摘 要： 針對周期性噪聲濾波易產(chǎn)生圖像失真與降噪效果不佳等問題，提出一種柔性形態(tài)學(xué)濾波的周期性噪聲消除算法。在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的思想上，構(gòu)建了一種柔性形態(tài)學(xué)濾波器，利用形態(tài)學(xué)開?閉運(yùn)算和閉?開運(yùn)算相結(jié)合，提高濾波器噪聲抑制性能。并利用粒子群優(yōu)化耦合被動聚集技術(shù)，改進(jìn)信息共享機(jī)制，對柔性形態(tài)學(xué)濾波器的五個主要參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，輸出最優(yōu)值，從而消除周期性噪聲。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與當(dāng)前降噪技術(shù)相比，所提算法對周期性和混合性噪聲具有更強(qiáng)的魯棒性，在消除噪聲的同時也較好地保護(hù)了圖像細(xì)節(jié)信息。

關(guān)鍵詞： 周期性噪聲； 柔性形態(tài)濾波器； 粒子群優(yōu)化； 信息共享； 被動聚集

中圖分類號： TN911.7?34； TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2016）21?0070?05

Periodic noise elimination algorithm based on soft morphological filtering optimization

WEI Xing， JIAO Pengpeng， SHI Yong

（Nanjing Normal University Taizhou College， Taizhou 225300， China）

Abstract： In order to solve the image distortion and poor noise reduction effect of the periodic noise filtering， a periodic noise elimination algorithm based on soft morphological filtering is proposed. On the basis of the mathematical morphology thought， a soft morphological filter was constructed. The combination of morphology open?close operation and close?open operation is used to improve the noise suppression performance of the filter. The technology of using particle swarm optimization to couple the passive congregation is used to improve the information sharing mechanism， optimize the five main parameters of soft morphological filter， output the optimal value， and eliminate the periodic noise. The experimental results show that， in comparison with the available noise elimination technology， the proposed algorithm has stronger robustness for periodic and mixed noise， and protects the image detail information while removing the noise.

Keywords： periodic noise； soft morphological filter； particle swarm optimization； information sharing； passive congregation

0 引 言

周期性噪聲是一種常見的噪聲，由于數(shù)據(jù)收集設(shè)備中的電子干擾和影響，周期性噪聲廣泛存在于圖像中，對周期性噪聲的消除和降低是圖像處理過程中的基本問題。傳統(tǒng)的周期性噪聲消除一般利用諧波濾波器或者自適應(yīng)濾波，由于失真等原因，周期性噪聲并非單一頻率，其基波具有一定帶寬，并且包含豐富的諧波分量等其他噪聲干擾，若處理不當(dāng)就可能在濾除噪聲的同時造成圖像失真或降噪效果不理想[1?2]。因此，Eng等提出了一種噪聲自適應(yīng)轉(zhuǎn)換中值算法[3]，將圖像的每個像素點(diǎn)進(jìn)行檢測分類，在噪聲密度較小時能夠有效去噪，但噪聲密度超過一定值時去噪效果不理想。Buades等提出了非局部均值去噪方法[4]，利用圖像中全局信息，計(jì)算鄰域像素的權(quán)值，并將每個像素點(diǎn)的鄰域與所有像素點(diǎn)進(jìn)行對比，避免了傳統(tǒng)鄰域?yàn)V波中產(chǎn)生的偽影，又保留了邊緣細(xì)節(jié)特征，但該方法計(jì)算量非常大，耗時長，對周期性噪聲損壞的圖像恢復(fù)效果不理想。黃戰(zhàn)華等研究了一種在有復(fù)雜圖像中進(jìn)行單一紋理提取的算法[5]。采用極坐標(biāo)方法分析紋理頻譜特征并求出紋理分布的周期和方向，然后在頻域中對紋理頻譜進(jìn)行濾波，再將濾波后的頻譜圖像轉(zhuǎn)換到時域中就得到了只保留相應(yīng)紋理成分的圖像，該方法可以準(zhǔn)確提取出圖像中的單一紋理，但在在紋理分布不均勻的區(qū)域效果欠佳。

針對周期噪聲的特點(diǎn)，本文在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基礎(chǔ)上，提出了一種柔性形態(tài)學(xué)濾波算法。通過形態(tài)學(xué)開?閉運(yùn)算和閉?開運(yùn)算，提高濾波器噪聲抑制性能；利用粒子群優(yōu)耦合被動聚集技術(shù)（PSOPC）進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，提出一種適合于周期性噪聲的形態(tài)學(xué)濾波的PSOPC優(yōu)化算法，對構(gòu)成的柔性形態(tài)學(xué)濾波器的主要參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，提高了降噪質(zhì)量。最后測試了本文算法的降噪性能。

1 柔性形態(tài)學(xué)濾波器

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一種非常重要的理論，其算法由集合論算法定義，因此，用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法處理的圖像必須首先將其轉(zhuǎn)化為集合[6]。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是用具有一定結(jié)構(gòu)元素表示圖像的形態(tài)，并進(jìn)行圖像處理。它是將一個集合轉(zhuǎn)化為另一集合的算法，這種轉(zhuǎn)化的目的是尋找原始集合的特征，這種轉(zhuǎn)換是靠具有一定特征的結(jié)構(gòu)元素去實(shí)現(xiàn)，因此得到的結(jié)果與結(jié)構(gòu)元素的一些特性有關(guān)[7]。

在標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展和演變得出了柔性形態(tài)學(xué)，將標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)學(xué)中的最小和最大運(yùn)算替代為柔性形態(tài)學(xué)中排序統(tǒng)計(jì)運(yùn)算[8]，在柔性形態(tài)學(xué)中，結(jié)構(gòu)元素被分成兩個子集：硬核和柔性邊緣。

柔性形態(tài)學(xué)基本思想是假設(shè)集合[A，B?Z2，][A?B，][B]被分成兩個子集合：硬核[A]和柔性邊緣[B-A，]輸入圖像[f]的柔性膨脹和侵蝕可通過結(jié)構(gòu)元素[[B，A，k]]定義如下：

[f⊕[B，A，k]=maxkk?（f（x-α）+A（α））α∈DA?f（x-β）+B（ββ∈DB-A）] （1）

[fΘ[B，A，k]=minkk?（f（x+α）-A（α））α∈DA?f（x+β）-B（ββ∈DB-A）] （2）

式中：[⊕]和[Θ]為膨脹和侵蝕運(yùn)算符號；[maxk]和[mink]分別為集合中第[k]次的最大值和最小值；[DA]和[DB-A]分別表示[A]和[B-A]的定義域；[?]表示重復(fù)操作符。[f（a）]重復(fù)操作[k]次，則：

[k?f（a）=f（a），f（a），…， f（a）] （3）

式中[k]為重復(fù)次數(shù)。

[f]和[[B，A，k]]的形態(tài)學(xué)開和閉以及梯度操作可定義如下：

[f°[B，A，K]=（fΘ[B，A，K]）⊕[B，A，K]] （4）

[f?[B，A，K]=（f⊕[B，A，K]）Θ[B，A，K]] （5）

[G（f）=（f⊕[B，A，K]）-（fΘ[B，A，K]）] （6）

式中：[°]，[?]及[G（f）]分別表示開運(yùn)算、閉運(yùn)算和形態(tài)學(xué)梯度。

形態(tài)開操作是先腐蝕后膨脹，而形態(tài)閉運(yùn)算是先膨脹后腐蝕；形態(tài)開運(yùn)算可對圖像輪廓有平滑作用，去掉尖細(xì)的突出部位，形態(tài)閉操作也能對圖像的輪廓平滑，能夠消除小洞，填補(bǔ)輪廓上的縫隙[9]。

因此，通過構(gòu)造形態(tài)開?閉和閉?開運(yùn)算來濾除信號的正負(fù)脈沖噪聲。但是，由于開運(yùn)算的收縮性會使噪聲開?閉濾波器的結(jié)果偏小，閉運(yùn)算的擴(kuò)張性會造成閉?開濾波器的結(jié)果偏大 ，因而存在統(tǒng)計(jì)偏離問題，直接影響到濾波器的噪聲抑制性能。故本文采用一種開?閉和閉?開結(jié)合的平均柔性形態(tài)濾波器，用于噪聲的非線性濾波，降低統(tǒng)計(jì)偏離問題：

[fsoft=f°[B，A，2]+f?[B，A，2]2] （7）

2 基于PSOPC的柔性形態(tài)濾波器優(yōu)化

模型（7）描述的為平均柔性形態(tài)濾波器，是一種最簡單的形式，為擴(kuò)大其適用性，故將模型（7）進(jìn)行演變形成通用的柔性形態(tài)學(xué)濾波器：

[fsoft=γ?f°[B，A，k]+φ?f?[B，A，k]] （8）

式中：[0<γ<1，][0<φ<1，][γ+φ=1]。從式（8）可知，[γ，][φ，][k，][A，][B]對所構(gòu)建的柔性形態(tài)濾波器有直接的影響作用，因此，為取得理想圖像去噪效果必須對上述參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，本文利用[PSOPC]技術(shù)對上述5個參數(shù)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化計(jì)算。

2.1 PSOPC

粒子群優(yōu)化（PSO）是利用一種信息共享機(jī)制來尋找最優(yōu)解，PSO具有全局搜索性的優(yōu)化算法，利用優(yōu)化算法進(jìn)行結(jié)構(gòu)元素的選取，在最大迭代次數(shù)之內(nèi)，獲得信噪比最大的粒子參數(shù)，具體過程描述如下[10]。假設(shè)[M]個粒子在搜索空間飛行，每個粒子都有對應(yīng)的位置和速度，分別用[Si]和[Xi]表示第[i]個粒子的位置和速度，第[i]個粒子的最優(yōu)位置為pb，全部粒子的最優(yōu)位置為pg，在加速粒子群優(yōu)化算法的基礎(chǔ)上，用隨機(jī)加權(quán)加速度在每個時間內(nèi)趨近pb和pg的位置，如圖1所示。

圖1中，[X（k）]為當(dāng)前粒子位置；[X（k+1）]為修正粒子位置；[V（k）]為當(dāng)前點(diǎn)粒子速度；[V（k+1）]為修正速度；[Vpb]為當(dāng)前粒子最優(yōu)值；[Vpg]為全部粒子最優(yōu)值。每個粒子都試圖用這些信息來修改它的位置，例如介于當(dāng)前位置和pb之間的各自距離，介于當(dāng)前位置和pg之間的距離，每個粒子的速度使用以下公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚齕11]。

[Vi（k+1）=W×Vi（k）+c1×r1×pbi（k）-Xi（k）+c2×r2×pg（k）-Xi（k）] （9）

[Xi（k+1）=Xi（k）+Vi（k+1）] （10）

式中：[Vi（k）]為第[i]個粒子的第[k]次速度；[Xi（k）]為第[i]個粒子的位置；[pbi]為第[i]個粒子的最優(yōu)位置；pg為整體最優(yōu)位置；[c1]和[c2]為已知數(shù)，范圍為0～4；[r1]和[r2]為介于0～1之間的隨機(jī)數(shù)；[W]為慣性權(quán)重（一般取[W=0.7]）。根據(jù)式（9）可分析，每一維粒子速度受到預(yù)定義范圍[[0，Vmax]]的限制，如果速度有超過這個范圍的趨勢，那么將會限定在[Vmax]。

PSOPC是一種PSO與被動聚集相結(jié)合的新技術(shù)，一個集合中的成員可以做出反應(yīng)，并且無需直接檢測環(huán)境中的輸入信號，因?yàn)樗麄兛梢詮泥従幽抢锏玫匠浞值男畔?，個體需要監(jiān)視周圍環(huán)境與他們直接相關(guān)的鄰居，比如鄰居的位置和速度，因此，集合中的每個個體都能夠從其他成員那里得到多種潛在信息，這樣可以最大限度地減少漏檢率和誤檢率，在被動聚集中，群組成員不僅能夠從環(huán)境中獲取必要信息，同時也能夠從其相鄰成員中獲取。因此，群組中的個體具有更多獲取信息的選擇，有助于降低漏檢率和錯誤解釋。根據(jù)PSO中的公式（9）進(jìn)行演變，可得出PSOPC表達(dá)式：

[Vi（k+1）=W×Vi（k）+c1×r1×pbi（k）-Xi（k）+c2×r2×pg（k）-Xi（k）+c3×r3×Ri（k）-Xi（k）] （11）

式中：[Ri]為從群中隨機(jī)選取的粒子；[c3]為被動聚集系數(shù)，一般取[c3=0.6]；[r3]為在[[0，1]]范圍內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)。對于單峰函數(shù)，PSOPC算法比PSO具有更好的試驗(yàn)結(jié)果，算法精度和收斂性明顯優(yōu)于PSO算法。

2.2 柔性形態(tài)學(xué)參數(shù)優(yōu)化

通過式（8）分析得出，為對柔性形態(tài)學(xué)濾波進(jìn)行優(yōu)化，因此，需要優(yōu)化的參數(shù)為：結(jié)構(gòu)元素的大?。挥埠撕腿嵝赃吔绲男螤?；重復(fù)操作次數(shù)[k；]權(quán)重系數(shù)[γ]和[φ]。

由于結(jié)構(gòu)元素越大，輸出越模糊不清，因此，結(jié)構(gòu)元素大小限制在[3×3]到[5×5]范圍內(nèi)，考慮到對稱性，因此，結(jié)構(gòu)元素的硬核可通過以下進(jìn)行選擇：

（13）

根據(jù)結(jié)構(gòu)元素的大小，重復(fù)次數(shù)[k]為[1，3]或者[1，5]范圍內(nèi)的整數(shù)，[γ]的變化范圍是0～1。

優(yōu)化過程在以下條件下執(zhí)行：圖像被選擇為原始圖像，并收到正弦曲線[N（14，30，30）]浸染。當(dāng)對整數(shù)參數(shù)優(yōu)化時，相應(yīng)粒子的值等概率映射為一個有效的整數(shù)。當(dāng)計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)時，為了降低算法復(fù)雜度，[MSE]只計(jì)算圖像的一小部分。對系統(tǒng)進(jìn)行初始化設(shè)置，群的大小設(shè)定為30，最大迭代次數(shù)為300。通過試驗(yàn)證明，經(jīng)過300次迭代后適應(yīng)度值為419.836 7。優(yōu)化結(jié)果如下：結(jié)構(gòu)元素大小為5×5；結(jié)構(gòu)元素的硬核為模型（13）的第三個表示；重復(fù)次數(shù)[k=2；]加權(quán)系數(shù)[γ=0.527，][φ=0.473]。

然而，在相同的環(huán)境下進(jìn)行不同的實(shí)驗(yàn)得出的[γ]和[φ]的優(yōu)化結(jié)果是不同的，通過對30次優(yōu)化實(shí)驗(yàn)得出[γ]和[φ]值都在0.5左右，因此，根據(jù)優(yōu)化算法的自適應(yīng)性，加權(quán)系數(shù)[γ=φ=0.5]。

3 仿真結(jié)果與分析

為體現(xiàn)算法的有效性和先進(jìn)性，與當(dāng)前算法比較，設(shè)置對照組：頻譜中值濾波器[5]，中值濾波器[3]，均值濾波器[5]，分別設(shè)為A，B，C組。借助Matlab 7.0測試本文算法性能。

為評估濾波后圖像的質(zhì)量，引入兩個評價指標(biāo)：峰值信噪比（PSNR）和形狀誤差（SE）。

PSNR是定量計(jì)算圖像質(zhì)量的一個重要指標(biāo)[12]，其定義如下：

[PSNR=20lg255MSE] （14）

其中，均方差[MSE]可通過適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算：

[MSE=1MNi=1Mj=1NIo（i，j）-If（i，j）2] （15）

式中：[Io（i，j）]和[If（i，j）]分別表示原始圖像和濾波圖像；[M]和[N]為圖像的尺寸大小。

SE是評價濾波器對在保持圖像細(xì)節(jié)方面的能力[12]，表示如下：

[SE=1MNi=1，j=1M，N（p，q）∈EIo（i，j）-Io（p，q）-If（i，j）-If（p，q）χ] （16）

式中：[Io（i，j），][Io（p，q）]和[If（i，j），][If（p，q）]分別表示原始圖像和濾波圖像，[E]為掩模元素。

3.1 周期性噪聲去除

在本文中，將常見的正弦曲線噪聲添加到原始圖像中，正弦曲線噪聲作為一種常見的周期性噪聲，可定義為[N（ω，θ，τ）]，其中，[ω]，[θ]，[τ]分別表示正弦曲線噪聲的頻率，角度和振幅，[θ]的變化范圍為[[0，180°]]，[τ]為在噪聲影響下的圖像灰度值的變化，[τ=0]時表示無任何噪聲。原始圖像和添加正弦曲線噪聲[N（14，30，30）]的結(jié)果如圖2所示。

圖3為利用四種不同濾波方法對正弦曲線噪聲[N（14，30，30）]去除的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。圖3（a）為優(yōu)化柔性形態(tài)濾波器，圖3（b）為頻譜中值濾波器，圖3（c）為中值濾波器，圖3（d）為均值濾波器。

通過圖3可以看出，圖3（c）和3（d）采用的中值濾波器和均值濾波器對噪聲基本消除效果不明顯，圖3（a）的柔性形態(tài)濾波性能優(yōu)于圖3（b）的頻譜中值濾波器。

圖4為不同濾波結(jié)果的PSNR比較，其中圖4中橫坐標(biāo)為正弦曲線噪聲[N（ω，30，30）]的周期長度[1ω]從2～12的變化過程。從圖4可以看出，隨著[1ω]的增加，PSNR不斷降低，但是頻譜濾中值濾波例外，主要是因?yàn)橛糜谌嵝孕螒B(tài)濾波器中結(jié)構(gòu)元素的大小和中值濾波器中的窗口無法足夠覆蓋噪聲。相反地，由于噪聲峰值檢測過程，頻譜中值濾波器的PSNR維持在一個很高的水平。當(dāng)周期噪聲頻率較高時，其性能比頻譜中值濾波優(yōu)異。由于頻譜中值濾波對多頻率敏感度弱于優(yōu)化柔性形態(tài)濾波，因此，當(dāng)頻率較低時，頻譜中值濾波的效果比優(yōu)化柔性形態(tài)濾波好。

圖5為四種濾波器得到的圖像形狀誤差結(jié)果，隨著[1ω]的增加，形狀誤差不斷增加，表示圖像細(xì)節(jié)保持能力越弱，從圖5得出，均值濾波器得到的形狀誤差最大，表示其對圖像細(xì)節(jié)信息保護(hù)能力最差，本文算法與頻譜中值算法在圖像細(xì)節(jié)保護(hù)上做得較好，能夠在對噪聲去除的同時保護(hù)圖像細(xì)節(jié)。

3.2 混合噪聲去除

在實(shí)際生活中，圖像中一般既含有周期性噪聲又存在隨機(jī)噪聲（例如高斯白噪聲），稱作為混合噪聲。因此，必須計(jì)算各濾波器對混合噪聲降低的能力。

假設(shè)圖像受到周期性噪聲[N（ω，30，30）]和高斯白噪聲（均值為零，方差為0.01）的浸染，通過之前提到的四種不同濾波方法處理，其仿真結(jié)果見圖6。

從圖6可以看出，本文算法對混合噪聲具有較好的消除作用，頻譜中值濾波器不能有效去除高斯白噪聲，而其他中值濾波器和均值濾波器僅對高斯白噪聲抑制性能較好，對混合噪聲的抑制不夠理想。

圖7和圖8分別為四種濾波器對含有混合噪聲的圖像處理后的PSNR和SE測試結(jié)果。從圖7可以看出，當(dāng)添加高斯白噪聲和正弦曲線噪聲后，相對于周期性噪聲濾波，四種濾波器的PSNR都下降很明顯，說明四種濾波器對混合噪聲的消除效果無正弦周期性噪聲。另外，從圖7和圖8看出，在對混合噪聲濾波中，本文算法整體性能優(yōu)于其他三種濾波方法。

4 結(jié) 論

本文討論了柔性形態(tài)濾波器對周期噪聲去除的性能，利用PSOPC技術(shù)對濾波器進(jìn)行優(yōu)化。通過實(shí)驗(yàn)得出，為提高去噪算法的適應(yīng)性，采用PSOPC優(yōu)化技術(shù)搜索柔性形態(tài)濾波最優(yōu)值，通過計(jì)算結(jié)構(gòu)元素的大小和形狀以及重復(fù)參數(shù)與加權(quán)系數(shù)，通過在PSO中引入被動聚集，粒子通過其相鄰關(guān)系能獲取更多信息，從而避免誤判斷更新方向的風(fēng)險(xiǎn)。

在本文所討論的方法中，優(yōu)化柔性形態(tài)濾波器在周期噪聲去除和微小形狀保留以及耗時方面表現(xiàn)較好，在PSNR表現(xiàn)上明顯優(yōu)于平均柔性形態(tài)濾波；與均值濾波器比較，優(yōu)化柔性形態(tài)濾波器在細(xì)節(jié)保留和降噪能力方面更勝一籌；雖然優(yōu)化柔性形態(tài)濾波器在噪聲去除方面不如頻譜均值濾波器，特別是在噪聲頻率低時，但是其耗時更低，此外，頻譜均值濾波器依賴于參數(shù)的選擇，目前其參數(shù)的選擇還沒有具體研究。

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