胡　兢，駱鈞炎

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院，杭州 310023)

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介觀二能級體系的量子輸運特性研究

胡兢，駱鈞炎

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院，杭州 310023)

摘要:利用電子數(shù)分辨的量子主方程，推導(dǎo)了介觀輸運體系中的電流和散粒噪聲計算方法，研究了二能級體系的量子輸運特性。在非對稱隧穿耦合強度下，電流輸運出現(xiàn)了快慢通道的輸運機(jī)制，導(dǎo)致了動態(tài)庫倫阻塞,以及新穎的負(fù)微分電導(dǎo)現(xiàn)象和超泊松散粒噪聲。這些研究結(jié)果對量子器件的實現(xiàn)、優(yōu)化和控制具有一定的實際意義。

關(guān)鍵詞:量子點；介觀體系；散粒噪聲；輸運特性

介觀體系，就是介于微觀和宏觀之間的物理系統(tǒng)，因此介觀物理是一個研究從經(jīng)典物理向量子物理過渡的一個新的領(lǐng)域。由于介觀尺度范圍一般在納米量級，因此，介觀物理與納米科學(xué)技術(shù)有著密不可分的關(guān)系。近年來，隨著半導(dǎo)體超微細(xì)加工技術(shù)的不斷進(jìn)步，科學(xué)家可以像對原子、分子體系進(jìn)行波函數(shù)相干操作那樣在固體材料中“制備”出特定的量子態(tài)。這就意味著固體物理學(xué)研究已開始由“能帶工程”進(jìn)入到更深層次的涉及量子態(tài)相干調(diào)控的“波函數(shù)工程”階段[1-4]。人們期望能夠充分利用低維量子體系的相干性等微觀物理特性，探索更普通化、更實用化的量子系統(tǒng)操控技術(shù)和方法。低維介觀量子體系的研究不僅為科學(xué)家取得新的重大突破提出了新的機(jī)遇和挑戰(zhàn)，也將有助于在固體領(lǐng)域內(nèi)促進(jìn)量子物理與信息科學(xué)的交叉與融合。

迄今為止，人們已經(jīng)提出了不同的物理載體作為量子器件的基本單元。然而與大多數(shù)非固態(tài)量子器件相比，固態(tài)量子體系的最大優(yōu)勢在于它可以利用現(xiàn)有的納米微加工技術(shù)來實現(xiàn)大規(guī)模集成化。這其中，量子點因為其制備與傳統(tǒng)半導(dǎo)體加工工藝類似而具有優(yōu)良的可控制和可擴(kuò)展性，受到了人們的廣泛關(guān)注[5-8]。對于量子點體系，包括其能級結(jié)構(gòu)、量子隧穿強度、電子局域化及多體關(guān)聯(lián)等在內(nèi)的量子特性，都可以通過調(diào)節(jié)體系的尺寸、個體間的耦合強度及外場而得到精確控制。因此，如何有效地利用和調(diào)控這些量子特性，將量子點體系設(shè)計成具有特定功能的量子器件，就需要深入分析、理解并揭示其中的量子效應(yīng)與物理機(jī)制。其研究無論從基礎(chǔ)理論方面還是在促進(jìn)固體量子物理與信息科學(xué)的交叉方面，都有重要的意義。

對于量子點體系，測量輸運電流仍然是目前最常用和重要的研究方法之一。通過對電流的測量，可以得到很多與器件相關(guān)的輸運特性?？墒牵魏螠y量過程都會受到噪聲的影響。對于傳統(tǒng)電子器件，人們希望盡可能地降低漲落噪聲以達(dá)到較高的信噪比。然而在量子點器件中，由于電荷的分立特性，單位時間內(nèi)通過導(dǎo)體的平均電量(即電流)不可避免地圍繞其平均值附近漲落。正是載流子的量子化特性，使得量子漲落噪聲不可能像傳統(tǒng)器件的噪聲那樣可以被無限制地減弱。實際上，對于量子器件，其量子輸運漲落并非一定有害，這些與時間相關(guān)的精細(xì)起伏，能夠敏感地反映輸運過程中具體的動力學(xué)行為，豐富的量子輸運特性，以及器件內(nèi)部精細(xì)的能量尺度等相當(dāng)多的寶貴信息。因此，對量子漲落噪聲的系統(tǒng)測試與分析，目前已經(jīng)成為研究低維和介觀納米器件中載流子輸運特性的一項重要理論工具和方法[9]。

在本文中，筆者將在電子數(shù)分辨的量子主方程基礎(chǔ)上，推導(dǎo)得到針對介觀輸運體系中的電流和散粒噪聲的計算方法。利用這一理論方法，深入地研究了二能級體系的量子輸運特性。特別是，在非對稱隧穿耦合強度下，電流輸運出現(xiàn)了快通道和慢通道相互競爭的輸運機(jī)制。這一機(jī)制導(dǎo)致了電荷輸運過程中的動態(tài)庫倫阻塞效應(yīng)，以及新穎的負(fù)微分電導(dǎo)現(xiàn)象和超泊松散粒噪聲。這些基本物理問題的研究，可能對二能級量子器件的實現(xiàn)、優(yōu)化和控制具有一定的參考價值和實際意義。

1介觀二能級輸運體系

圖1　電子在介觀體系中的輸運示意圖Fig.1　Schematic setup for electron transport through mesoscopic system

介觀二能級的輸運由量子點和左右輸運電極組成，如圖1所示，其中S代表量子點體系，L和R分別代表左右電極。在左右電極上施加一偏壓V，就會有電流流經(jīng)量子點體系。左右電極的偏壓決定了左右電極中電子的費米(Fermi)能量μL和μR?？紤]由μL和μR窗口范圍內(nèi)量子點僅有兩能級參與輸運，那么整個體系的哈密頓量(Hamiltonian)就可以表示為

H=HS+HB+H′,

(1)

方程(1)中，HS為量子點兩能級體系的哈密頓量。根據(jù)安德遜(Anderson)模型，HS可以表示為

(2)

方程(1)中第二項HB表示左右電極，他們均被視為由自由電子組成，因此其哈密頓量可以表示為

(3)

方程(1)中的最后一項表示二能級體系與左右電極之間的隧穿耦合，其哈密頓量可以表示為

(4)

2量子主方程方法

2.1電子數(shù)分辨的量子主方程

對于如圖1所示的介觀量子輸運體系，二能級體系是筆者所關(guān)心的。因此，從整個系統(tǒng)的密度矩陣ρT出發(fā)，對電極的自由度求跡(trace)即得到二能級體系的動力學(xué)特性，即ρ(t)=trB[ρT(t)]，其中trB[(…)]表示對電極的自由度求跡。將系統(tǒng)與電極之間的耦合H′視為微擾并作二階累積矩展開，即得到了描述二能級量子點體系密度矩陣ρ(t)的量子主方程[10]

(5)

方程(5)中,第一項L(…)=[HS,(…)]為二能級體系的劉維(Liouvillian)超算子，而第二項則為二能級體系與電極之間的耦合引起的耗散

(6)

為了描述電子的輸運特性，有必要將方程(5)拆解(unravel)為隧穿電子數(shù)“N”分辨的量子主方程[11-13]

(7)

(8)

(9)

方程(9)中，〈…〉B=trB[(…)ρB],ρB為電子庫的熱平衡態(tài),trB[…]為對電極中電子態(tài)的自由度求跡。

2.2隧穿電流

從電子數(shù)“N”分辨的量子主方程(7)可以得到很多介觀體系的輸運特性。例如，隧穿電子數(shù)的概率分布函數(shù)就可以表示為P(N,t)=tr[ρ(N)(t)]，tr[…]表示對二能級體系的自由度求跡。根據(jù)隧穿電子數(shù)的概率分布函數(shù)，就可以得到隧穿的平均電流

(10)

(11)

其中T(±)定義為

(12)

根據(jù)方程(10)可以得到輸運電流為

I(t)=tr[T(-)ρ(t)],

(13)

方程(13)中，ρ(t)為量子主方程(5)的解。

2.3散粒噪聲

單電子的隧穿過程本質(zhì)上是隨機(jī)過程，電流在平均值附近漲落，從而形成散粒噪聲。隧穿電流散粒噪聲可以通過Mac Donald公式[14]計算

(14)

(15)

方程(15)中,ρst=ρ(t→∞)為量子主方程(5)的穩(wěn)態(tài)解;N(t)可以通過方程(11)求解。

3二能級體系的輸運特性

對于庫倫阻塞的二能級體系，其占據(jù)態(tài)|χ，χ′〉(χ，χ′={0,σ,↑↓})、相應(yīng)的本征能量和簡并度如表1所示。其中，0代表該能級空占據(jù)，σ表示該能級被一個自旋向上(σ=↑)或自旋向下(σ=↓)的電子占據(jù)，↑↓代表該能級同時被自旋向上和自旋向下的電子占據(jù)。圖2給出了二能級輸運體系的電流-電壓曲線，其中取了對稱隧穿強度，即Γj=Γ?？梢?，隨著電壓的升高，電流出現(xiàn)明顯的臺階現(xiàn)象，電壓越高，臺階也越高。這是因為電壓越高，電子能夠參與輸運的能級通道越多，因此電流越大。所以，電流的每級臺階與表1中的每個本征能量有著密切的聯(lián)系。

圖2　二能級體系的電流電壓特性曲線(插圖是不同Γ2R情形下的電流)Fig.2　Current-voltage characteristics of two-level system(Inset: current for various Γ2R)

占據(jù)態(tài)能量簡并度|0,>01|σ,0>ε1+EC2|0,σ>ε2+EC2|σ,σ'>ε1+ε2+4EC4|↑↓,0>2ε1+U+4EC1|0,↑↓>2ε2+U+4EC1|↑↓,σ>2ε1+ε2+U+9EC2|σ,↑↓>ε1+2ε2+U+9EC2|↑↓,↑↓>2ε1+2ε2+2U+16EC1

為了研究非對稱耦合情況下的電流電壓特性，圖2中的插圖給出了不同Γ2R情形下的輸運電流。隨著電壓的升高，電流能不能上一個臺階依賴于Γ2R的大小。由圖明顯地可以看到，當(dāng)Γ2R較小時(如Γ2R=Γ/4)，隨著電壓的升高，電流反而下了一個臺階。電流隨電壓的升高而降低就意味著其微分電導(dǎo)為負(fù)值(negative differential conductance，NDC)。為了研究產(chǎn)生負(fù)微分電導(dǎo)的原因，現(xiàn)采用量子主方程方法具體分析電流第一和第二個臺階的情況。

3.1第一電流臺階的輸運特性

電流第一個臺階對應(yīng)的偏壓范圍為μL>ε1+EC>μR，即只有單能級ε1+EC處于左右偏壓范圍內(nèi)，對應(yīng)的占據(jù)態(tài)是|0,0和|σ,0(σ=↑,↓)，因此電荷輸運只有一個通道。在這種情況下，量子輸運的主方程可以簡單地表示為ρ(t)=M1ρ(t)，其中

(16)

這里，Γ1L和Γ1R分別為單能級與左右電極的隧穿耦合強度。根據(jù)方程(5)和(13)，得到第一個臺階對應(yīng)的電流值為

(17)

第一個臺階電流對應(yīng)的零頻噪聲可以根據(jù)方程(14)和(15)計算得到：

(18)

(19)

3.2第二電流臺階的輸運特性

(20)

這里，Γ2L和Γ2R分別為能級ε2+EC與左右電極的隧穿耦合強度。根據(jù)方程(5)和(13)，不難得到第二個臺階對應(yīng)的電流值

(21)

為了進(jìn)一步解釋負(fù)微分電導(dǎo)現(xiàn)象，利用方程(14)和(15)計算得到了該區(qū)域的零頻法諾因子

(22)

該結(jié)果與文獻(xiàn)[16]中通過實時費曼圖展開方法得到的結(jié)論一致。這里仍然考慮Γ1L=Γ1R=Γ2L=Γ的情形，隨著Γ2R的減少，發(fā)現(xiàn)第二個電流平臺對應(yīng)的法諾因子會隨之增加。在Γ2R→0極限下，該臺階對應(yīng)的法諾因子F1→3.0>1.0，即出現(xiàn)了一般來講只有玻色子會出現(xiàn)的超泊松噪聲，而產(chǎn)生這一行為的原因在于電流輸運中出現(xiàn)的動力學(xué)庫倫阻塞[16-17]。電子可以通過兩通道ε2+EC和ε1+EC輸運。當(dāng)Γ2R較小時，電流在ε2+EC通道的輸運較慢，而在ε1+EC通道的輸運相對較快。由于二能級體系存在較強的庫倫相互作用能U和充電能EC，因此在同一時刻二能級體系最多只能占據(jù)一個電子。當(dāng)電子占據(jù)慢通道時，電荷輸運被堵塞，當(dāng)電子從慢通道隧穿出去后，快通道就可能打開，隨之而來的是一連串電子通過二能級體系，直到下一時刻二能級體系再次占據(jù)慢通道。這一過程即被稱之為動力學(xué)庫倫阻塞，而形成這一機(jī)制的原因正是快通道和慢通道的相互競爭機(jī)制[18-20]。

為了進(jìn)一步分析電流的噪聲特性，通過方程(14)和(15)計算，并首次得到了雙通道情況下的含頻散粒噪聲譜的解析結(jié)果：

(23)

圖3　介觀二能級體系中量子輸運的含頻散粒噪聲特性　Fig.3　Frequency-dependent shot noise for quantum transport through two-level system

1)考慮Γj=Γ，含頻散粒噪聲譜簡化為

(24)

可見，它由兩個洛倫茲譜組成，展寬分別為5Γ和Γ。但是，由于展寬為5Γ的洛倫茲譜權(quán)重較大，因此含頻散粒噪聲由該部分占主導(dǎo)，此時ω=0處是噪聲譜的最小值。這也表明，在沒有快慢通道的相互競爭區(qū)域，電流噪聲表現(xiàn)為亞泊松特性，顯著特征就是噪聲譜的最小值出現(xiàn)在ω=0區(qū)域，如圖3實線所示。

2)當(dāng)Γ1L=Γ1R=Γ2L=Γ且Γ2R→0極限下，含頻散粒噪聲譜化簡為

(25)

此時，噪聲特性仍由兩個洛倫茲譜組成，展寬分別為5Γ和0.5Γ，但是展寬為0.5Γ的洛倫茲譜權(quán)重較大，現(xiàn)在ω=0處是噪聲譜的最大值。在此參數(shù)條件下，電荷輸運出現(xiàn)快慢通道相互競爭的機(jī)制，而其特征就是噪聲最大值出現(xiàn)在ω=0，可參照圖3中的點線。

3)當(dāng)Γ1L=Γ1R=Γ2L=Γ且Γ2R介于零和Γ之間時(如Γ2R=0.5Γ)，兩個洛倫茲譜組旗鼓相當(dāng)，均不占優(yōu)勢。因此，噪聲譜表現(xiàn)為兩個不同帶寬的洛倫茲譜的疊加，如圖3中虛線所示。

通過以上分析表明，電流的噪聲特性，尤其是頻率相關(guān)的噪聲能夠深入地揭示電荷輸運的動力學(xué)過程。通過對噪聲特性的分析，能夠探究電荷輸運過程中快慢通道競爭的機(jī)制。因此，除了測量電流之外，噪聲譜也是研究不同參數(shù)條件下輸運特性的一種非常重要的方法，從而為固態(tài)量子器件的設(shè)計和制造提供了參考。

4結(jié)語

在電子數(shù)分辨的量子主方程方法的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)得到了計算介觀體系中量子輸運特性的理論方法，并在此基礎(chǔ)上研究了二能級體系的輸運電流和散粒噪聲特性。在二能級與電極隧穿耦合強度非對稱的條件下，發(fā)現(xiàn)了單電子輸運過程中出現(xiàn)了快通道和慢通道相互競爭的機(jī)制，由此導(dǎo)致了動態(tài)庫倫阻塞效應(yīng)，以及新穎的負(fù)微分電導(dǎo)現(xiàn)象和超泊松散粒噪聲。通過含頻噪聲的分析，進(jìn)一步解釋了輸運器件內(nèi)部一些細(xì)微的動力學(xué)行為，因而對二能級量子器件的優(yōu)化和控制具有一定的指導(dǎo)意義。

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Quantum transport characteristics in mesoscopic two-level system

HU Jing, LUO Junyan

(School of Sciences, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou 310023, China)

Abstract:Based on the electron-number-resolved quantum master equation, an approach to the calculation of current and shot noise in mesoscopic system is derived, which allows us to study transport properties in a quantum two-level system. Under the condition of asymmetric tunnel-couplings, a fast-to-slow mechanism is developed in electron transport, which leads to a dynamic Coulomb blockade, negative differential conductance, as well as super-Poisonian shot noise. It may be of great significance in the realization, optimization and control of quantum devices.

Keywords:quantum dot; mesoscopic system; shot noise; transport characteristics

中圖分類號:O469

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1671-8798(2016)01-0024-08

通信作者:駱鈞炎，男，副教授，博士，主要從事固態(tài)量子信息及相關(guān)物理問題的研究。

作者簡介:胡兢(1981—)，女，浙江省湖州人，工程師，碩士，主要從事量子輸運研究。

基金項目:國家自然科學(xué)基金項目(11204272)；浙江省自然科學(xué)基金項目(LY15A040007)

收稿日期:2015-11-18

doi:10.3969/j.issn.1671-8798.2016.01.005

浙江科技學(xué)院學(xué)報,第28卷第1期,2016年2月

Journal of Zhejiang University of Science and Technology

Vol.28 No.1, Feb. 2016