黑虎

數(shù)學(xué)能力包括運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力、建模能力和實(shí)踐能力（應(yīng)用能力）以及分析問題和解決問題的能力。它們相輔相成、相互促進(jìn)各自的形成和發(fā)展。下面從五個(gè)方面談如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

一、如何培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力

運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)，各種數(shù)學(xué)能力都離不開運(yùn)算能力，所以要想培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，首先要培養(yǎng)運(yùn)算能力。培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力時(shí)，老師們必須有目的、有計(jì)劃地選好題型、題量、題度。題型不能單一，題量不能過多，題度不能過難或過易。

例如，函數(shù)y=x3+ax2+bx +1的導(dǎo)數(shù)f'（x）滿足f'（1）=2a，f'（2）=-b，其中常數(shù)a，b∈R。

（1） 求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1， f（1）） 處的切線方程。

（2） 設(shè)g（x）=f'（x）ex ， 求函數(shù)g（x）的極值。

解：因?yàn)閒（x）=x3+ax2+bx+1。

故f'（x）=3x2+2ax+b。

令x=1，得f'（1）=3+2a+b，又已知f'（1）=2a。

因此3+2a+b=2a，解得b=-3。

又令x=2，得f'（2）=12+4a+b，又已知f'（2）=-b。

因此12+4a+b=-b，解得a=-。

因此f（x）=x3-x-3x+1，從而f（1）=-。

又因?yàn)閒'（1）=2×- =-3，

故曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-- =-3（x-1），即6x+2y-1=0。

（2） 由（1）知g（x）=（3x2-3x-3）e-x。

從而有g(shù)'（x）=（-3x2+9x）e-x。

令g'（x）=0，得-3x2+9x=0，解得x1=0，x2=3。

當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，g'（x）<0，故g（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)；

當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，g'（x）>0，故g（x）在（0，3）上為增函數(shù)；

當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，g'（x）<0，故g（x）在（3，+∞）上為減函數(shù)。

從而函數(shù)g（x）在x1=0處取得極小值g（o）=-3，在x2=3處取得極大值g（3）=15e-3。

二、 如何培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力

在數(shù)學(xué)諸多能力中，邏輯思維能力是核心，其他能力的培養(yǎng)都離不開邏輯思維能力，而且它還促進(jìn)著人的發(fā)散思維的形成和發(fā)展。邏輯思維能力的最大功能是開發(fā)智力、培養(yǎng)能力，最大特點(diǎn)是嚴(yán)密性強(qiáng)。所以，可用邏輯性嚴(yán)密題來培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

例如：已知∠AOB ：∠BOC ：∠COD ： ∠DOA = 1：2：3：4。求∠BOC的取值范圍。

解：如圖1：上述各角同一方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，由圖知∠AOB+∠BOC+∠COD+ ∠DOA= 360°

且∠AOC ：∠BOC ：∠COD ：∠DOA= 1：2：3：4

即原式=∠AOB+2∠AOB+3∠AOB+ 4∠AOB= 360°

即∠AOB= 36°

∴∠BOC= 72°

如圖2：上述各角不同方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，由圖知：

∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA= 2∠BOC+2∠COD≤720°

（∵∠AOB=∠AOC，∠AOD= ∠AOC+∠COD）

即0°<2∠BOC+3∠BOC≤720°

∴ 0°<∠BOC≤144°

∴由圖1、圖2知0°<∠BOC≤144°

三、如何培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力

數(shù)學(xué)不僅研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系，還能研究客觀世界的空間形式?？臻g想象能力的培養(yǎng)對(duì)人的立體思維的形成和發(fā)展有很大幫助，空間想象能力是日常生活中不可缺少的一種能力。如地理勘探、星體研究、建筑設(shè)計(jì)等都離不開空間想象能力，學(xué)生的空間想象能力的培養(yǎng)主要靠立體幾何和空間解析幾何教學(xué)。

例如：如圖3，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)1，求證：A1B1⊥BC1。

證明：異面直線所成的角等于它們的平行線相交而成的角。連接B1C，設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)E，則E是B1C與BC1 的中點(diǎn)（∵BCC1 B1是長(zhǎng)方形），過E作 ACB1的中位線EF，則EF=AB1，EF∥ AB1。

∴∠FEB就是AB1與BC1所成的角。

Rt ABB1中， AB1=Rt BB1C1中，BC1=。

即 EB= EF=。

正三角形ABC中，中線BF=×=。

在 EFB中EF 2+ EB 2=FB 2，+= 。

即 ∠FEB=90°

∴AB1⊥BC1。

四、 如何培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力

分析問題是解決問題的途徑，分析問題能力又是解決問題能力的條件，解決問題能力是分析問題能力的結(jié)果。它們相輔相成，互相促進(jìn)各自的存在和發(fā)展，它們?cè)跀?shù)學(xué)諸能力形成中起著關(guān)鍵作用，任何能力最后都體現(xiàn)在解決問題上。它們的最終目的是解決問題，又是實(shí)踐能力和建模能力的基礎(chǔ)。分析問題和解決問題能力是在整個(gè)數(shù)學(xué)能力中無處不在的普遍能力。所以，培養(yǎng)學(xué)生的此能力要選思維方式比較多的題為好。

例如：某城市在市中心廣場(chǎng)建筑一個(gè)花壇，花壇分為6個(gè)部分（如圖4），現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分要種同一種顏色的花且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花。求共有多少種栽種方法。

分析：因?yàn)?﹑2﹑3部分相互相鄰。

所以1﹑2﹑3部分栽種方法共有4×3×2種；第4部分有兩種選法與第二部分相同和相異。（與1﹑2﹑3部分相同的用@代表，如與第二部分相同的用②代表，不同的用“新”代表。）

若4與2相同且5與3相同時(shí)6只選另一種（新）。若4與2相同但5選另一種（新）時(shí)6只選3。

若4與2不同選另一種（新）且5與2相同時(shí)6選3或另一種（新）。

若4選另一種（新）且5與3相同時(shí)6選另一種（新）。

解：栽種方法共有

即栽種方法共有4×3×2×（1×2+1×3）=120種。

五、 如何培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和建模能力

建模問題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的舊話題新說法，沒有建模，數(shù)學(xué)與客觀世界無法聯(lián)系。但傳統(tǒng)教學(xué)一直沒重視培養(yǎng)學(xué)生的建模能力。課標(biāo)教學(xué)全日制高中課本中無處不在研究建模問題，所以說建模問題是素質(zhì)教育的產(chǎn)物。實(shí)踐能力是建模能力的一個(gè)分支，且建模問題離不開應(yīng)用問題，因?yàn)楹芏嘟６荚趹?yīng)用的基礎(chǔ)上體現(xiàn)出來。應(yīng)用能力和建模能力是數(shù)學(xué)諸能力的發(fā)展、概括和總結(jié)，是創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)諸能力發(fā)展的極點(diǎn)。也是開發(fā)智力、培養(yǎng)能力的最佳途徑。培養(yǎng)建模能力最好利用完全開放題，培養(yǎng)實(shí)踐能力半開放題為佳。

例1：做一道利用二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。

這是一道條件和結(jié)論都是開放的數(shù)學(xué)題，會(huì)給學(xué)生一個(gè)自由發(fā)展的空間，只有在這種環(huán)境下才能發(fā)揮學(xué)生個(gè)性和特長(zhǎng)。讓學(xué)生任選題材，讓學(xué)生自己掌握題的難度和強(qiáng)度，在這種環(huán)境下培養(yǎng)出來的學(xué)生的能力總比在保守環(huán)境下培養(yǎng)出來的學(xué)生的能力強(qiáng)。所以說建模問題是素質(zhì)教育的必經(jīng)之路。

例2：1732年8月，《紅樓夢(mèng)》中人物史湘云與柳湘蓮結(jié)婚后，雙方都沒有足夠的錢去購(gòu)買房院，于是他們找薛蟠借住每年相當(dāng)于210元價(jià)錢的10000M2的房院。并且借據(jù)上注明，歸還本房院時(shí)對(duì)方要還本付息，年利率為8﹪，但借據(jù)上沒有說明按單利計(jì)算還是復(fù)利計(jì)算，過280年后的2012年，本房院劃歸為世界文化遺產(chǎn)。雙方當(dāng)事人的后代到法院打官司，說是利息支付不公平，要求法官判明是非。法官很納悶，這么清楚的事還有必要打官司嗎？請(qǐng)你們給法官解釋清楚他們?yōu)槭裁凑f利息支付不公？

分析：這是一道結(jié)論開放型的題，利息可以按單利計(jì)算，也可以按復(fù)利計(jì)算。

解：按單利計(jì)算，本金=210×280=58800元。利息=16.8×（279+278+277+……+1） =656208元。

共計(jì)：本金+利息=715008元≈71.5萬元。

按復(fù)利計(jì)算，本金=210×280=58800元。

利息=16.8〔（1+0.08）278 +（1+0.08） 277+（1+0.08） 276+……+（1+0.08）+（1+0.08）0〕

=210（109.3186-1）=210（109×100.3186-1）

=210（109×2.08257-1）≈4373億元。

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是教學(xué)一線的數(shù)學(xué)老師們長(zhǎng)期堅(jiān)持的新課題，老師們?cè)诮虒W(xué)過程中有意注意上述五個(gè)方面，會(huì)得到事半功倍的效果。培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力不是課本的簡(jiǎn)單改變，而是老師們知識(shí)的更新、教法的改進(jìn)。只有這樣才能培養(yǎng)出具有數(shù)學(xué)諸能力的合格人才。