于夢梅

在解答物理計算問題時，計算結果往往會出現非整數（小數點位數較多或除不盡）的情況，需對其作必要的近似處理。由于物理計算是應用物理知識通過一定的計算研究物理量之間的關系，其計算結果不僅是數量關系的表述，而且具有一定的實際的物理意義，若近似處理不當，會使整個解題功虧一簣，因此，能否正確處理計算結果是解題成功與否的關鍵一步，掌握正確處理計算結果的方法，是運用物理知識分析解決相關問題的必備的技能之一。對于具體問題，應在應用相關物理知識對計算結果進行分析的基礎上，以符合有關的物理規(guī)律和實際情況為前提，確定正確、合理的處理方法。常用的計算結果的近似處理方法有以下幾種：

一、四舍五入法

一般情況下，可依數學上的“四舍五入法”來處理計算結果（計算結果用有限小數表示），即根據題意確定保留位數，之后的那一位數字若小于或等于4，則將它和后面的數字全部舍去；若大于或等于5，則在需保留的最后一位數字上加1，再舍去后面的數字。

1.根據題目要求“四舍五入”

有些計算中，考題明確提出“保留×位小數”，只需按要求對計算結果“四舍五入”即可。

圖1例1.有一種電子秤的原理圖如圖1所示，它主要由三部分構成：踏板和壓力杠桿ABO，壓力傳感器R（電阻值會隨所受壓力大小發(fā)生變化的可變電阻），顯示重力大小的儀表（實質是電流表），其中AO長20cm，BO長5cm，壓力傳感器R的阻值與所受壓力的關系如下表所示。踏板和杠桿組件的質量可以忽略不計，電源電壓為6V。

（1）重300N的學生站在踏板上時，雙腳與踏板的接觸面積為0.07m2，此時對踏板的壓強是多大？

（2）當重300N的學生站在踏板上時，通過壓力傳感器R的電流為

________________________________________

A。（保留兩位小數）

解析：（1）學生對踏板的壓強p=FNS=GS=300N0.07m2≈4285.71428571Pa

采用“四舍五入法”，因保留的兩位小數后的那一位是“4”，應舍去“4”及其后面的所有數字，故學生對踏板的壓強p≈4285.71Pa。

（2）當重300N的學生站在踏板上時，根據杠桿平衡條件可得F×AO=F′×BO，故壓力傳感器所受的壓力

F=F′×BOAO=300N×5cm20cm=75N

分析表格數據可知，每當壓力增大50N時，壓力傳感器R的電阻減小3Ω。當壓力為50N時壓力傳感器R的電阻為27Ω，故壓力為75N時壓力傳感器R的電阻等于27Ω減去3Ω的一半，即R′=27Ω-1.5Ω=25.5Ω。此時通過壓力傳感器R的電流

I=UR′=6V25.5Ω≈0.235294A

采用“四舍五入法”，因保留的兩位小數之后的那一位是“5”，應進位加“1”，“5”后面的所有數字舍去，故通過壓力傳感器R的電流I≈0.24A。

2.根據實際情況“四舍五入”

有些計算中，考題并沒有明確提出“保留x位小數”的要求，需根據實際情況、經驗常識或相關知識對計算結果“四舍五入”。

例2.小明用一把刻度尺測量物理課本的長度，四次測量結果依次為：25.79cm、25.80cm、25.81cm、25.82cm。則物理課本的長度是

cm。

解析：多次測量，用求平均值的方法來處理測量數據，可減小測量誤差

物理課本的長度

l=25.79cm+25.80cm+25.81cm+25.82cm4=25.805cm

根據刻度尺的使用規(guī)則，測量值的最后一位數字是估讀的數字，故該刻度尺的分度值是mm。平均值所取的位數必須與題中所給測量值的位數相同，即小數點后應保留兩位小數，將小數點后第三位的“5”“四舍五入”，故物理課本的長度應是25.81cm。

例3.有甲、乙兩個金屬工藝品，從外觀上很難辨認出它是什么物質?，F測得甲的體積和質量分別為15cm3、290g，乙的體積和質量分別為5.4cm3、48g。根據表中數據可判斷出這兩個工藝品可能分別是由物質制成的。

解析：密度是物質的基本性質之一，利用密度可鑒別物質。

甲工藝品的密度

ρ甲=m甲V甲=290g15cm3≈19.333333g/cm3

乙工藝品的密度

ρ乙=m乙V乙=48g5.4cm3≈8.888888g/cm3

由密度表可知，固體的密度一般保留一位小數，“四舍五入”后，ρ甲≈19.3g/cm3=19.3×103kg/m3，ρ乙≈8.9g/cm3=8.9×103kg/m3，故甲物質可能是金，乙物質可能是銅。

例4.在“測量小燈泡的電功率”實驗中，電源電壓保持不變，小燈泡的額定電壓為2.5V。某實驗小組的實驗記錄分析表如下：

（1）你認為該小組的數據處理過程是否正確？

答：

________________________________________

；理由是：

________________________________________

。

（2）小燈泡正常發(fā)光時的電阻為

________________________________________

Ω。

解析：（1）由實驗記錄分析表可知，實驗小組的計算結果P額=0.48W+0.70W+0.96W3≈0.713333W，將計算結果“四舍五入”保留與測量值的小數點后的位數相同，即得P額=0.71W。這種計算額定功率及其處理計算結果的方法貌似正確，其實是錯誤的。因為小燈泡在不同電壓下的實際功率不同，小燈泡在額定電壓下的功率是額定功率，由數據表可知，P額=0.70W，故求不同電壓下的實際功率的平均值作為小燈泡的額定功率是錯誤的；理由是：額定功率不等于各功率的平均值。

（2）小燈泡正常發(fā)光，即其兩端電壓等于額定電壓，此時小燈泡的電阻

R=U額I額=2.5V0.28A≈8.928571Ω

由于實驗中測得的電壓值和電流值的小數點后最多為兩位，故計算結果也應保留兩位小數，“四舍五入”后，小燈泡正常發(fā)光時的電阻為R=8.93Ω。

點評：通常情況下，“四舍五入法”是處理計算結果的首選方法，計算結果大多只需保留二至三位小數即可。若考題沒有明確要求，則計算結果小數點后的位數應與題給的相關數據的小數點后的位數相同。

二、收尾進一法

有些情況下，不能采用“四舍五入法”，而應根據實際需要采用“收尾進一法”來處理計算結果，即不管計算結果的尾數（小數點后面的數）是多大，均向整數部分的個位上進一后取整數。這類考題中常有“至少”、“最少”、“最多”等關鍵詞，多為解答有關最值（最大值、最小值）或計算結果為整數的問題。

例5.每只瓶子的容積均為1.5L，現要裝質量為35kg的酒精，則至少需要多少個這樣的瓶子？（酒精的密度為0.8×103kg/m3）

解析：質量為35kg的酒精的體積

V=mρ=35kg0.8×103kg/m3=0.04375m3=43.75L（1m3=103L）

需要瓶子數

n=VV瓶=43.75L1.5L≈29.166666個

因瓶子個數必須為整數而不能為小數，若采用“四舍五入法”取n=29個，顯然裝不完酒精，故應采用“收尾進一法”，將尾數去掉進一后取整，即至少需要30個這樣的瓶子。

圖2例6.一貨箱重104N，一根繩子只能承擔3×103N的力?，F要站在地面上向下拉繩子使貨箱上升，至少要用幾個滑輪？如何繞繩，畫出其裝置圖。

解析：根據滑輪組的動力與阻力的關系可知，承擔貨箱重力的繩子段數n=GF=104N3×103N=3.33段

因繩子的段數必須為整數而不能為小數，故不能采用“四舍五入法”而認為n=3段。若取n=3段，則繩子實際承擔的力

F=Gn=104N3=3.33×103N>3×103N

超出了繩子承受力的限度，繩子會被拉斷。因此，應采用“收尾進一法”，即取n=4段。

組成F=14G的裝置，至少需要3個滑輪，其中2個動滑輪，1個定滑輪；又因人站在地面上向下拉繩子，應再加1個定滑輪。如圖2所示。

例7.學校用標有“36V 25W”字樣的彩色燈泡來布置晚會會場，在照明電路上可以串聯多少盞這樣的彩燈？

解析：照明電路的電壓為220V，每盞彩燈的額定電壓為36V。串聯的彩燈數

n=UU燈=220V36V=6.11盞

由生活經驗可知，彩燈盞數不能為小數，若依“四舍五入法”的原則，取彩燈盞數n=6時，串聯后每盞彩燈兩端的實際電壓

U實=Un=220V6=36.7V>36V

此時彩燈兩端的實際電壓大于其額定電壓，燈泡容易被燒壞，造成電路斷路，故應采用“收尾進一法”，即取n=7盞。若再增加串聯的彩燈數，則每盞彩燈因分壓過低而不能“正常發(fā)光”，可見串聯7盞彩燈是唯一的答案。

點評：在實際問題中，遇到計算結果不能為小數只能取整數時，如瓶子個數、繩子段數、彩燈盞數等均應為整數，此時要考慮采用“收尾進一法”。具體分析時，可先按“四舍五入法”取整數，再根據實際情況的“限制條件”進行判定，如例5中應將酒精裝完、例6中繩子承受拉力的限度、例7中彩燈的實際電壓不能超過其額定電壓，從而確定是否將小數部分“收尾進一”。

三、去尾取整法

有些情況下，根據實際情況應采用“去尾取整法”來處理計算結果，即將計算結果的尾數（小數點后面的數）不論大小一律舍去，只保留整數。

例8.教學樓的總保險盒中的保險絲允許通過的最大電流為30A，樓內有24間教室，每間教室裝有6盞40W日光燈。當全部日光燈都發(fā)光時，最多還能在樓梯走廊處再接25W的電燈多少盞？

解析：照明電路的電壓為220V，保險絲允許接入的總功率

P總=UI=220V×30A=6600W

教學樓日光燈的總功率

P日光燈=40W×24×6=5760W

最多接入的電燈盞數

n=P總-P日光燈P電燈=6600W-5760W25W

=33.6盞

因電路中最大工作電流不得大于保險絲允許通過的最大電流，或者電路中用電器的總功率不得大于保險絲允許接入的總功率，否則保險絲容易熔斷。若采用“四舍五入法”或“去尾進一法”，取34盞，則教學樓日光燈和電燈的總功率

P總′=40W×24×6+25W×34=6610W>6600W

（或電路中最大正常工作電流：I=P總′U=6610W220V=30.1A>30A）。

故應采用“去尾取整法”，即取n=33盞。

圖3例9.在新農村建設中，用一種厚度為8cm、密度為2.4×103kg/m3的長方體磚砌墻，砌墻使用的水泥砂漿的密度為2.2×103kg/m3，磚縫間水泥砂漿的厚度為1cm，如圖3所示。為保證安全，墻體對墻基的壓強不得超過4.9×105Pa，求此磚墻的高度不得超過多少？

解析：設墻的底面積為S，砌好的墻中磚的總厚度為h1，磚縫間水泥砂漿的總厚度為h2，則墻的高度h=h1+h2。因磚的厚度為8cm，砂漿的厚度為1cm，則有h1∶h2=8∶1，故h1=8h2。 墻體中磚的總重

G1=m1g=ρ1gh1S

砂漿的總重

G2=m2g=ρ2gh2S。

墻體對墻基的壓強

p=G1+G2S=ρ1gh1+ρ2gh2=（8ρ1+ρ2）gh2

故砂漿的總厚度

h2=p（8ρ1+ρ2）g

=4.9×105Pa（8×2.4×103kg/m3+2.2×103kg/m3）×9.8N/kg

≈2.34m

磚的總厚度

h1=8h2=8×2.34m=18.72m

墻的最大高度

h=h1+h2=18.72m+2.34m=21.06m

若不對計算結果進行處理，取墻的最大高度為h=21.06m，則墻體對墻基的壓強

p=（8ρ1+ρ2）gh2

=（8×2.4×103kg/m3+2.2×103kg/m3）×9.8N/kg×2.34m

=4.907448×105Pa>4.9×105Pa，超過了墻基能承受的壓強。

若采用“四舍五入法”或“去尾進一法”，取h=21.1m或h=22m，則墻體對墻基的壓強同樣超過了墻基能承受的壓強。故應采用“去尾取整法”，即磚墻的高度不得超過h=21m。

點評：在實際問題中，可先采用“四舍五入法”或“去尾進一法”處理計算結果，若不能保證“安全”或超出“限制條件”時，考慮將小數部分“去尾取整”。