingerror of the medium-accuracy SINS is less than 2′ for alignment time from 150 s to 200 s.

initial alignment; quaternion; adaptive Kalman filter; attitude determination

U666.1

：A

2016-05-21；

：2016-08-03

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51175082，61473085，51375088）

徐曉蘇（1961—），男，博士生導(dǎo)師，從事測控技術(shù)與導(dǎo)航定位領(lǐng)域的研究。E-mail: xxs@seu.edu.cn

1005-6734(2016)04-0454-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.04.007