巢洪政

小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題類型分析及教學(xué)啟示

巢洪政

問(wèn)題解決是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容和高層次的學(xué)習(xí)類型。小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題一般可以劃分為界定良好的問(wèn)題和界定不良的問(wèn)題、一般領(lǐng)域的問(wèn)題和專門領(lǐng)域的問(wèn)題、常規(guī)問(wèn)題與非常規(guī)問(wèn)題、封閉問(wèn)題與開放問(wèn)題等類型。在教學(xué)中，我們要重視學(xué)生解決常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題的知識(shí)技能的教學(xué)，重視開放問(wèn)題的教學(xué)，處理好常規(guī)問(wèn)題與非常規(guī)問(wèn)題教學(xué)的關(guān)系，從而不斷優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)。

小學(xué)數(shù)學(xué)；問(wèn)題解決；問(wèn)題類型；教學(xué)啟示

問(wèn)題解決是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容和高層次的學(xué)習(xí)類型，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要作用。新課程背景下的小學(xué)數(shù)學(xué)，已經(jīng)將過(guò)去的“應(yīng)用題”擴(kuò)展為“問(wèn)題解決”。因此，我們應(yīng)該在明確小學(xué)數(shù)學(xué)“問(wèn)題”和“問(wèn)題解決”概念的基礎(chǔ)上，科學(xué)地界定小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的類型。如此，才能為小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)提供有益的啟示，為教師科學(xué)地實(shí)施和優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)提供有效的幫助。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)“應(yīng)用題”與“問(wèn)題”“問(wèn)題解決”概念分析

周玉仁教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論》一書中指出：“應(yīng)用題是根據(jù)日常生活和生產(chǎn)中的實(shí)際問(wèn)題，用語(yǔ)言或文字表示數(shù)量關(guān)系并求解的題目?！薄皯?yīng)用題”的名稱大家都比較熟悉，就不多解釋了。

“問(wèn)題”是我們的日常用語(yǔ)，但在心理學(xué)中，“問(wèn)題”具有特定的內(nèi)涵。為了界定“問(wèn)題”的概念，心理學(xué)家針對(duì)某一情境進(jìn)行了如下區(qū)分：該情境的初始狀態(tài)，想要達(dá)到的目標(biāo)狀態(tài)，阻止從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)化為目標(biāo)狀態(tài)的障礙。并據(jù)此將“問(wèn)題”界定為：在事物的初始狀態(tài)和想要達(dá)到的目標(biāo)狀態(tài)之間存在的障礙。早在1945年，格式塔心理學(xué)家唐克爾就指出：“當(dāng)一個(gè)有機(jī)體有個(gè)目標(biāo)，但又不知道如何達(dá)到目標(biāo)時(shí)，就產(chǎn)生了問(wèn)題?！边@個(gè)定義至今仍然具有使用價(jià)值?！皢?wèn)題”是一種相對(duì)存在。一道異分母分?jǐn)?shù)加法題，對(duì)一位數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)不是問(wèn)題，但對(duì)第一學(xué)段的學(xué)生來(lái)說(shuō)顯然是一個(gè)問(wèn)題，如果這位數(shù)學(xué)教師想依據(jù)低年級(jí)學(xué)生的知識(shí)水平來(lái)進(jìn)行教學(xué)，如何設(shè)計(jì)教學(xué)就是這位教師面臨的問(wèn)題。這就是說(shuō)，問(wèn)題具有目標(biāo)指向性。對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的“問(wèn)題”概念，筆者認(rèn)為可以參照上面的含義進(jìn)行理解。小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題也是一種問(wèn)題，具備問(wèn)題的基本特性。所以，我們可以認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的一切學(xué)習(xí)障礙。

有了對(duì)“問(wèn)題”概念的認(rèn)識(shí)，我們就可以順利地理解心理學(xué)中對(duì)“問(wèn)題解決”的定義。當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)家經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的研究認(rèn)為：?jiǎn)栴}解決是指在某種情境的初始狀態(tài)和期望達(dá)到的目標(biāo)狀態(tài)之間存在障礙的前提下，運(yùn)用一系列認(rèn)知操作，掃除障礙，將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)化為目標(biāo)狀態(tài)的過(guò)程。周玉仁教授認(rèn)為：“問(wèn)題解決是指?jìng)€(gè)體在一種新的情境下，根據(jù)獲得的有關(guān)知識(shí)，對(duì)發(fā)現(xiàn)的新問(wèn)題采用新的策略，尋求問(wèn)題答案的心理活動(dòng)?！薄皢?wèn)題解決指的是學(xué)生初次遇到的新問(wèn)題，這類問(wèn)題并非是平時(shí)遇到的一般練習(xí)題……問(wèn)題一旦解決，學(xué)生通過(guò)問(wèn)題解決的過(guò)程所獲得的新的方法、途徑和策略便可作為認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的一個(gè)組成部分，成為已知的解決其他問(wèn)題的方法、途徑……總之，所有的問(wèn)題解決都應(yīng)該具有以上的特點(diǎn)，否則就成為一種練習(xí)性的作業(yè)?！边@里的問(wèn)題既可以是純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題，也可以是以非數(shù)學(xué)題形式呈現(xiàn)的各種問(wèn)題。這樣的認(rèn)識(shí)，就是新課程中對(duì)“問(wèn)題解決”的認(rèn)識(shí)。在有關(guān)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論和課程論的專著中，其他專家也有類似的論述。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的主要類型

就小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中問(wèn)題的類型，我們通?？梢詮目茖W(xué)心理學(xué)的角度進(jìn)行如下劃分:

1.界定良好的問(wèn)題和界定不良的問(wèn)題。

依據(jù)問(wèn)題所給條件的明確程度，我們可以將數(shù)學(xué)問(wèn)題劃分為界定良好的問(wèn)題和界定不良的問(wèn)題。界定良好的問(wèn)題又叫清晰的問(wèn)題，是指問(wèn)題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和用于轉(zhuǎn)換的方法均已清楚（即已經(jīng)提供了解決問(wèn)題所需要的全部信息）的問(wèn)題。小學(xué)數(shù)學(xué)中的大部分問(wèn)題都是這樣的問(wèn)題。界定不良的問(wèn)題又叫模糊的問(wèn)題，是指對(duì)問(wèn)題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和轉(zhuǎn)換方法中的一項(xiàng)或幾項(xiàng)缺乏明確的界定（即缺少解決問(wèn)題的算子和限制條件）的問(wèn)題。如：以點(diǎn)O為圓心畫圓，這個(gè)圓是怎樣的？由于這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有規(guī)定半徑的大小，雖然圓的位置確定了，但大小是任意的，所以它是一個(gè)界定不良的問(wèn)題。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，界定良好的問(wèn)題大多表現(xiàn)為封閉的問(wèn)題和常規(guī)的問(wèn)題，界定不良的問(wèn)題多表現(xiàn)為開放的問(wèn)題。

2.一般領(lǐng)域的問(wèn)題和專門領(lǐng)域的問(wèn)題。

依據(jù)問(wèn)題中包含知識(shí)內(nèi)容的復(fù)雜程度，我們可以將數(shù)學(xué)問(wèn)題劃分為一般領(lǐng)域的問(wèn)題和專門領(lǐng)域的問(wèn)題。一般領(lǐng)域的問(wèn)題又叫語(yǔ)義貧乏的問(wèn)題，是問(wèn)題解決者不具有與問(wèn)題相關(guān)的專業(yè)知識(shí)的問(wèn)題。專門領(lǐng)域的問(wèn)題又叫語(yǔ)義豐富的問(wèn)題，即知識(shí)含量高的問(wèn)題，是指問(wèn)題解決者具有與問(wèn)題有關(guān)的專業(yè)知識(shí)的問(wèn)題。如：對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)乘法題“205× 38=”就是一般領(lǐng)域的問(wèn)題；對(duì)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，“哥德巴赫猜想”就是專門領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

3.常規(guī)問(wèn)題與非常規(guī)問(wèn)題。

依據(jù)問(wèn)題解決過(guò)程中的創(chuàng)造性程度，我們把數(shù)學(xué)問(wèn)題劃分為常規(guī)問(wèn)題與非常規(guī)問(wèn)題。常規(guī)問(wèn)題是指運(yùn)用已獲得的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，按現(xiàn)成的方案可以解決的問(wèn)題，是學(xué)生使用已有的、一般的和通常的思路和方法可以解決的問(wèn)題。在美國(guó)教育心理學(xué)家加涅的累積學(xué)習(xí)理論中，第七層次的學(xué)習(xí)類型，即應(yīng)用已知的規(guī)則可以解決的問(wèn)題就是常規(guī)問(wèn)題。反之，不能應(yīng)用現(xiàn)成的規(guī)則來(lái)解決的、學(xué)生首次接觸的問(wèn)題就是非常規(guī)問(wèn)題，在加涅的理論中主要是指第八層次的學(xué)習(xí)類型，即高級(jí)規(guī)則的學(xué)習(xí)。非常規(guī)問(wèn)題和常規(guī)問(wèn)題之間是相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化的。例如：對(duì)于“甲乙兩地相距850千米，一輛汽車以每小時(shí)75千米的速度從甲地開往乙地，現(xiàn)在剩下的路程比已經(jīng)行駛的路程多100千米，這輛汽車已經(jīng)行駛了多少小時(shí)？”這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果學(xué)生初次學(xué)習(xí)解答這樣的問(wèn)題，那么這個(gè)問(wèn)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)就是非常規(guī)問(wèn)題；如果學(xué)生解答類似問(wèn)題的次數(shù)多了，而且對(duì)解題思路比較熟悉了，這個(gè)問(wèn)題對(duì)他們來(lái)說(shuō)就是常規(guī)問(wèn)題了。

4.封閉問(wèn)題與開放問(wèn)題。

依據(jù)問(wèn)題答案的數(shù)量，我們可以把數(shù)學(xué)問(wèn)題劃分為封閉問(wèn)題與開放問(wèn)題。只有一個(gè)確定答案的數(shù)學(xué)問(wèn)題，稱為封閉問(wèn)題。答案不唯一，有多個(gè)甚至無(wú)數(shù)個(gè)答案的數(shù)學(xué)問(wèn)題，稱為開放問(wèn)題。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的問(wèn)題大多是封閉問(wèn)題，這里就不舉例了。而像這樣的問(wèn)題：小明用4個(gè)長(zhǎng)7厘米、寬4厘米的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，可以怎樣拼？請(qǐng)你先畫出各種不同的拼法，再計(jì)算出拼成的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。這個(gè)問(wèn)題有三個(gè)不同的答案，所以，它是一道開放問(wèn)題。

當(dāng)然，如果我們根據(jù)某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題是否存在確定的答案來(lái)劃分，還可以把數(shù)學(xué)問(wèn)題劃分為有解題和無(wú)解題。有確定答案的數(shù)學(xué)問(wèn)題稱為有解題；沒(méi)有確定答案的數(shù)學(xué)問(wèn)題稱為無(wú)解題。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的問(wèn)題大都是有解題，而像著名的“船長(zhǎng)年齡問(wèn)題”，即“一條船上有75頭牛，有32只羊，請(qǐng)問(wèn)這條船上的船長(zhǎng)年齡是多少？”就是無(wú)解題。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)較多的是界定良好的數(shù)學(xué)專門領(lǐng)域的問(wèn)題，這些問(wèn)題主要是常規(guī)問(wèn)題和封閉問(wèn)題。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題類型分析的教學(xué)啟示

1.要重視學(xué)生解決常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題的知識(shí)技能的教學(xué)。

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決屬于心理學(xué)中問(wèn)題解決的范疇，其解答條件也需要符合問(wèn)題解決的條件。

加涅的累積學(xué)習(xí)理論充分說(shuō)明了基礎(chǔ)知識(shí)等低級(jí)類型的學(xué)習(xí)對(duì)高級(jí)規(guī)則或問(wèn)題解決（創(chuàng)造）的奠基作用。加涅被公認(rèn)為行為主義和認(rèn)知心理學(xué)派的折中主義者，他從各種理論流派中汲取他所需的成分，區(qū)分了不同條件、不同類型的學(xué)習(xí)。通過(guò)描述八個(gè)學(xué)習(xí)層次來(lái)研究學(xué)生理智技能的累積方式，這八個(gè)學(xué)習(xí)層次分別是信號(hào)學(xué)習(xí)、刺激—反應(yīng)學(xué)習(xí)、動(dòng)作鏈索學(xué)習(xí)、言語(yǔ)聯(lián)想、辨別學(xué)習(xí)、概念學(xué)習(xí)、規(guī)則學(xué)習(xí)、問(wèn)題解決或高級(jí)規(guī)則學(xué)習(xí)。后四類學(xué)習(xí)是學(xué)校教育的主要內(nèi)容。加涅的累積學(xué)習(xí)理論還指出：人類的學(xué)習(xí)是累積性的，較復(fù)雜、較高級(jí)的學(xué)習(xí)是建立在基礎(chǔ)性學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的；每一類學(xué)習(xí)都以前面類型的學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)。從這里，我們可以明顯看出基礎(chǔ)性知識(shí)的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行 “高級(jí)規(guī)則學(xué)習(xí)或問(wèn)題解決（即創(chuàng)造）”的重要性。概念和規(guī)則的學(xué)習(xí)中有大量的知識(shí)，規(guī)則的學(xué)習(xí)中有許多技能的訓(xùn)練，學(xué)生利用習(xí)得的概念和規(guī)則解決了常規(guī)問(wèn)題和非常規(guī)問(wèn)題，就說(shuō)明學(xué)生具有某些能力。

根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)的研究，學(xué)生的問(wèn)題解決能力是由三種基本能力構(gòu)成的：第一種能力是學(xué)生借助其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中儲(chǔ)存的問(wèn)題圖式，把新的問(wèn)題情境納入原有問(wèn)題圖式中，從而迅速理解問(wèn)題的能力。第二種能力是學(xué)生運(yùn)用認(rèn)知策略，對(duì)新問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)改編，使新問(wèn)題情境適合原有問(wèn)題類型圖式的能力。第三種能力是執(zhí)行解題的技能，在這里是指四則運(yùn)算技能。第一種能力指的是知識(shí)，第三種能力指的是技能，可見，問(wèn)題解決離不開知識(shí)和技能。如小學(xué)數(shù)學(xué)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：南京長(zhǎng)江大橋南、北兩個(gè)橋頭堡大約相距1573米。紅紅、軍軍分別從南、北橋頭堡同時(shí)出發(fā)，相向而行，經(jīng)過(guò)13分鐘相遇，軍軍的速度是每分鐘63米，紅紅的速度是多少？要解決這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生需要理解“南京長(zhǎng)江大橋”“橋頭堡”“南”“北”等名稱和方向的知識(shí)，需要具備“相遇問(wèn)題”的圖式，還需要具有計(jì)算的技能，通過(guò)正確計(jì)算才能得出正確的結(jié)論，有時(shí)還需要借助“畫圖”的策略來(lái)分析問(wèn)題。

從上述兩個(gè)理論分析，我們可以明顯看出：要培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力，離不開學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、技能和常規(guī)問(wèn)題的學(xué)習(xí)，因?yàn)檫@些是學(xué)生解決問(wèn)題的基礎(chǔ)。所以，在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、培養(yǎng)運(yùn)算能力和厘清數(shù)量關(guān)系，有助于他們創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，即有利于學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng)。

2.要重視開放問(wèn)題的教學(xué)。

如前所述，我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中絕大多數(shù)是封閉的常規(guī)問(wèn)題，對(duì)開放問(wèn)題重視不夠。我們的教材和教學(xué)今后應(yīng)該作出一些調(diào)整，加強(qiáng)開放問(wèn)題的教學(xué)。由于開放問(wèn)題的解答步驟比較多，已經(jīng)超出了課程標(biāo)準(zhǔn)的要求范圍，因此，可以在每?jī)?cè)教材中設(shè)置5道左右的開放題作為思考題。當(dāng)然，在現(xiàn)行教材中，編入個(gè)別的無(wú)解題，筆者認(rèn)為也是有必要的，這可以培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維。

3.要處理好常規(guī)問(wèn)題與非常規(guī)問(wèn)題教學(xué)的關(guān)系。

在新課改初期，一些輿論批評(píng)我們的數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中存在著套類型定解答模式的問(wèn)題，即過(guò)分重視常規(guī)問(wèn)題的教學(xué)，影響對(duì)學(xué)生創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。其實(shí)，這樣的指責(zé)也并非完全正確。因?yàn)槌Ｒ?guī)問(wèn)題與非常規(guī)問(wèn)題是相互聯(lián)系、不斷轉(zhuǎn)化的，某個(gè)新問(wèn)題對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)是非常規(guī)問(wèn)題，但他們接觸這樣的問(wèn)題的機(jī)會(huì)多了，這類問(wèn)題對(duì)他來(lái)說(shuō)就可能成為常規(guī)問(wèn)題了。而生活中的大多數(shù)問(wèn)題是常規(guī)問(wèn)題，大部分人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)將來(lái)需要解決的也多為常規(guī)問(wèn)題，因此，常規(guī)問(wèn)題也有一定的價(jià)值。有些常規(guī)問(wèn)題對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)也是具有挑戰(zhàn)性的非常規(guī)問(wèn)題。所以，我們要充分認(rèn)識(shí)常規(guī)問(wèn)題教學(xué)的重要性，小學(xué)生主要學(xué)習(xí)的應(yīng)該是常規(guī)問(wèn)題的解決，并兼顧非常規(guī)問(wèn)題的學(xué)習(xí)。當(dāng)然，在以前的教學(xué)中，我們對(duì)非常規(guī)問(wèn)題多有忽視，這是值得我們重視的問(wèn)題。另外，常規(guī)問(wèn)題和非常規(guī)問(wèn)題教學(xué)的過(guò)程也有明顯的區(qū)別。非常規(guī)問(wèn)題的教學(xué)應(yīng)該重視學(xué)生的探究和實(shí)踐活動(dòng)，重視學(xué)生解決問(wèn)題的分析過(guò)程；而常規(guī)問(wèn)題的教學(xué)主要是讓學(xué)生在明確某類問(wèn)題特征和解答規(guī)律的基礎(chǔ)上，通過(guò)分析數(shù)量關(guān)系和應(yīng)用已有的規(guī)律進(jìn)行解答。

綜上所述，明確小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題和問(wèn)題解決的概念，掌握數(shù)學(xué)問(wèn)題的類型，將有助于我們教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決，從而不斷優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的教學(xué)。

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G623.5

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1005-6009（2016）36-0040-03

巢洪政，江蘇省江陰市英橋國(guó)際學(xué)校（江蘇江陰，214433），二級(jí)教師。