杜學(xué)龍王智新鄒 軍（. 清華大學(xué)電機(jī)系 北京 00084 . 北京全路通信信號(hào)研究設(shè)計(jì)院 北京 00073）

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考慮大地影響高速鐵路軌道電路互阻抗快速計(jì)算簡(jiǎn)化公式

杜學(xué)龍1王智新2鄒 軍1
（1. 清華大學(xué)電機(jī)系 北京 100084 2. 北京全路通信信號(hào)研究設(shè)計(jì)院 北京 100073）

摘要相鄰軌道電路互阻抗是軌道電路計(jì)算分析的重要參數(shù)之一?？紤]大地影響，推導(dǎo)了相鄰軌道電路互阻抗簡(jiǎn)化表達(dá)式。根據(jù)Deri地阻抗表達(dá)式，獲得兩個(gè)相鄰軌道電路之間的互阻抗；考慮軌道電路空間位置特點(diǎn)，采用泰勒公式對(duì)相鄰軌道電路互阻抗表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到一種快速計(jì)算公式。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，化簡(jiǎn)后的相鄰軌道互阻抗計(jì)算公式準(zhǔn)確度高，可方便計(jì)算考慮大地情況下相鄰軌道電路互阻抗。

關(guān)鍵詞：高速鐵路 軌道電路 互阻抗

A Fast and Simplified Formula for Calculating the Mutual Impedance with the Earth Return of the High-Speed Railway Track Circuit

Du Xuelong1Wang Zhixin2Zou Jun1
（1. Electrical Engineering Department Tsinghua University Beijing 100084 China 2. Beijing National Railway Research & Design Institute of Signal & Communication Beijing 100073 China）

Abstract The mutual impedance of two adjacent track circuits is one of the important parameters for analyzing the track circuit. Considering the earth return of the high-speed railway track circuit, a fast and simplified formula for calculating the mutual impedance is studied in this paper. First, the mutual impedance of two adjacent track circuits is obtained based on the Deri’s ground impedance expression. Then, according to the spatial location characteristics of track circuit, the expression of the mutual impedance is simplified through Taylor formula. The results indicate that the simplified formula has high accuracy, and is suitable for calculating the mutual impedance with the earth return of two adjacent track circuits.

Keywords：High-speed railway, track circuit, mutual impedance

0 引言

軌道電路是保證高速鐵路穩(wěn)定運(yùn)行的重要技術(shù)之一[1-6]，軌道互阻抗是軌道電路計(jì)算的重要參數(shù)[7-9]。對(duì)于客運(yùn)專線四對(duì)線路并行運(yùn)行情況，相鄰線路同頻信號(hào)會(huì)通過空間耦合等方式在本區(qū)段產(chǎn)生干擾[10]，該干擾可能導(dǎo)致軌道電路信號(hào)的誤動(dòng)作，需要分析相鄰線路互阻抗以設(shè)計(jì)正確的軌道電路。對(duì)于低頻軌道電路，可忽略大地對(duì)軌道互阻抗影響，但對(duì)于高速鐵路軌道電路（f =1 700～2 600Hz），應(yīng)考慮大地對(duì)軌道互阻抗影響。

對(duì)于軌道互阻抗計(jì)算有多種方法。根據(jù)電磁場(chǎng)理論推導(dǎo)滿足邊界條件的波動(dòng)方程，分析軌道電路的傳輸特性，該方法分析嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?jì)算量大；采用數(shù)值計(jì)算方法可考慮不同的介質(zhì)分布，但該方法對(duì)操作人員有一定的技術(shù)要求；根據(jù)Carson地阻抗公式計(jì)算軌道互阻抗，考慮了大地對(duì)軌道互阻抗影響，但涉及復(fù)數(shù)計(jì)算，計(jì)算復(fù)雜。

針對(duì)以上問題，本文采用Carson地阻抗簡(jiǎn)化公式（Deri地阻抗公式）計(jì)算軌道互阻抗，考慮軌道電路空間位置特點(diǎn)，并采用泰勒公式對(duì)所求解進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到快速計(jì)算軌道互阻抗的簡(jiǎn)化公式。本文簡(jiǎn)化的軌道互阻抗公式只涉及軌道間距、軌道高度、信號(hào)頻率和土壤電導(dǎo)率基本參數(shù)，便于計(jì)算且準(zhǔn)確度高，適用于工程計(jì)算；同時(shí)，本文簡(jiǎn)化公式給出了軌道互阻抗中電阻和電抗的顯式表達(dá)式。

1 快速計(jì)算軌道互阻抗簡(jiǎn)化公式推導(dǎo)

1.1 軌道互阻抗求解問題

對(duì)于多條軌道并行運(yùn)行情況，相鄰軌道通過空間耦合存在鄰線干擾問題。圖1為兩條并行軌道簡(jiǎn)化圖，由圖可見，軌道1與軌道2之間存在耦合互感M，當(dāng)軌道1存在軌道電路信號(hào)時(shí)，即圖1中電流I，該信號(hào)將在軌道1周圍產(chǎn)生磁場(chǎng)，并通過空間耦合方式在軌道2上產(chǎn)生干擾。若在考慮大地影響情況下求解軌道互阻抗，可采用Carson地阻抗公式[11]。

圖1 兩條并行軌道簡(jiǎn)化Fig.1 Simplified diagram of two parallel tracks

圖2為地面上雙導(dǎo)線系統(tǒng)，在考慮大地影響情況下，導(dǎo)線k與導(dǎo)線l單位長(zhǎng)度的互阻抗可由Carson地阻抗廣義積分形式表示為

圖2 地面上雙導(dǎo)線系統(tǒng)Fig.2 Double wire system above the ground

式中，ω為信號(hào)角頻率；μ0為真空磁導(dǎo)率；σg為大地電導(dǎo)率；hk為導(dǎo)線k到地面距離；hl為導(dǎo)線l到地面距離；dkl為兩導(dǎo)線水平距離。

為克服式（1）求解收斂的困難，Gary在研究電力系統(tǒng)故障時(shí)提出復(fù)深度地回路，并由A. Deri等人[12]在理論上證明了Carson方法與復(fù)深度地回路方法的關(guān)系，將大地用一組地回流導(dǎo)線代替[13]，簡(jiǎn)化了Carson對(duì)地面上導(dǎo)線自阻抗和互阻抗的求解，即Deri地阻抗公式。圖3為低頻近似條件下，導(dǎo)線的鏡像及鏡像地回流線。圖中，l'為鏡像導(dǎo)線，l''為鏡像地回流導(dǎo)線，p為大地中低頻近似趨膚深度。

圖3 導(dǎo)線的鏡像及地回流線Fig.3 Tire image and ground return wire

根據(jù)Deri簡(jiǎn)化公式，式（1）可近似表示為

式中，rkl為導(dǎo)線k與導(dǎo)線l的鏡像導(dǎo)線之間距離；Rkl為導(dǎo)線k與導(dǎo)線l的鏡像地回流導(dǎo)線之間距離。有

1.2 采用Deri地阻抗公式求解軌道互阻抗

圖4為兩條并行軌道互阻抗。圖中，d為一個(gè)軌道中兩鋼軌的間距（一般取值為1.435m）；D為相鄰軌道的間距；h為鋼軌中心線到地面的距離。

將鋼軌等效為其中心線處的導(dǎo)線，根據(jù)式（2）計(jì)算鋼軌1與鋼軌3互阻抗為

同理，計(jì)算鋼軌1、2與鋼軌3、4互阻抗為

圖4 兩條并行軌道互阻抗Fig.4 Mutual impedance of two parallel tracks

式中，rij為鋼軌i與鋼軌j的鏡像間距；Rij為鋼軌i與鋼軌j的鏡像地回流線間距。

所以，當(dāng)鋼軌1、2組成的軌道電路通入信號(hào)時(shí)，采用Deri公式計(jì)算軌道互阻抗為1.3 軌道互阻抗公式化簡(jiǎn)

式（8）涉及參數(shù)多，計(jì)算復(fù)雜，不適用于工程計(jì)算。根據(jù)高速鐵路軌道的空間位置特點(diǎn)，有

根據(jù)式（9）和式（10），通過泰勒公式和余弦定理對(duì)式（8）進(jìn)行整理化簡(jiǎn)可得

式中

對(duì)式（8）的具體簡(jiǎn)化方法和過程見附錄。由式（11）～式（13）可看出，該化簡(jiǎn)公式給出了軌道互阻抗中電阻和電抗的顯式表達(dá)式；并且通過軌道間距、軌道高度、信號(hào)頻率及土壤電導(dǎo)率四個(gè)基本參數(shù)可快速求解軌道互阻抗。

2 數(shù)值算例分析

2.1 大地對(duì)軌道互感影響

不考慮大地影響時(shí)，將鋼軌等效為其中心線處的導(dǎo)線，單位長(zhǎng)度軌道互感可表示為[14]

通過式（8）計(jì)算考慮大地影響時(shí)軌道互感M有大地，圖5為有、無大地時(shí)軌道互感的相對(duì)差異。選取計(jì)算參數(shù)為D=5～15m，h=0.2m、0.4m、0.7m，f = 1 700Hz，σg=0.01S/m。相對(duì)差異計(jì)算式為

圖5 有、無大地時(shí)軌道互感的相對(duì)差異Fig.5 Relative difference between track mutual inductance with and without earth return

由圖5可知，在不同軌道高度和軌道間距時(shí)，考慮大地影響和不考慮大地影響兩種情況下，軌道互感的相對(duì)差異在5%～30%之間，因此對(duì)于高速軌道電路，應(yīng)該考慮大地對(duì)軌道互感的影響。

2.2 軌道間距與軌道高度變化的影響

當(dāng)D=5m，h=0.4m，f =1 700Hz，σg=0.01S/m時(shí)，由式（8）計(jì)算軌道互阻抗，其中電阻部分為0.147mΩ，電抗部分為0.169Ω（軌道長(zhǎng)度為1 000m）。由此可見在軌道互阻抗中，電阻遠(yuǎn)小于電抗，因此主要驗(yàn)證化簡(jiǎn)式（11）中電抗部分的正確性，同樣在計(jì)算過程中取軌道長(zhǎng)度為1 000m。

根據(jù)實(shí)際情況，相鄰軌道間距最少為5m，軌道高度為0.4m左右，考慮四線并行，選取計(jì)算參數(shù)為：D=5～15m，h=0.2m、0.4m、0.7m，f =1 700Hz，σg= 0.01S/m。分別根據(jù)式（8）和式（11）計(jì)算軌道互阻抗中電抗部分，其對(duì)比結(jié)果如圖6所示，圖中XDeri為式（8）計(jì)算結(jié)果，X為式（11）計(jì)算結(jié)果。圖7為兩式計(jì)算軌道互阻抗中電抗的相對(duì)差異，該相對(duì)差異用δ1表示，并以XDeri為基準(zhǔn)，其相對(duì)差異計(jì)算式與式（15）類似。

由圖6可知，在軌道間距和軌道高度變化時(shí)，式（11）與式（8）求解結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了化簡(jiǎn)式的正確性。由圖7可知，不同情況下，兩式求解結(jié)果最大相對(duì)差異在2.5%以下?？紤]到軌道高度一般在0.4m左右，根據(jù)圖7可認(rèn)為兩式求解結(jié)果相對(duì)差異在1%以下。

圖6 不同軌道間距和軌道高度時(shí)X與XDeri對(duì)比Fig.6 Comparison between X and XDeriwith different track spaces and track heights

圖7 不同軌道間距和軌道高度時(shí)X與XDeri相對(duì)差異Fig.7 Relative difference between X and XDeriwith different track spaces and track heights

2.3 信號(hào)頻率和土壤電導(dǎo)率變化的影響

根據(jù)實(shí)際軌道電路運(yùn)行情況，選取計(jì)算參數(shù)為D = 5m，h=0.4m，f =1 700Hz、2 000Hz、2 300Hz、2 600Hz，σg=0.01～1S/m。分別根據(jù)式（8）和式（11）計(jì)算軌道互感，其對(duì)比結(jié)果如圖8所示，圖中MDeri為式（8）計(jì)算結(jié)果，M為式（11）計(jì)算結(jié)果。兩式計(jì)算軌道互感的相對(duì)差異如圖9所示，該相對(duì)差異用δ2表示，并以MDeri為基準(zhǔn)，其相對(duì)差異計(jì)算式與式（15）類似。

由圖8可知，信號(hào)頻率和土壤電導(dǎo)率變化時(shí)，式（11）與式（8）求解結(jié)果相差小。由圖9可知，信號(hào)頻率和土壤電導(dǎo)率變化時(shí)，式（8）與式（11）所求結(jié)果的相對(duì)差異在4%以下。考慮到大地電導(dǎo)率一般小于0.5S/m，根據(jù)圖9可認(rèn)為兩式所求結(jié)果相對(duì)差異在1%以下。

通過以上計(jì)算可知，在計(jì)算軌道互阻抗時(shí)，應(yīng)考慮大地對(duì)其的影響；在不同軌道間距、軌道高度、信號(hào)頻率及土壤電導(dǎo)率情況下，本文化簡(jiǎn)公式求解軌道互阻抗的結(jié)果與Deri地阻抗公式求解結(jié)果相對(duì)差異小，適用于工程計(jì)算。

圖8 不同信號(hào)頻率和土壤電導(dǎo)率時(shí)M與MDeri對(duì)比Fig.8 Comparison between M and MDeriwith different signal frequencies and soil conductivities

圖9 不同信號(hào)頻率和土壤電導(dǎo)率時(shí)M與MDeri相對(duì)差異Fig.9 Relative difference between M and MDeriwith different signal frequencies and soil conductivities

3 結(jié)論

本文根據(jù)Deri地阻抗公式及軌道電路空間位置特點(diǎn)，推導(dǎo)了考慮大地影響情況下高速軌道互阻抗簡(jiǎn)化公式。計(jì)算表明：計(jì)算高速軌道互阻抗時(shí)，應(yīng)考慮大地影響；本文推導(dǎo)的計(jì)算軌道互阻抗簡(jiǎn)化公式計(jì)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確度高，適用于工程計(jì)算；本文簡(jiǎn)化公式給出了軌道互阻抗中電阻和電抗的顯式表達(dá)式；軌道互阻抗中電阻部分遠(yuǎn)小于電抗部分，可忽略不計(jì)。

附 錄

根據(jù)泰勒公式得

對(duì)式（A1），若

則將式（8）表示為式中

根據(jù)圖4，將式（A5）整理為

因?yàn)檐壍离娐沸盘?hào)頻率可使式（9）成立，所以對(duì)于式（A7）中，有

根據(jù)式（A3），將式（A7）化簡(jiǎn)整理為

對(duì)于式（A6），其中參數(shù)主要為鋼軌1、2與鋼軌3、4鏡像鋼軌之間的距離，如附圖1所示，四邊形123' 4'為平行四邊形，r13和r24為平行四邊形的對(duì)角線，r23和r14為平行四邊形的對(duì)邊，所以有在123'△中，利用余弦定理可得

附圖1 鋼軌1、2與鋼軌3、4的鏡像鋼軌之間的距離App. Fig.1 Distance between rail 1, 2 and the rail image of rail 3, 4

在△124'中，利用余弦定理可得

根據(jù)式（A12）～式（A14），將式（A6）整理得

軌道空間位置特點(diǎn)可使式（10）成立，并根據(jù)式（A1）對(duì)式（A15）進(jìn)行泰勒公式展開，取前兩項(xiàng)并化簡(jiǎn)整理得

根據(jù)式（A11）和式（A16），將式（A4）化簡(jiǎn)整理可得式（11）。

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杜學(xué)龍 男，1988年生，博士研究生，研究方向?yàn)楦咚勹F路軌道電路鄰線干擾。

E-mail: xuelong.99@163.com（通信作者）

鄒 軍 男，1971年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡姶艌?chǎng)計(jì)算及應(yīng)用。

E-mail: zoujun@tsinghua.edu.cn

作者簡(jiǎn)介

收稿日期2014-08-25 改稿日期 2015-04-08

中圖分類號(hào)：TM153