張秋梅，文香丹，李映紅

(1.長春大學理學院，吉林 長春 130022；

2.延邊大學數(shù)學系，吉林 延吉 133002)

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具有飽和接觸率的隨機SIR模型的正解存在唯一性及滅絕性

張秋梅1，文香丹2，李映紅1

(1.長春大學理學院，吉林 長春 130022；

2.延邊大學數(shù)學系，吉林 延吉 133002)

[摘要]建立并分析了具有飽和接觸率的隨機SIR模型，應(yīng)用Lyapunov方法得到了隨機SIR模型正解的存在性、唯一性和滅絕性.

[關(guān)鍵詞]隨機微分方程；飽和接觸率；存在唯一性；滅絕性

0引言

自從Kermack和Mckendrick建立傳染病的艙室模型后，傳染病動力學便得到了迅速發(fā)展，并在預防與治療疾病方面起到了不同程度的指導作用. 基于經(jīng)典的假設(shè)，我們將種群分成易感者(S)，染病者(I) 和移出者(R). 一個易感個體一旦感染便瞬間變成染病者，最后成為移出者獲得暫時的免疫.[1-3]如果疾病的發(fā)生率是飽和接觸率，則SIR模型可描述為

(1)

(2)

本文研究每次接觸傳染的概率β在環(huán)境白噪聲干擾下的隨機傳染病系統(tǒng)(SIR)正解的存在唯一性及滅絕性.

1正解的存在唯一性

證明考慮具有初值(u0=logS0，v0=logI0，w0=logR0)的如下方程

(3)

顯然方程(3)的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件，從而存在唯一局部解(u(t)，v(t)，w(t))(t∈[0，τe))，其中τe表示爆破時間.由It公式容易驗證(S(t)=eu(t)，I(t)=ev(t)，R(t)=ew(t))是系統(tǒng)(2)具有初值(S0，I0，R0)的正解.下面證明解是全局存在的，即只需證明τe=∞ a.s..選取m0≥1，使得S0，I0，R0都位于區(qū)間中.對任給整數(shù)m≥m0，定義停時：或max{S(t)，I(t)，R(t)}≥m}，其中約定inf?=∞.顯然τm關(guān)于m單調(diào)遞增，令，則τ∞≤τea.s..若能證得τ∞=∞ a.s.，則τe=∞，從而定理結(jié)論得證.若不然，則存在常數(shù)T>0和ε∈(0，1)，使得P{τ∞≤T}>ε.于是存在整數(shù)m1≥m0，使得當所有的m≥m1時，P{τm≤T}≥ε.

2滅絕性

(4)

由強大數(shù)定律[8]得

再根據(jù)(4)式

(5)

根據(jù)系統(tǒng)(2)

d(S+I+R)=[A-μ(S+I+R)-α0I]dt.

(6)

由(6)式解得

利用洛必達法則和(5)式，

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(責任編輯：李亞軍)

Existence，uniqueness and extinction of stochastic SIR model with saturating contact rate

ZHANG Qiu-mei1，WEN Xiang-dan2，LI Ying-hong1

(1.School of Science，Changchun University，Changchun 130022，China；2.Department of Mathematics，Yanbian University，Yanji 133002，China)

Abstract:A perturbed SIR model with saturating contact rate by white noise is proposed and analyzed. By Lyapunov analysis methods，the existence and uniqueness of the positive solution are given，as well as the extinction of stochastic SIR model.

Keywords:stochastic differential equation；saturating contact rate；existence and uniqueness；extinction

[中圖分類號]O 211.63[學科代碼]110·44

[文獻標志碼]A

[作者簡介]張秋梅(1980—)，女，博士，講師，主要從事隨機微分方程研究；通訊作者：文香丹(1965—)，女，碩士，教授，主要從事應(yīng)用概率統(tǒng)計和優(yōu)化理論研究.

[基金項目]國家自然科學基金資助項目(11371085)；吉林省自然科學基金資助項目(20140101005JC)；吉林省教育廳“十二五”科學技術(shù)研究項目(2014LY508L40，吉教科合字[2015]第10號)；吉林省教育科學“十二五”規(guī)劃課題項目(GH150104).

[收稿日期]2014-07-23

[文章編號]1000-1832(2016)01-0026-03

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.01.007