吳志剛，劉玉亮，張開(kāi)明，鄔樹(shù)楠

(1.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連116024; 2.大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院，大連116024)

高階重力和力矩對(duì)空間太陽(yáng)能電站運(yùn)動(dòng)的影響*

吳志剛1，2，劉玉亮1，2，張開(kāi)明1，2，鄔樹(shù)楠1，2

(1.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連116024; 2.大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院，大連116024)

相比于傳統(tǒng)衛(wèi)星，空間太陽(yáng)能電站具有超大的尺寸，高階重力和重力梯度對(duì)其軌道和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響將不能再忽略.文中以地球同步拉普拉斯軌道上的太陽(yáng)塔式空間太陽(yáng)能電站為例，研究了在考慮地球扁率的引力場(chǎng)中，高階重力和力矩對(duì)空間太陽(yáng)能電站姿軌運(yùn)動(dòng)的影響.首先將空間太陽(yáng)能電站的重力勢(shì)函數(shù)進(jìn)行泰勒展開(kāi)，并保留至四階項(xiàng);然后求出電站所受到的重力和重力梯度力矩，并給出其軌道和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程;最后通過(guò)數(shù)值仿真來(lái)分析不同階次的力和力矩對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)的影響.結(jié)果表明:高階力對(duì)衛(wèi)星軌道的影響較大，可達(dá)到百米量級(jí);高階力矩對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)影響則較小，可忽略不計(jì).

高階重力和力矩;泰勒展開(kāi);地球扁率;空間太陽(yáng)能能電站

0 引言

1968年美國(guó)科學(xué)家Glaser［1］首先提出空間太陽(yáng)能電站(space solar power station，SSPS)的概念.自從這一概念提出以來(lái)，多個(gè)航天大國(guó)陸續(xù)開(kāi)展了相關(guān)研究.迄今為止，共有20多種概念方案被陸續(xù)提出［2］.

為了保證SSPS的正常在軌運(yùn)行，必須對(duì)其軌道和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究.在以往的研究中，航天器軌道和姿態(tài)往往是分開(kāi)的，并沒(méi)有考慮到它們之間的重力耦合作用［3-5］.傳統(tǒng)衛(wèi)星由于其尺寸較小，其高階重力和重力梯度力矩往往可忽略不計(jì).但對(duì)于SSPS這種尺寸達(dá)到km量級(jí)的超大型尺寸航天器而言，高階重力和力矩的作用將會(huì)變得顯著.因此有必要對(duì)其在考慮高階力和力矩下的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究.

在關(guān)于高階重力和力矩的研究中，Duboshin［6］首先推導(dǎo)了兩種任意構(gòu)型天體之間在考慮高階重力和力矩下的姿軌耦合運(yùn)動(dòng)方程.Lange［7］研究了一種任意構(gòu)型航天器在地球中心重力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，并將其引力勢(shì)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式保留至ε2項(xiàng)，其中ε= ρ/R，ρ為航天器的特征尺寸，R為衛(wèi)星運(yùn)行的軌道半徑，從而給出了便于計(jì)算的重力場(chǎng)中的姿軌耦合運(yùn)動(dòng)方程.Wang等［8］研究了航天器在某顆小行星引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析了小行星扁率對(duì)重力姿軌耦合運(yùn)動(dòng)的影響.

本文以圖1所示太陽(yáng)塔(sun tower)式空間太陽(yáng)能電站為對(duì)象，研究地球高階重力和重力梯度力矩對(duì)SSPS姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和軌道運(yùn)動(dòng)的影響.文章第1節(jié)在考慮地球扁率的引力場(chǎng)中，給出SSPS在軌運(yùn)行時(shí)所受到的重力和力矩;第2節(jié)將給出SSPS的軌道運(yùn)動(dòng)和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程;第3節(jié)分析不同階次力和力矩對(duì)SSPS姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和軌道運(yùn)動(dòng)的影響;結(jié)論將在第4節(jié)給出.

1 重力和重力梯度力矩

1.1 重力勢(shì)函數(shù)

太陽(yáng)塔式SSPS在地球中心重力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)如圖2所示.其中，Oe表示地球質(zhì)心，e表示地球;R表示從Oe到衛(wèi)星質(zhì)心O的位置矢量;r表示從Oe到質(zhì)量單元dm的矢量;ρ表示從O到dm的位置矢量.為了描述SSPS的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，這里引入兩個(gè)坐標(biāo)系.一個(gè)是S(i，j，k)慣性坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為Oe;i，j均位于地球赤道平面內(nèi)，且i的方向Oe指向春分點(diǎn)，k與i，j共同構(gòu)成右旋正交系;另一個(gè)是Sb(，，)航天器固聯(lián)坐標(biāo)系，具體定義參考文獻(xiàn)［9］.

圖1 太陽(yáng)塔式空間太陽(yáng)能電站Fig.1 The configuration of sun tower SSPS

圖2 太陽(yáng)塔式SSPS在地球軌道上的運(yùn)動(dòng)Fig.2 A sun tower SSPS moves in earth orbit

設(shè)由固聯(lián)坐標(biāo)系Sb到慣性系S的坐標(biāo)變換矩陣為

Rb=［和Rs=［RxRyRz］T分別表示R在坐標(biāo)系Sb和S下的投影;且滿足Rs=ARb.設(shè)ρb=［x y z］T，ρs=［ρxρxρy］T分別表示ρ在Sb和S下的投影，則r在Sb下的投影可表示為rb=ρb+Rb.

衛(wèi)星的質(zhì)量單元dm在地球中心重力場(chǎng)中的勢(shì)函數(shù)為

相比于傳統(tǒng)衛(wèi)星，SSPS的尺寸過(guò)大，對(duì)其求總體勢(shì)函數(shù)時(shí)不能再將其當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理.對(duì)式(2)進(jìn)行泰勒展開(kāi)，并保留至(ρ/r)4，可得

為了便于描述太陽(yáng)塔式SSPS的重力勢(shì)函數(shù)，這里引入一個(gè)新的變量［10］

相比于太陽(yáng)塔構(gòu)型的空間太陽(yáng)能電站的長(zhǎng)(z)和寬(x)，其厚度(y)只有幾米，故可忽略不計(jì).因此，x，y，z的取值范圍可表示為:y=0，－h(huán)/2≤x≤h/2，－l/2≤z≤l/2.dm=σdxdz，這里σ=2.5 kg/m2為空間太陽(yáng)能電站的面密度.此外，由于太陽(yáng)塔式SSPS的對(duì)稱構(gòu)型可得

設(shè)Ixx，Iyy，Izz分別為SSPS繞固聯(lián)坐標(biāo)系3個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義可知:Ixx=Jyy+Jzz，Iyy= Jxx+Jzz，Izz=Jxx+Jyy.

將式(4)～(10)代入式(2)并進(jìn)行積分可得SSPS的重力勢(shì)函數(shù)為

1.2 重力和重力梯度力矩

由式(11)可知，重力勢(shì)函數(shù)U與a1，a2無(wú)關(guān)，故勢(shì)函數(shù)可寫(xiě)為:U=U(Rb，a3);設(shè)衛(wèi)星所受到的萬(wàn)有引力在S下的投影為:f=［fxfyfz］T，在Sb下的投影為:F=［FxFyFz］T，則二者滿足［8，11］

設(shè)衛(wèi)星所受到的重力梯度力矩在航天器固聯(lián)坐標(biāo)系下的投影為T(mén)=［TxTyTz］T，則引力梯度力矩可以表示為［8，11］

2 衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方程

衛(wèi)星的軌道運(yùn)動(dòng)方程為

為了避免歐拉角描述姿態(tài)時(shí)存在的奇異問(wèn)題，這里采用四元數(shù)來(lái)描述空間太陽(yáng)能電站的姿態(tài)運(yùn)動(dòng).設(shè)Sb相對(duì)于S的四元數(shù)元素為Q=(q0，q)，其中q0=cos(θ/2)，q=asin(θ/2).a和θ分別表示從Sb到S的旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角［12］.則從Sb到S的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣可表示為［8］

衛(wèi)星的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程為［8］

3 數(shù)值仿真

為了分析高階重力和重力梯度力矩對(duì)SSPS軌道運(yùn)動(dòng)和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響，本節(jié)給出了一個(gè)仿真算例.其仿真結(jié)果如圖3～4所示.其中，圖3表示不同階次重力的大小以及它們對(duì)SSPS軌道運(yùn)動(dòng)的影響.圖4則表示高階重力梯度力矩的大小以及它對(duì)SSPS姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響.這里，為了使地球扁率引起的高階重力和力矩不為零，選擇地球同步拉普拉斯軌道作為SSPS的運(yùn)行軌道.地球同步拉普拉斯軌道是一種特殊的地球同步軌道，其軌道偏心率為0，軌道傾角為7.9°，軌道半徑為R1=42 164.169 km.作為SSPS一種潛在的運(yùn)行軌道，地球同步拉普拉斯軌道有相比于其他運(yùn)行軌道獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)［4］;SSPS的初始條件為

式中，R0，v0分別表示SSPS位置矢量和速度在慣性坐標(biāo)系S下的投影，且滿足:，，i=7.9°為軌道傾角.

圖3 不同階次力的大小及其對(duì)SSPS軌道運(yùn)動(dòng)的影響Fig.3 The magnitude of different order gravitational force and its influence to the orbital motion of SSPS

不同階次力對(duì)SSPS軌道運(yùn)動(dòng)的影響如圖3左列所示.圖中，Δ1(NM)表示只考慮U(0)引起的重力時(shí)軌道半徑與準(zhǔn)確值之間的差值;這里準(zhǔn)確值是指考慮式(11)中全部勢(shì)函數(shù)時(shí)SSPS軌道半徑的值.Δ2(FOM)表示只考慮U(0)，和時(shí)的軌道半徑與準(zhǔn)確值之間的差值;Δ3(SOM)表示只考慮U(0)和U(2)時(shí)軌道半徑與準(zhǔn)確值之間的差值.不同階次力的大小如圖3右列所示;其中，SDFF表示高階勢(shì)函數(shù)U(2)，和項(xiàng)產(chǎn)生重力的大小;SOF表示U(2)項(xiàng)產(chǎn)生重力的大小;FOF表示和項(xiàng)產(chǎn)生重力的大小.從圖4中可以看出，對(duì)于運(yùn)行在地球同步拉普拉斯軌道上的SSPS，其高階力對(duì)其軌道的影響可達(dá)到百米量級(jí)，且主要是由二階力引起;而更高階力對(duì)其軌道的影響很小，可忽略不計(jì).

圖4 高階力矩的大小及其對(duì)SSPS姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響Fig.4 The magnitude of different order gravitational torque and its influence to the attitude motion of SSPS

高階力矩的大小及其對(duì)SSPS姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響如圖4所示.圖4(a)表示在SSPS運(yùn)行的兩個(gè)周期內(nèi)，只考慮U(0)，U(2)時(shí)的姿態(tài)角θ(θ=2arccos(q0))與同時(shí)考慮式(11)中全部勢(shì)函數(shù)時(shí)SSPS姿態(tài)角θ0之間的差值，即δ1=θ0－θ.圖4(b)表示重力勢(shì)函數(shù)和項(xiàng)產(chǎn)生的重力梯度力矩的大小.從圖4中可以看出高階力矩對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響較小，兩個(gè)周期內(nèi)達(dá)到的幅值約為0.2°，可忽略不計(jì).此外，由于空間太陽(yáng)能電站的對(duì)稱構(gòu)型，從而致使三階勢(shì)函數(shù)為零.故而導(dǎo)致高于二階的力和力矩對(duì)SSPS的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和軌道運(yùn)動(dòng)影響較小;對(duì)于非對(duì)稱構(gòu)型的航天器，其高階重力和重力梯度力矩對(duì)姿軌運(yùn)動(dòng)的影響需重新考慮.

4 結(jié)論

本文研究了太陽(yáng)塔式SSPS運(yùn)行在地球同步拉普軌道上時(shí)高階重力和重力梯度力矩對(duì)其姿軌運(yùn)動(dòng)的影響.分析了不同階次力和力矩對(duì)SSPS軌道運(yùn)動(dòng)和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響，并進(jìn)行了數(shù)值仿真.結(jié)果表明:

(1)高階力對(duì)其軌道的影響可達(dá)到100m量級(jí)，且主要由二階力引起，高于二階力的高階力的影響可忽略不計(jì);

(2)高階力矩對(duì)其姿態(tài)的影響較小，兩個(gè)周期后的誤差約為0.2°，可忽略不計(jì).但對(duì)于非對(duì)稱構(gòu)型的SSPS，高階重力和力矩的影響需重新考慮.

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The Influences of Higher Order Gravitational Force and Torque to the Motion of Space Solar Power Station

WU Zhigang1，2，LIU Yuliang1，2，ZHANG Kaiming1，2，WU Shunan1，2
(1.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China; 2.School of Aeronautics and Astronautics，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China)

Comparing to traditional satellites，space solar power stations have large size.The influences of higher order gravitational force and torque to the orbital and attitude motion should be considered carefully.The influences of higher order gravitational force and torque to the orbital and attitude motion of a sun Tower space solar power station working in the earth’s gravitational field which the oblateness of earth is considered will be studied in this paper.Firstly，the gravitational potential function will be expanded in a Taylor series up to fourth order;Secondly，the gravitational force and torque of a solar power station will be derived and the equations of the attitude and orbital motion of solar power station are given.At last，the influence of the higher order gravitational force and torque to the orbital and attitude motion will be analyzed by numerical simulation.The result shows that the influence of the higher order gravitational force to the orbital motion can reach the order of 100m and the influence of the higher order gravitation torque to the attitude motion is small enough to be neglected.

higher order gravitational force and torque;Taylor expansion;earth oblateness;space solar power station

V412.4

A

1674-1579(2016)04-0001-05

10.3969/j.issn.1674-1579.2016.04.001

吳志剛(1971—)，男，教授，研究方向?yàn)楹教炱鲃?dòng)力學(xué)與控制的研究;劉玉亮(1991－)，男，博士研究生，研究方向?yàn)榇笮秃教炱鬈壍绖?dòng)力學(xué)，姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制研究;張開(kāi)明(1992—)，男，博士研究生，研究方向?yàn)榇笮徒Y(jié)構(gòu)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制;鄔樹(shù)楠(1982—)，男，博士，研究方向?yàn)楹教炱鞯淖藨B(tài)控制方法.

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11432010＆11502040)和中央高校基本科研資助項(xiàng)目(DUT15LK31).

2016-06-29