咸明輝，羅欣，沈安文，劉峰（華中科技大學自動化學院，湖北武漢430074）

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基于擾動轉(zhuǎn)矩反饋的機械諧振抑制方法

咸明輝，羅欣，沈安文，劉峰
（華中科技大學自動化學院，湖北武漢430074）

摘要：伺服驅(qū)動被用在很多工業(yè)應(yīng)用中，伺服系統(tǒng)中電機和負載之間的柔性連接環(huán)節(jié)會惡化伺服系統(tǒng)的性能，甚至會引起系統(tǒng)不穩(wěn)定。分析了伺服系統(tǒng)產(chǎn)生機械諧振的原理，并提出了一種基于擾動轉(zhuǎn)矩反饋的諧振抑制方法。該方法利用Luenberger觀測器來觀測擾動轉(zhuǎn)矩，并將擾動轉(zhuǎn)矩通過一個比例積分環(huán)節(jié)反饋回電流給定。此外，還給出了一種反饋系數(shù)K的整定方法，并在理論上分析了該參數(shù)整定方法的合理性。最后，基于Matlab/Simulink平臺搭建了伺服諧振系統(tǒng)的仿真模型，并對提出的方法進行了仿真驗證。

關(guān)鍵詞：伺服系統(tǒng)；諧振抑制；擾動轉(zhuǎn)矩反饋；Luenberger觀測器

交流伺服驅(qū)動被應(yīng)用在很多工業(yè)領(lǐng)域中，例如金屬切割，包裝，紡織業(yè)，web處理，自動裝配和印刷等［1］。在實際工業(yè)應(yīng)用中，執(zhí)行機構(gòu)通過聯(lián)軸器、傳動軸等傳動裝置與電機相連。這些傳動環(huán)節(jié)的剛性限度往往是有限的，但是在進行控制器設(shè)計的時候，設(shè)計者一般都是將連接環(huán)節(jié)當成是理想剛性環(huán)節(jié)來處理［2］。這種簡化的處理會惡化系統(tǒng)的性能，甚至會使系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定。

近年來，很多學者都致力于伺服諧振問題的研究，他們提出了很多抑制諧振的方法。其中最直接的方法就是降低系統(tǒng)在諧振頻率處的增益。在系統(tǒng)中加入濾波器來抑制諧振是比較常用的方法［1］。在使用濾波器抑制諧振的方法中，最簡單的就是使用低通濾波器來降低系統(tǒng)的整體增益，使得系統(tǒng)在諧振頻率處獲得足夠的穩(wěn)定裕度，但是使用低通濾波器會降低系統(tǒng)的帶寬，導致系統(tǒng)性能下降。第2種方法就是在系統(tǒng)中加入陷波器，陷波器類似于一個帶阻濾波器。陷波器可以在某個特定的頻率范圍內(nèi)提供很大的幅值衰減，在諧振系統(tǒng)中加入陷波器可以有效衰減諧振頻率附近的幅值增益，同時對其他頻率處產(chǎn)生較小的影響。因此基于陷波器的諧振抑制方法在實際中被廣泛應(yīng)用。還有一種濾波器是雙二階濾波器，它可以完全消除諧振方程帶來的影響，在理論上是最可行的辦法，但是，它對參數(shù)的估計要求非常高，而且在負載側(cè)會存在振蕩［1］，在實際中較少用到。

除了濾波法之外，抑制諧振的另外一種有效方法是加速度反饋法［3］。加速度反饋的本質(zhì)是通過改變系統(tǒng)的電機負載慣量比來抑制諧振。但是，在實際的伺服系統(tǒng)中，直接對位置信號進行微分得到的加速度是不可靠的，因為位置信號的獲取存在量化誤差而且會引進外界的噪聲，如果直接位置信號進行微分會引入更大的噪聲和誤差，而且還會帶來相位滯后，惡化系統(tǒng)性能。另一種獲得加速度的方法就是在系統(tǒng)中安裝加速度傳感器，但是這樣會增加系統(tǒng)的成本同時會減小系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，為了獲得精確的加速度信號同時又不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以用觀測器來代替?zhèn)鞲衅鳎?］，常用的觀測器為Luenberger觀測器。

Luenberger觀測器除了可以觀測系統(tǒng)的加速度外還可以觀測電機的擾動轉(zhuǎn)矩。本文通過Luenberger觀測器來觀測擾動轉(zhuǎn)矩，并將其通過一個比例積分環(huán)節(jié)反饋到電流給定，這種方法改變了系統(tǒng)的等效諧振方程，進而達到抑制諧振的目的。從仿真結(jié)果可以看到，通過本文提出的方法，系統(tǒng)電機側(cè)和負載側(cè)的諧振均得到了較好的抑制。

1　機械諧振原理

在實際工業(yè)應(yīng)用中，執(zhí)行機構(gòu)例如聯(lián)軸器、傳動軸等傳動裝置的剛性限度是有限的。如果忽略傳動裝置的慣量，可以將傳動裝置等效看作一個彈性系數(shù)為Ks，阻尼系數(shù)為Kw的彈性裝置，從而整個系統(tǒng)可以近似等效成為一個二質(zhì)量系統(tǒng)［5］。如圖1所示。

圖1　等效二質(zhì)量模型Fig.1 Model of two-inertia system

由電機側(cè)運動方程可得：

由傳動軸的受力方程可得：

由負載側(cè)的運行方程可得：

式中：Te為電磁轉(zhuǎn)矩；Ts為傳動軸產(chǎn)生的彈性扭矩；Tw為傳動軸產(chǎn)生的阻尼力矩；Ks為傳動軸的等效彈性系數(shù)；Kw為傳動軸的等效阻尼系數(shù)；Jm，JL分別為電機側(cè)和負載側(cè)的慣量；ωm，ωL分別為電機側(cè)和負載側(cè)的速度。

根據(jù)系統(tǒng)的時域微分方程式（1）～式（3）可以得到系統(tǒng)的頻域傳遞函數(shù)框圖如圖2所示。

圖2　柔性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)框圖Fig.2　 Block diagram of compliant link

根據(jù)圖2的柔性環(huán)節(jié)傳遞框圖可以得到電磁轉(zhuǎn)矩Te到電機側(cè)速度ωm的傳遞函數(shù)為

與理想剛性系統(tǒng)相比，柔性環(huán)節(jié)在剛性環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上增加了一個雙二階項，這個雙二階項被稱為諧振方程。通常情況下，傳動軸的等效阻尼Kw都很小，如果忽略系統(tǒng)的阻尼，諧振方程的分子在頻率fares處取得極小值，分母在頻率fres處取得極小值，fres和fares分別被稱為諧振頻率和反諧振頻率［6］，其表達式如下：

圖3為經(jīng)典的電機速度控制框圖。

圖3　電機速度控制框圖Fig.3 Block diagram of motor speed control

由圖3所示的控制系統(tǒng)框圖可以得到理想剛性系統(tǒng)，柔性系統(tǒng)，以及柔性環(huán)節(jié)的Bode圖如圖4所示。

圖4　剛性系統(tǒng)以及柔性系統(tǒng)Bode圖Fig.4 Bode diagram of rigid and compliant system

由圖4可以看出理想剛性系統(tǒng)在系統(tǒng)相位穿越180°時，幅值裕度大于0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于柔性連接系統(tǒng)，由于疊加了柔性環(huán)節(jié)的影響，系統(tǒng)在諧振頻率附近的幅值增益快速增大，導致系統(tǒng)在穿越180°的時候系統(tǒng)的幅值裕度小于0，這會導致系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定。

2　基于擾動轉(zhuǎn)矩反饋的諧振抑制方法

諧振抑制的直接途徑就是改變諧振方程對系統(tǒng)帶來的影響，本文通過Luenberger觀測器觀測擾動轉(zhuǎn)矩，并將擾動轉(zhuǎn)矩通過一個比例積分環(huán)節(jié)反饋回電流環(huán)給定，從而等效改變系統(tǒng)的諧振方程，達到抑制諧振的目的。加入反饋后系統(tǒng)的原理圖如圖5所示。

圖5　基于擾動轉(zhuǎn)矩反饋的諧振抑制原理圖Fig.5 Resonance suppression based on disturbance torque feedback

Luenberger觀測器的結(jié)構(gòu)圖如圖6所示。

圖6　Luenberger觀測器結(jié)構(gòu)框圖Fig.6 Block diagram of Luenberger observer

圖6中Luenberger觀測器的補償器為PID補償器，補償器的表達式為

設(shè)由Luenberger觀測器觀測出的速度為ωest，系統(tǒng)電機側(cè)的實際速度為ωm，擾動轉(zhuǎn)矩為Td，根據(jù)Luenberger觀測器的原理有：

將式（7）的ωest表達式帶入式（6）中，得到擾動轉(zhuǎn)矩Td表達式：

由G(s)的表達式可以看出，G(s)本質(zhì)上是1個低通濾波器。而且，在Luenberger觀測器參數(shù)整定的時候一般有KD遠大于J，因此，可以忽略G(s)分母中的Js項，此時有

此時，式（8）可以簡化為

其中R(s)為諧振方程：

將式（11）進一步展開得到

由式可以得到，經(jīng)過反饋之后系統(tǒng)的等效諧振方程變?yōu)?/p>

畫出引入反饋之前的諧振方程R(s)和引入反饋之后的等效諧振方程R′(s)的Bode圖如圖7所示。

圖7　加入反饋前后諧振方程Bode圖Fig.7 Bode diagram of original resonance equation and resonance equation with proposed feedback

由圖7看出，引入反饋之后系統(tǒng)的等效諧振方程在諧振頻率處的幅值增益大幅減小。圖8為加入反饋之后整個系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖。

圖8　加入反饋后系統(tǒng)等效Bode圖Fig.8 Bode diagram of system with proposed feedback

由圖8可以看出，加入反饋之后，系統(tǒng)的相頻曲線穿越-180°時，幅值裕度大于0，表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的，不會發(fā)生振蕩。

3　反饋系數(shù)K的整定

雖然擾動轉(zhuǎn)矩反饋在諧振頻率處衰減了系統(tǒng)的幅值增益，但同時給系統(tǒng)帶來了一定的相位滯后，如圖9所示。

圖9　K=1 000，2 000，3 000時系統(tǒng)等效諧振方程Bode圖Fig.9 Bode diagram of equivalent resonance equation，where K=1 000，2 000，3 000

由圖9可以看到，雖然K越大，R′(s)在諧振頻率處衰減的幅度越大，但是隨著K的增大，R′(s)在低頻處產(chǎn)生的相位滯后也越來越大，這個相位滯后會減小系統(tǒng)的開環(huán)帶寬，影響系統(tǒng)性能。所以K不能無限制加大。

由諧振方程R(s)和R′(s)可以得到，當s趨近于無窮的時候，其增益都趨近于1個恒定值KR。

式中：R為系統(tǒng)的負載和電機的慣量比，R=JL/Jm反饋K值求解示意圖見圖10。

圖10　反饋K值求解示意圖Fig.10 Feedback coefficient calculation diagram

如圖10所示，對于新的等效諧振方程R′(s)，可令其在諧振頻率A點處的幅值增益等于KR，即讓它在諧振點的增益等于其最終的穩(wěn)定增益KR，由此便可以確定反饋增益K的值。

令s=j2πfres，帶入R′(s)中得到

令R′(s)在諧振頻率fres處的增益等于1+R得到

根據(jù)式（17）以及k1,k2,k3k4的表達式便可求得反饋環(huán)節(jié)系數(shù)K的值。

4　仿真驗證

根據(jù)實際的電機參數(shù)和聯(lián)軸器參數(shù)，選擇仿真參數(shù)為：電機慣量Jm=1×10-3kg·m2，負載慣量JL=1×10-3kg·m2，等效彈性系數(shù)KS= 3 900 N·m/rad，等效阻尼系數(shù)KW= 0.003 N·m·s/rad。并在Matlab/Simulink系統(tǒng)中搭建電機諧振系統(tǒng)的仿真模型，并分別對系統(tǒng)加入觀測器反饋前后進行仿真。

加入觀測器反饋之前，給定速度指令為200 r/min，對系統(tǒng)進行仿真，得到電機側(cè)和負載側(cè)的速度如圖11所示。

圖11　加入反饋前電機側(cè)和負載側(cè)速度波形Fig.11 Motor and load speed of original resonance system

根據(jù)本文前面給出的反饋系數(shù)K的整定方法，按照系統(tǒng)給定的仿真參數(shù)計算反饋系數(shù)K的值，得到K =1 604。對加入反饋的系統(tǒng)重新進行仿真。圖12為系統(tǒng)加入反饋后的仿真結(jié)果。

由圖12可以看到，加入反饋以后，系統(tǒng)電機側(cè)和負載側(cè)的振蕩都得到了有效抑制。這說明本文所提出的諧振抑制方案對抑制諧振是有效的。

圖12　加入反饋后電機側(cè)和負載側(cè)速度波形Fig.12 Motor and load speed of system with proposed feedback

5　結(jié)論

本文分析了伺服系統(tǒng)產(chǎn)生諧振的原理，在此基礎(chǔ)上提出了一種基于擾動轉(zhuǎn)矩反饋的諧振抑制方法，并詳細分析了該方法抑制諧振的原理。本文還分析了反饋系數(shù)K對系統(tǒng)的影響，并給出了一種參數(shù)K的整定方法。最后，通過仿真，驗證了本文所提出的方法對抑制諧振是有效的。

參考文獻

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修改稿日期：2015-08-02

Suppression of Mechanical Resonance Based on Disturbance Torque Feedback

XIAN Minghui，LUO Xin，SHEN Anwen，LIU Feng
（School of Automation，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，Hubei，China）

Abstract:Servo drives are used in a wide range of industrial applications，the flexible connection between motor and load may degrade the performance of the servo systems，and even cause instability. The reason of the mechanical resonance was analyzed and a method based on disturbance torque feedback was proposed to suppress mechanical resonance. The presented method utilizes the Luenberger observer to obtain the disturbance torque and the output of the observer was used as a feedback to the current loop after passing it through a proportional integrator. Moreover，a technique to calculate the feedback factor K was also presented and the validity of this method was verified by theory analysis. Finally，a servo resonance system simulation model based on Matlab/Simulink was established and the effectiveness of the proposed method is verified by the simulation results.

Key words:servosystem；resonancesuppression；disturbancetorquefeedback；Luenbergerobserver

收稿日期：2015-03-24

作者簡介：咸明輝（1990-），男，碩士研究生，Email：xianmhhust@qq.com

中圖分類號：TM341

文獻標識碼：A