吳月龍，陳學(xué)友，張耀明

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院，山東 淄博　255091)

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彈性邊界條件識(shí)別反問題的正則化間接邊界元法

吳月龍，陳學(xué)友，張耀明

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院，山東 淄博255091)

摘要：基于間接變量規(guī)則化邊界元法，對(duì)彈性邊界條件識(shí)別Cauchy反問題進(jìn)行了研究。 對(duì)于實(shí)施過程中出現(xiàn)的線性病態(tài)方程組，采用Tikhonov和TSVD兩種正則化方法求解，通過廣義交叉校驗(yàn)準(zhǔn)則法(GCV法)確定正則化參數(shù)。 數(shù)值算例表明：該算法穩(wěn)定，數(shù)值解與精確解比較吻合。

關(guān)鍵詞：間接邊界元法；反問題；正則化方法；廣義交叉校驗(yàn)準(zhǔn)則法

彈性邊界條件識(shí)別反問題是指通過對(duì)象部分表面或內(nèi)部的相關(guān)信息，反演物體邊界條件的一類問題。它涉及物理學(xué)、數(shù)學(xué)、實(shí)驗(yàn)技術(shù)等多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域，在建筑、機(jī)械、化工、航天等工程領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。

有限差分法(FDM)和有限元法(FEM)已被應(yīng)用于反問題的研究中，然而，它們均需在物體內(nèi)部劃分網(wǎng)格，過程繁復(fù)，耗費(fèi)大量計(jì)算時(shí)間，而且求解精度較差。 邊界元法(BEM)由于只需在物體邊界劃分單元，大大減小了工作難度，提高了計(jì)算效率，使其在反問題的研究中更加有效。 已有的反問題研究主要集中在直接變量邊界元法。文獻(xiàn)[1]將直接邊界積分方程結(jié)合TSVD法求解各向同性二維彈性力學(xué)Cauchy問題，并通過L曲線法選取參數(shù)。文獻(xiàn)[2]將直接邊界積分方程結(jié)合預(yù)處理共軛梯度法求解二維各向同性彈性力學(xué)邊界條件識(shí)別反問題。本文基于文獻(xiàn)[3-4]提出的間接變量規(guī)則化邊界積分方程，對(duì)二維彈性力學(xué)邊界條件識(shí)別反問題進(jìn)行了研究.

在反問題求解過程中，相應(yīng)的線性系統(tǒng)通常是嚴(yán)重病態(tài)的，直接使用傳統(tǒng)的Gauss消去法一般很難獲得其有效解，因此采用適當(dāng)?shù)恼齽t化方法求解是必要的。最常用的正則化方法有Tikhonov法、TSVD法及PCG法(預(yù)處理共軛梯度法)[2]。 確定正則化參數(shù)的常用方法有L曲線法、GCV法(廣義交叉校驗(yàn)準(zhǔn)則)及波動(dòng)曲線法等[5-6]。本文采用Tikhonov和TSVD 2種正則化方法來(lái)求解病態(tài)線性系統(tǒng)。正則化參數(shù)的選取通過GCV法來(lái)完成。 數(shù)值算例表明：本文算法穩(wěn)定，數(shù)值結(jié)果與精確解比較吻合。

1反問題及規(guī)則化邊界積分方程

1.1二維彈性邊界條件識(shí)別反問題

設(shè)：Ω是R2上的一個(gè)有界區(qū)域；Γ=?Ω是其邊界；t(x)、n(x)是邊界Γ在點(diǎn)x處的單位切、外法向量。Γ由Γ1、Γ2兩部分組成，且Γ=Γ1∪Γ2，Γ1,Γ2≠?，Γ1∩Γ2=?。

本文考慮子邊界Γ1上面力和位移已知、Γ2上面力和位移均未知的邊界條件識(shí)別反問題，如圖1所示。

圖1　Cauchy型彈性邊界條件識(shí)別反問題

1.2規(guī)則化邊界積分方程

二維彈性問題的等價(jià)的規(guī)則化間接變量邊界積分方程為[3]：

(1)

▽yui(y) =

(2)

特別地

pi(y)=

(3)

其中，位移基本解

(4)

面力基本解

(5)

2正則化方法

2.1奇異值分解(SVD)

對(duì)于線性方程組

Ax=b

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(6)

其中：A∈Rm×n，x∈Rn，b∈Rm，且m≥n。對(duì)矩陣A進(jìn)行奇異值分解，則有

且

UUT=Im∈Rm×m,VVT=In∈Rn×n,

m≥n,σ1≥…≥σp>0,σp+1=…=σn=0

方程(6)的解可用Moore-Penrose廣義逆A+來(lái)表示，

(7)

2.2Tikhonov正則化方法(TR)

Tikhonov正則化方法[5]構(gòu)造了一種依賴于參數(shù)α>0的泛函：

(8)

可通過求解該泛函的極小值得到式(8)的一個(gè)較好的近似解。顯然，對(duì)于任意α>0，Jα是嚴(yán)格凸的，因此有唯一的xα滿足

此時(shí)xα即為Jα的正則解。而xα又是方程

的解，且ATA+α2In對(duì)稱正定，所以該方程的解唯一，可表示為

2.3截?cái)嗥娈愔捣纸夥?TSVD)

對(duì)于方程組(6)、式(7)中x的歐幾里得范數(shù)可寫為

其中rε為滿足1

k≤p即為正則化參數(shù)，其對(duì)應(yīng)的截?cái)嗥娈愔到鉃?/p>

2.4廣義交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)則(GCV)

廣義交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)是由Golub.G.H.提出的，其基本思想：假定將任意一個(gè)觀測(cè)值bi從原觀測(cè)值序列b中刪除，則此時(shí)由剩余觀測(cè)值求得的正則化解應(yīng)能夠較好地預(yù)測(cè)b中被去掉的這一觀測(cè)值bi。廣義交叉檢驗(yàn)法可以等效為求解最小GCV函數(shù)問題：

3數(shù)值算例

計(jì)算時(shí)，內(nèi)、外邊界分別被等分成20個(gè)和40個(gè)精確單元，邊界量采用不連續(xù)線性插值[3]。用Tikhonov和TSVD兩種正則化方法求解線性系統(tǒng)，并用GCV法選取正則化參數(shù)。圖3、4表明：兩種方法分別在α=1.0e-06和k=165處達(dá)到GCV最小值，因此選取上述參數(shù)作為該問題的正則化參數(shù)。 圖5描述了在選取前述正則參數(shù)的情形下，通過兩種正則化方法求得的邊界位移數(shù)值解及與解析解的比較。圖6描述了在選取前述正則參數(shù)的情形下，通過兩種正則化方法求得的邊界面力數(shù)值解及與解析解的比較。從圖5、6可以看出：數(shù)值解與解析解比較吻合，表明間接邊界積分方程結(jié)合正則化方法能夠有效地求解二維彈性反問題。

圖3　GCV法選取Tikhonov正則化參數(shù)

圖4　GCV法選取TSVD正則化參數(shù)

4結(jié)束語(yǔ)

二維彈性問題邊界條件反識(shí)別問題具有不適定性，求解中涉及的線性系統(tǒng)是高度病態(tài)的，因此常規(guī)邊界元法直接求解此問題時(shí)已經(jīng)失效。本文運(yùn)用間接規(guī)則化邊界元方法，結(jié)合Tikhonov和TSVD兩種正則化措施，通過GCV法確定Tikhonov法的最優(yōu)參數(shù)和TSVD法的最佳截?cái)囗?xiàng)，有效地解決了這個(gè)問題。通過數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法的有效性。

參考文獻(xiàn)：

[1]周煥林,江偉,胡豪.二維彈性力學(xué)邊界條件反識(shí)別TSVD正則化法[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,36(9):1076-1081.

[2]周煥林,江偉,胡豪.二維彈性力學(xué)邊界條件反識(shí)別PCG正則化法[J].固體力學(xué)學(xué)報(bào),2013,33(10):288-293.

[3]張耀明,溫衛(wèi)東,王利民.彈性力學(xué)平面問題中一類無(wú)奇異邊界積分方程[J].力學(xué)學(xué)報(bào),2004,36(3):311-321.

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(責(zé)任編輯陳艷)

Regularized Boundary Element Method with Indirect Unknowns for Inverse Elasticity Problems

WU Yue-long, CHEN Xue-you, ZHANG Yao-ming

(School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255091, China)

Abstract:The elasticity inverse identification boundary conditions Cauchy problem was investigated by using the indirect boundary element method (IBEM). Both the Tikhonov regularization method and the truncated singular value decomposition (TSVD) were applied to solving the ill-conditioned linear system involved in the process of implementation, and the optimal parameter for the Tikhonov and the optimal truncation number for the TSVD were chosen according to the generalized cross validation(GCV) method. A numerical example was given to verify the effectiveness of the proposed scheme, with numerical results being good agreement with the exact solutions.

Key words:indirect boundary element method; inverse problem; regularization method; generalized cross validation method

文章編號(hào)：1674-8425(2016)02-0152-05

中圖分類號(hào)：O343.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.02.026

作者簡(jiǎn)介：吳月龍(1991—),男,山東聊城人,碩士研究生,主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)研究。

基金項(xiàng)目：山東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(ZR2010AZ003)

收稿日期：2015-08-28

引用格式：吳月龍，陳學(xué)友，張耀明.彈性邊界條件識(shí)別反問題的正則化間接邊界元法[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016(2):152-156.

Citation format：WU Yue-long, CHEN Xue-you, ZHANG Yao-ming.Regularized Boundary Element Method with Indirect Unknowns for Inverse Elasticity Problems[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(2):152-156.