徐　芳,　張衛(wèi)國(guó),　余志先

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上?！?00093)

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一類(lèi)具有時(shí)滯的反應(yīng)擴(kuò)散Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)行波解的存在性

徐芳,張衛(wèi)國(guó),余志先

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海200093)

摘要：研究了一類(lèi)具有時(shí)滯的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)行波解的存在性.應(yīng)用具有時(shí)滯的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)行波解存在性理論,將所研究系統(tǒng)行波解存在性的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找該系統(tǒng)的一對(duì)上、下解.給出了該系統(tǒng)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的漸進(jìn)衰減行為,完善并改進(jìn)了同類(lèi)系統(tǒng)行波解存在性的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：時(shí)滯; Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng); 行波解; 存在性; 上下解

1問(wèn)題的提出

反應(yīng)擴(kuò)散方程在描述時(shí)空模式方面起著很重要的作用,其行波解可以用來(lái)解釋自然界中的有限速度傳播現(xiàn)象、有限震動(dòng)現(xiàn)象等,從而備受關(guān)注[1-16].行波解的概念是1937年Kolmogorov在文獻(xiàn)[1]中提出的,用來(lái)解釋一維無(wú)窮動(dòng)物棲息地上優(yōu)良基因的傳播過(guò)程.而具有空間擴(kuò)散項(xiàng)的兩個(gè)種群的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)是生物數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中比較典型且比較重要的模型之一,其模型為

(1)

許多學(xué)者對(duì)系統(tǒng)(1)的行波解作了廣泛的研究[2-8],文獻(xiàn)[2,5,8]分別利用相平面分析法、指數(shù)同倫法、度理論的技巧得到了系統(tǒng)(1)的行波解的存在性.

物種的繁殖由于受到妊娠、環(huán)境及成熟過(guò)程等各方面因素的影響,物種密度在時(shí)間上的滯后是在所難免的,所以,具有時(shí)滯的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)得到了學(xué)者們的關(guān)注.

(2)

式中,τ1,τ2,τ3,τ4表示反饋時(shí)滯.

但是,先前的一些方法不能夠運(yùn)用到類(lèi)似系統(tǒng)(2)這樣具有時(shí)滯的反應(yīng)擴(kuò)散Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)中去.于是,Lü等[9]利用單調(diào)迭代方法和上下解的技巧研究了系統(tǒng)(2)的行波解;Li等[10]利用Shauder不動(dòng)點(diǎn)定理和新的交叉迭代的方法得出了系統(tǒng)(2)的行波解的存在性.

在自然界中,兩個(gè)物種的種群數(shù)量受到各自的固有增長(zhǎng)率的影響,與此同時(shí),在時(shí)間t,t-τi(i=1,2,3,4)自身的以及競(jìng)爭(zhēng)物種的種群密度增加時(shí),兩個(gè)物種的種群密度增長(zhǎng)率都會(huì)下降,這表明兩個(gè)競(jìng)爭(zhēng)物種的種群密度均分別受到自身在時(shí)間t,t-τi(i=1,3)以及競(jìng)爭(zhēng)物種在時(shí)間t,t-τi(i=2,4)時(shí)種群密度的影響.受到學(xué)者們對(duì)式(1)和式(2)的研究的引導(dǎo),以及文獻(xiàn)[10-11]的結(jié)論的啟發(fā),本文研究以下的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)：

(3)

式中:a1,b1,a2,b2表示物種內(nèi)部的擁擠系數(shù);c1,d1,c2,d2表示兩個(gè)物種之間的競(jìng)爭(zhēng)系數(shù).

綜合考慮現(xiàn)實(shí)物種的生長(zhǎng)受到多方面內(nèi)部及外部因素的影響,系統(tǒng)(3)這個(gè)模型具有更強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)生物意義.

2預(yù)備知識(shí)

具有時(shí)滯的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的一般形式為

(4)

式中:D1,D2>0;fi:2→,i=1,2,且fi是連續(xù)函數(shù).

系統(tǒng)(4)的行波解是一對(duì)形如u1(x,t)=φ(x+ct),u2(x,t)=ψ(x+ct)的特解,其中,(φ,ψ)∈C2(,2),c>0,c是波速.將u1(x,t)=φ(x+ct),u2(x,t)=ψ(x+ct)代入系統(tǒng)(4)且仍然用t來(lái)代替x+ct,則系統(tǒng)(4)的行波解滿(mǎn)足下面的泛函微分方程:

(5)

(6)

的解.

現(xiàn)給出一些假設(shè):

A2存在2個(gè)常數(shù)L1,L2>0,使得

A3(文獻(xiàn)[10,12]中的WQM*條件),存在β1,β2>0,使得

定義集合

(7)

(8)

(9)

文獻(xiàn)[13-14]進(jìn)一步將具有時(shí)滯的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)(4)的行波解的存在性推廣到具有時(shí)滯的n個(gè)方程組和時(shí)空時(shí)滯的方程組的行波解的存在性.

3系統(tǒng)(3)的行波解的存在性

將u1(x,t)=φ(x+ct),u2(x,t)=ψ(x+ct)代入系統(tǒng)(3)且仍然用t來(lái)代替x+ct,得

(10)

本文將研究系統(tǒng)(3)連接平衡點(diǎn)E1,E4的行波解的存在性,即研究系統(tǒng)(10)滿(mǎn)足邊值條件

(11)

的解的存在性.

對(duì)φ,ψ∈([-τ,0],),其中,τ=max{τ1,τ2,τ3,τ4},記

(12)

易得f1,f2滿(mǎn)足假設(shè)A1和A2.

3.1系統(tǒng)(10)滿(mǎn)足WQM*條件

證明令Φ(s)=(φ1(s),φ2(s)),Ψ(s)=(ψ1(s),ψ2(s)),Φ(s),Ψ(s)∈C([-τ,0],2),且

b.eβ1s[φ1(s)-φ2(s)]，eβ2s[ψ1(s)-ψ2(s)]不減,s∈[-τ,0].

于是

f1(φ1,ψ1)-f1(φ2,ψ1)=r1φ1(0)[1-

a1φ1(0)-b1φ1(-τ1)-c1ψ1(0)-

d1ψ1(-τ2)]-r1φ2(0)[1-a1φ2(0)-

b1φ2(-τ1)-c1ψ1(0)-d1ψ1(-τ2)]=

r1[φ1(0)-φ2(0)]-r1d1ψ1(-τ2)·

r1b1[φ1(0)φ1(-τ1)-φ2(0)φ2(-τ1)]-

r1c1ψ1(0)[φ1(0)-φ2(0)]≥(r1-

r1d1M2-2r1a1M1-r1c1M2)[φ1(0)-

φ2(0)]-r1b1φ2(0)[φ1(-τ1)-

φ2(-τ1)]-r1b1φ1(-τ1)[φ1(0)-φ2(0)]≥

r1(1-2a1M1-b1M1-c1M2-d1M2)·

[φ1(-τ1)-φ2(-τ1)]≥r1(1-2a1M1-

b1M1-c1M2-d1M2-b1M1·

eβ1τ1)[φ1(0)-φ2(0)]

當(dāng)τ1>0且充分小,則存在β1>0,使得

因此

同理可得,當(dāng)τ3>0且充分小,則存在β2>0,使得

另外

引理1得證.

3.2系統(tǒng)(10)的一對(duì)弱上、下解

又因?yàn)閍1+b1>c2+d2,a2+b2>c1+d1,則存在ε0,ε1,ε3>0,使得

(13)

對(duì)以上的常數(shù)以及適當(dāng)?shù)某?shù)t2,t4>0,定義以下連續(xù)函數(shù):

(14)

(15)

b. 當(dāng)t≥t2+cτ1時(shí),有t-cτ2≥t3,

r1(k1+ε1e-λt)[1-a1(k1+ε1e-λt)-

b1(k1+ε1e-λ(t-cτ1))-c1(k2-ε4e-λt)-

c. 當(dāng)t2

于是

類(lèi)似地,對(duì)任意的t∈,存在>0,使得對(duì)時(shí),有

a. 當(dāng)t≤t1時(shí),有t≤t4,

因此

b1(eλ1(t-cτ1)-qeηλ1(t-cτ1))+c1eλ3t+d1eλ3(t-cτ2)]=

cηλ1+r1)-r1(eλ1t-qeηλ1t)[a1(eλ1t-

qeηλ1t)+b1(eλ1(t-cτ1)-qeηλ1(t-cτ1))+c1eλ3t+

r1eλ1t[a1eλ1t+b1eλ1(t-cτ1)+c1eλ3t+

r1eλ1t[(a1+b1)eλ1t+(c1+d1)eλ3t]=

b. 當(dāng)t≥t1+cτ1時(shí),

且對(duì)任意的t∈,有.于是,

從而

c. 當(dāng)t1

對(duì)任意的t∈,有.則

同理可證,對(duì)任意的t∈,存在>0,使得對(duì)有

引理2得證.

結(jié)合定理1、引理1和引理2，可得定理2.

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(編輯:石瑛)

Existence of Traveling Wave Solutions for Reaction-Diffusion Lotka-Volterra Competitive System with Delays

XU Fang,ZHANG Weiguo,YU Zhixian

(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

Abstract：The existence of traveling wave solutions for two species Lotka-Volterra competitive system with delays was investigated.Based on the theory of the existence of traveling wave solutions for reaction-diffusion systems with delays,the main problem was transfered to look for a pair of upper and lower solutions for the system.And the asymptotic behavior of the system was given as an attenuated motion tending to the infinity.The study makes up and improves the results of the existence of traveling wave solutions of a class of systems.

Keywords：delay; Lotka-Volterra competitive system; traveling wave solution; existence; upper and lower solution

中圖分類(lèi)號(hào)：O 175.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

通信作者：張衛(wèi)國(guó)(1957-),男,教授.研究方向:非線(xiàn)性系統(tǒng)的理論與應(yīng)用.E-mail:zwgzwm@126.com

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11071164,11101282,11271260);上海市教委科研創(chuàng)新項(xiàng)目(13ZZ118,14YZ096);上海市一流學(xué)科(系統(tǒng)科學(xué))建設(shè)項(xiàng)目(XTKX2012);滬江基金資助項(xiàng)目(B14005)

收稿日期：2014-08-27

DOI：10.13255/j.cnki.jusst.2016.01.001

文章編號(hào)：1007-6735(2016)01-0001-07

第一作者： 徐芳(1989-),女,碩士研究生.研究方向:非線(xiàn)性系統(tǒng)的理論與應(yīng)用.E-mail:sipangzixu@163.com