邸聰娜，李麗華，張靈敏

(河北科技師范學院數(shù)學與信息科技學院，河北 秦皇島，066004)

時標上具有多時滯的二階中立型方程的振動性

邸聰娜，李麗華，張靈敏

(河北科技師范學院數(shù)學與信息科技學院，河北 秦皇島，066004)

中立型方程是一類重要的微分方程，其振動性理論在計算機、生物等許多領域中都有著非常廣泛的應用，本研究考慮了時標T上具有正負系數(shù)和多個變時滯的二階中立型動力方程，針對P(t)的不同取值，給出了方程的若干振動準則。

中立型方程；多時滯；振動性

中立型方程是一類重要的微分方程，其振動性理論在計算機、生物等許多領域中都有著非常廣泛的應用，尤其近年來，計算機科學研究中出現(xiàn)了一些同時具有正負系數(shù)的中立型方程的模型，使得這類方程的研究日益受到重視。而自從Stefan Hilger提出時標理論[1]，對導數(shù)積分賦予了新的定義，很多學者便致力于時標上中立型動力方程的研究[2～8]。

筆者考慮了時標T上具有正負系數(shù)和多個變時滯的二階中立型動力方程

(1)

對于方程(1)的特殊情形，許多文獻已做過研究，如邸聰娜等[5，6]分別研究了線性中立型方程

[x(t)+P(t)x(τ(t))]ΔΔ=q(t)x(g(t))

及具有振動系數(shù)的線性方程

而后邸聰娜等[7]又研究了方程

的振動性。受到以上結果的啟發(fā)，筆者針對P(t)的不同取值分別進行討論，給出了具有多變時滯動力方程(1)的振動準則。

1 基本假設和引理

假設supT=∞，fi，gj∈C(R，R)，且定義[t0，∞]T={t∈T，t0≤t<∞}，并且考慮如下假設：

(H1) 存在αi>0,βj>0，使得fi(u)/u≥αi(u≠0),gj(u)/u≤βj(u≠0)。

記

y(t)=x(t)+P(t)x(τ(t))

(2)

(3)

引理1 設(H1)，(H2)成立,0≤P(t)≤1,x(t)為方程(1)的一個最終正解，則存在t1≥t0，當t≥t1時，有z(t)>0,zΔ(t)≥0,[A(t)zΔ(t)]Δ≤0,zΔΔ(t)≤0,x(t)≥[1-p(t)]y(t)≥0。

證明 由于x(t)是方程(1)的一個最終正解，即存在t1≥t0，當t≥t1時，有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(γi(t))=x(γ(t))>0,x(δj(t))>0,從而y(t)>0，因此z(t)>0(t≥t1)。

由于方程(1)，(2)，(3)及(H1)和(H2)，可得

(4)

(5)

事實上，若存在t2≥t1，使得zΔ(t2)<0，則當t≥t2時，由(5)式有

A(t)zΔ(t)≤A(t2)zΔ(t2)<0

兩邊積分得：

而由[A(t)zΔ(t)]Δ=AΔ(t)zΔ(t)+A(t)zΔΔ(t)，及(5)式知，zΔΔ(t)≤0。

由0≤P(t)≤1及(2)式知,y(t)≥x(t)(t≥t1),于是

y(t)≤x(t)+P(t)y(τ(t))≤x(t)+P(t)y(t)

從而有x(t)≥[1-P(t)]y(t)≥0。證畢。

2 主要結果和證明

(6)

則方程(1)是振動的。

證明 假設x(t)是方程(1)的一個最終正解(最終負解的情況類似可證)，即存在t1≥t0，當t≥t1時，有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(γi(t))>0,x(δj(t))>0。所以，由引理1和(4)式知,yΔ(t)>0(t≥t1),即y(t)為單調增函數(shù)。由0≤P(t)≤1及(2)式知，y(γ(t))≥x(γ(t))(t≥t1)。于是

y(γ(t))≤x(γ(t))+P(γ(t))y(τ(γ(t)))≤x(γ(t))+P(γ(t))y(γ(t))

從而x(γ(t))≥[1-P(γ(t))]y(γ(t))≥0，代入(5)式，由(6)式得

[A(t)zΔ(t)]Δ≤-ψ(t)y(γ(t))≤0

(7)

由y(t)>0,yΔ(t)>0(t≥t1)知，存在常數(shù)λ>0及t2≥t1，使得y(γ(t))≥λ>0(t≥t2)，于是由(7)式得：

[A(t)zΔ(t)]Δ+λψ(t)≤0

(8)

證明 設x(t)為方程(1)的無界非振動解，假設x(t)>0(當x(t)<0時類似可證)，則存在t1≥t0，當t≥t1時，有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(γi(t))>0,x(δj(t))>0。

由-1≤P(t)≤0得y(t)≤x(t)(t≥t1)，且可推得y(t)≥0(t≥t1)。事實上，倘若不然，即y(t)<0，則x(t)=y(t)-P(t)x(τ(t))<-P(t)x(τ(t))≤x(τ(t))，這與x(t)無界矛盾！因此y(t)≥0。

由方程(1)和(H1)，(H3)，(H4)得

且{A(t)yΔ(t)}Δ最終不恒為0，從而A(t)yΔ(t)單調減且能斷言yΔ(t)≥0(t≥t1)。

由于y(t)不能為0，所以由y(t)≥0，yΔ(t)≥0(t≥t1)可知存在常數(shù)M>0及t2≥t1，當t≥t2時，

y(γ(t))≥M。當y(γ(t))≤x(γ(t))時，有

這與A(t)yΔ(t)≥0(t≥t1)矛盾。證畢。

3 結 論

本次研究考慮了具有多個時滯的中立型動力方程，通過對系數(shù)的不同取值范圍的討論，給出方程的若干振動準則，推廣了已有文獻的結果，完善了時標上中立型方程的振動理論。

[1] Bohner M,Peterson A.Dynamic Equations on Time Scales:An Introduction with Applications[M].Boston：Birkh?ser,2001.[2] Bohner Martin,Stevic＇ Stevo.Asymptotic behavior of second-order dynamic equations[J].Applied Mathematics and Computation,2007,188:1 503-1 512.

[3] Liu Ailian,Wu Hongwu,Zhu Siming.Oscillation for nonautonomous neutral dynamic delay equations on time scales[J].Acta Mathematica Scientia，2006,26B(1):99-106.

[4] 陳大學,劉潔純.具有分布時滯的二階非線性中立型時標動力方程的振動定理[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學, 2010,30(9)：1 191-1 205.

[5] 邸聰娜,邵麗麗,呂金鳳,等.時標上二階線性中立型動力方程有界解的振動準則[J].河北科技師范學院學報,2009,23(3):58-61，76.

[6] 邸聰娜,李民良,郭雅彩,等.時標上具有振動系數(shù)的中立型動力方程非振動解的存在性[J].河北科技師范學院學報,2010,24(1):53-55.

[7] 邸聰娜,邵香媛,王玉寬.時標上的一類二階中立型方程正解的存在性[J].河北科技師范學院學報,2015,29(2):31-35.

[8] Bohner Martin, Stevic＇ Stevo.Asymptotic behavior of second-order dynamic equations[J].Applied Mathematics and Computation,2007,188:1 503-1 512.

(責任編輯：朱寶昌)

Existence of Positive Solution for Second-Order Neutral Dynamic Equations on Time Scales

DI Congna, LI Lihua, ZhANG Lingmin

(School of Mathematics and Information Science & Technology, Hebei Normal University of Science & Technology, Qinhuangdao Hebei, 066004, China)

Neutral equation is an important class of differential equations and its oscillation theory has been widely applied in computer, biology and many other fields. The second-order neutral dynamic equation with positive/negative coefficients and multi-delays was considered to set up several oscillation criteria of the equation according to different values ofP(t).

neutral equation; multi-delays; oscillation

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2016.02.011

2016-01-22; 修改稿收到日期: 2016-04-12

O175.12

A

1672-7983(2016)02-0059-03

邸聰娜(1983-)，女，講師。主要方向：微分方程的振動性與穩(wěn)定性。