李琪， 王再興， 沈黎陽(yáng)， 王耀稼， 李旭陽(yáng)（西安石油大學(xué)石油工程學(xué)院，西安710065）

李琪等.基于改進(jìn)黃金分割法的鉆井液流變模式優(yōu)選[J].鉆井液與完井液，2016，33（1）：57-62.

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基于改進(jìn)黃金分割法的鉆井液流變模式優(yōu)選

李琪， 王再興， 沈黎陽(yáng)， 王耀稼， 李旭陽(yáng)
（西安石油大學(xué)石油工程學(xué)院，西安710065）

李琪等.基于改進(jìn)黃金分割法的鉆井液流變模式優(yōu)選[J].鉆井液與完井液，2016，33（1）：57-62.

摘要鉆井液流變參數(shù)的計(jì)算和流變模式的優(yōu)選對(duì)于鉆井作業(yè)的順利進(jìn)行至關(guān)重要。結(jié)合數(shù)值計(jì)算方法、回歸分析和最優(yōu)化的理論，在窮舉法的基礎(chǔ)上，引入相關(guān)指數(shù)、殘差平方和以及殘差方差3個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，利用黃金分割法加快有根區(qū)間的收縮速度，提出了改進(jìn)的黃金分割搜索算法。利用該方法，不用給定迭代初始值，收斂性好，克服了已有鉆井液流變模式優(yōu)選算法的缺點(diǎn)，同時(shí)適用于2參數(shù)、3參數(shù)、4參數(shù)流變方程的參數(shù)計(jì)算與流變模式優(yōu)選。借助MATLAB語(yǔ)言編制相應(yīng)計(jì)算程序?qū)Υ罅繑?shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，并與前人的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果表明：所采用的3種回歸評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是有效的，與改進(jìn)的黃金分割搜索算法相結(jié)合，能夠回歸出鉆井液的流變參數(shù)，并準(zhǔn)確地優(yōu)選出流變模式，殘差方差的計(jì)算結(jié)果平均降低了19.70%，計(jì)算結(jié)果精度更高。

關(guān)鍵詞黃金分割法；鉆井液；流變參數(shù)；流變模式

Optimization of Drilling Fluid Rheology Pattern Using Improved Golden Section Method

LI Qi, WANG Zaixing, SHEN Liyang, WANG Yaojia, LI Xuyang
(College of Petroleum Engineering, Xi’an Shiyou University, Xi’an Shaanxi 710065,China)

Abstract Rheological parameters of drilling fluid and selection of rheology pattern play an important role in drilling operation. Using exhaust algorithm and other methods, such as numerical computation method, regression analysis and optimization theory, three evaluation indices, i.e., correlation index, sum of squares of residues and variance of residues are introduced. Using golden section method, the contraction of the root interval can be accelerated. These studies give birth to the so called improved golden section method. In this improved golden section method, initial iterative values become unnecessary, and the method has good convergence, getting rid of deficiencies of the rheological model presently in use. This method is suitable for the parameter calculation and optimization of rheological patterns using 2-parameter, 3-parameter and 4-parameter equations. Using computer language MATLAB, large scale computation can be realized. Comparison of the computation results and those of others shows that the three evaluation indices presented are useful, and when used in combination with the improved golden section method, rheological parameters can be calculated, and rheological model optimized with good accuracy. The computational result of the variance of residue is reduced by 19.7%, a higher computational accuracy.

Key words Golden section method; Drilling fluid; Rheological parameter; Rheological pattern

常見(jiàn)的非牛頓鉆井液流變模式包括賓漢模式、冪律模式、卡森模式、Herschel-Bulkley模式（縮寫(xiě)為H-B模式）、Robertson-Stiff模式（縮寫(xiě)為R-S模式）、雙曲模式、Sisko模式、L-M模式以及4參數(shù)流變模式等[1-9]。流變模式的優(yōu)選方法包括流變曲線對(duì)比法、剪切應(yīng)力誤差對(duì)比法、線性回歸分析方法、灰色關(guān)聯(lián)分析方法和非線性最小二乘回歸方法等[10-13]。其中流變曲線對(duì)比法和剪切應(yīng)力誤差對(duì)比法雖然比較簡(jiǎn)單，但準(zhǔn)確性不高[10]；線性回歸分析法對(duì)于非線性的流變方程（如冪律模式的流變方程），需要經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)變換將非線性方程轉(zhuǎn)換為線性方程，從而改變了實(shí)驗(yàn)誤差的統(tǒng)計(jì)學(xué)性質(zhì)，計(jì)算得到流變參數(shù)的估計(jì)值是線性模型的最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)，而不是原非線性模型的最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)；灰色關(guān)聯(lián)分析方法僅用于2參數(shù)流變方程的參數(shù)回歸；非線性最小二乘回歸方法涉及到迭代初始值的給定、 易陷入局部極小點(diǎn)、 多解性的判定等問(wèn)題[14]。此外， 尚沒(méi)有人提出4參數(shù)流變模式優(yōu)選問(wèn)題的解決方法。提出了改進(jìn)的黃金分割搜索算法，該算法同時(shí)適用于2參數(shù)、3參數(shù)、4參數(shù)流變方程的參數(shù)計(jì)算與流變模式優(yōu)選，且不需要設(shè)定初始值，算法收斂性好，計(jì)算結(jié)果精度高。

1　回歸評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

鉆井液流變模式優(yōu)選的方法應(yīng)分2步進(jìn)行[13]：①對(duì)于每種流變模式，按照一種回歸評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，回歸出流變方程的參數(shù)；②按照相同的回歸評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，比較不同流變模式的計(jì)算結(jié)果，優(yōu)選最優(yōu)流變模式。因此，回歸評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的確定是首要工作。

由回歸分析的知識(shí)可知，在回歸流變方程的過(guò)程中，可以用相關(guān)指數(shù)R2，殘差平方和SSE以及殘差方差D（e）來(lái)衡量回歸方程的可靠性[15]，對(duì)應(yīng)的計(jì)算方法如下。

1）相關(guān)指數(shù)R2。相關(guān)指數(shù)R2表示回歸方程的可靠程度，其值介于0到1之間。R2越接近于1，表示回歸效果越好，擬合的回歸方程的可信度越高。其表達(dá)式為：

式中，SST為離差平方和， 當(dāng)測(cè)量值已知時(shí)，SST為常數(shù)； N為測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；τi為測(cè)量出的剪切應(yīng)力，Pa；為測(cè)量值的平均值， Pa。

2）殘差平方和SSE。SSE大于0，由于SST為常數(shù)， 因此SSE越小，R2就越大， 回歸效果越好，擬合的回歸方程可信度就越高。其表達(dá)式為：

3）殘差方差D（e）。D（e）越接近于0，回歸效果就越好。其表達(dá)式為：

2　改進(jìn)的黃金分割搜索算法

黃金分割搜索算法是收縮最快的區(qū)間收縮方法之一，原理是通過(guò)提高含有最優(yōu)解的區(qū)間的收縮速度，從而更快達(dá)到最優(yōu)解。為求函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的最小值，可在該區(qū)間上取點(diǎn)x1=a+0.382 （b-a）和點(diǎn)x2=a+0.618（b-a），通過(guò)比較函數(shù)f（x）在這2點(diǎn)的函數(shù)值，來(lái)決定去掉一部分區(qū)間[a，x1] 或[x2，b]，從而使搜索區(qū)間長(zhǎng)度變小，如此迭代，直至區(qū)間收縮為一點(diǎn)或區(qū)間長(zhǎng)度小于給定的精度為止[16]。文獻(xiàn)[17]第1次用這種方法來(lái)回歸H-B流變方程的參數(shù)。文獻(xiàn)[18]將黃金分割搜索算法進(jìn)行了推廣，使其能夠回歸2參數(shù)和3參數(shù)流變方程的參數(shù)。然而，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，文獻(xiàn)[18]中的方法存在以下幾個(gè)不足。①算法的收斂性強(qiáng)烈依賴于迭代初始區(qū)間的選取。迭代初始區(qū)間很難預(yù)知，一旦迭代初始區(qū)間選取不當(dāng)，算法會(huì)出現(xiàn)不收斂的情形。②在回歸3參數(shù)流變方程的第一個(gè)流變參數(shù)時(shí)，其他參數(shù)是通過(guò)線性回歸得出的，不是原來(lái)非線性方程的最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)。

在文獻(xiàn)[17]和[18]的基礎(chǔ)上，對(duì)黃金分割搜索算法進(jìn)行改進(jìn)：通過(guò)引入回歸評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，在流變參數(shù)的定義域內(nèi)，窮舉流變參數(shù)的有根區(qū)間，利用黃金分割搜索算法加快有根區(qū)間的收縮速度。在參數(shù)回歸過(guò)程中，所有參數(shù)均通過(guò)非線性回歸得到，因而得到的參數(shù)仍然是原非線性方程的最優(yōu)估計(jì)。

2.1 4參數(shù)流變方程的回歸算法

4參數(shù)流變模式的流變方程為[9]：

式中，τ0是動(dòng)切應(yīng)力，Pa；a是牛頓流體部分的黏度，即剪切速率無(wú)限大時(shí)的黏度，Pa·s；b為非牛頓流體部分的黏度，Pa·sc；c是流性指數(shù)，無(wú)因次。

下面以4參數(shù)流變方程中流變參數(shù)的回歸步驟為例，介紹流變參數(shù)的回歸算法。

設(shè)集合S={S1， S2， S3， S4}={c， a， τ0， b}，即S中的元素Sj代表第j個(gè)流變參數(shù)，j=1， 2， 3， 4。流變參數(shù)Sj的回歸步驟如下，流程框圖如圖1所示。

1）步驟1（Step 1）。設(shè)定sj的初始搜索區(qū)間[L，U]為[0，1]，并記Uj=U。

圖1　參數(shù)回歸的流程圖

2）步驟2（Step 2）。求解流變參數(shù)。由黃金分割搜索算法可以得到Sj（1）=L+0.382（U- L），Sj（2）=L+0.618×（U- L）。令Sj=Sj（1），轉(zhuǎn)到參數(shù)Sj+k的回歸步驟求得Sj+k（1）；令Sj=Sj（2），轉(zhuǎn)到參數(shù)Sj+k的回歸步驟求得Sj+k（2），k=j，j+1，……，4-j。

將S1（1）， S2（1）， S3（1）和S1（2）， S2（2）， S3（2）分別帶入式（8），求出對(duì)應(yīng)的S4（1）和S4（2）。

3）步驟3（Step 3）。計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2。由相關(guān)指數(shù)R2的計(jì)算公式和4參數(shù)流變方程可得：

將S1（1），S2（1），S3（1），S4（1）和S1（2），S2（2），S3（2），S4（2）分別代入式（9），求得對(duì)應(yīng)的R12和R22。

4）步驟4（Step 4）。通過(guò)比較R12和R22的大小來(lái)改變搜索區(qū)間：若R12＜R22， 則L=Sj（1）， Sj（1）=Sj（2）， Sj（2）=L+0.618×（U- L）；若則L=Sj（1），U=Sj（2），Sj（1）若R21＞R22， 則

5）步驟5（Step 5）。若|L-U|＜eps（eps為設(shè)置的精度），轉(zhuǎn)到Step 6；否則，轉(zhuǎn)到Step 2。

6）步驟6（Step 6）。令Sj=（Sj（1）+Sj（2））/2，若|Sj-Uj|/Uj＜0.1，則需擴(kuò)大搜索區(qū)間[L，U]，取U=2×Uj， Uj=U， 轉(zhuǎn)到Step 1；否則， 得到最優(yōu)的Sj。

2.2 3參數(shù)和2參數(shù)流變方程的回歸算法

3參數(shù)和2參數(shù)流變方程中流變參數(shù)的回歸步驟與4參數(shù)流變方程類(lèi)似， 分別少了1個(gè)參數(shù)和2個(gè)參數(shù)。當(dāng)各個(gè)流變方程的流變參數(shù)回歸出來(lái)之后，就可以分別計(jì)算第1節(jié)提到的回歸評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，然后對(duì)流變模式進(jìn)行優(yōu)選。

3　數(shù)據(jù)處理分析

基于第2節(jié)提出的算法，用MALAB語(yǔ)言編制了相應(yīng)的計(jì)算程序，對(duì)表1中5組鉆井液的流變參數(shù)進(jìn)行了回歸計(jì)算（見(jiàn)表2），并計(jì)算了優(yōu)選流變模式需要的3個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)（見(jiàn)表3）。根據(jù)表3中的數(shù)據(jù)對(duì)鉆井液流變模式進(jìn)行優(yōu)選，結(jié)果見(jiàn)表4。

表1　鉆井液的原始數(shù)據(jù)

對(duì)表4進(jìn)行分析，可得到如下結(jié)論。

1）3種回歸評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)選出的結(jié)果相同，不存在文獻(xiàn)[13]中回歸“失效”的問(wèn)題。從而證明了本文提出的算法和相應(yīng)的回歸評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是合理有效的。

2）與2參數(shù)流變方程相比，3參數(shù)、4參數(shù)流變方程能更好地描述鉆井液的流變性能。在5組鉆井液流變模式優(yōu)選結(jié)果中，并沒(méi)有出現(xiàn)H-B流變模式，這說(shuō)明了H-B流變模式并不是描述所有鉆井液流變性能最優(yōu)的流變模式。因此，對(duì)其它流變模式的研究至關(guān)重要。

3）在只考慮冪律模式、 H-B模式、 卡森模式3種常用流變模式的情況下， 與文獻(xiàn)[14]中的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。繪制了殘差方差計(jì)算結(jié)果直方圖， 見(jiàn)圖2～圖4。對(duì)于所選用的3種流變模式， 由本文算法計(jì)算出的殘差方差平均值比文獻(xiàn)[14]中計(jì)算出的殘差方差平均值小19.70%， 表明了該算法的計(jì)算結(jié)果具有更高的精度；對(duì)于所選的5組鉆井液，最優(yōu)的流變模式都是H-B模式， 這說(shuō)明現(xiàn)場(chǎng)常用的H-B模式比冪律模式和卡森模式有更好的適用性。

表2　改進(jìn)的黃金分割搜索算法回歸出的流變參數(shù)

表3　回歸評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算結(jié)果

表4　鉆井液流變模式優(yōu)化結(jié)果

圖2　冪律模式下殘差方差計(jì)算結(jié)果

圖3　H-B模式下殘差方差計(jì)算結(jié)果

圖4　卡森模式下殘差方差計(jì)算結(jié)果

4　結(jié)論

1.提出的改進(jìn)黃金分割搜索算法同時(shí)適用于2參數(shù)、3參數(shù)、4參數(shù)流變方程的參數(shù)計(jì)算與流變模式優(yōu)選，且不需要設(shè)定迭代初始值，算法收斂性好。

2.利用提出的算法對(duì)5組鉆井液數(shù)據(jù)進(jìn)行了計(jì)算，并與前人的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較。結(jié)果表明：提出的算法是有效的，殘差方差的計(jì)算結(jié)果平均降低了19.70%，具有更高的精度。

3.采用的3種回歸評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是有效的，與改進(jìn)的黃金分割搜索算法相結(jié)合能回歸出最優(yōu)的鉆井液流變模式。

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收稿日期（2015-9-11；HGF=1506M8；編輯 馬倩蕓）

作者簡(jiǎn)介：第一李琪，教授，博士生導(dǎo)師，1963年生，2002年獲西南石油大學(xué)石油與天然氣工程專業(yè)博士學(xué)位，現(xiàn)在從事石油鉆井信息技術(shù)、導(dǎo)向鉆井等研究工作。電話 （029）88382690；E-mail：liqi@xsyu.edu.cn。

基金項(xiàng)目；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助（51574194）；西安石油大學(xué)優(yōu)秀碩士學(xué)位論文培育項(xiàng)目。

doi:10.3696/j.issn.1001-5620.2016.01.012

中圖分類(lèi)號(hào)：TE254.3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-5620（2016）01-0057-06