孟利波，秦毅，合燁，郭磊

(國(guó)家山區(qū)公路工程技術(shù)研究中心，重慶400044)

基于稀疏表征的降噪方法及其在振動(dòng)激勵(lì)控制中的應(yīng)用

孟利波，秦毅，合燁，郭磊

(國(guó)家山區(qū)公路工程技術(shù)研究中心，重慶400044)

針對(duì)振動(dòng)控制中因混有噪聲而導(dǎo)致控制精度降低，影響振動(dòng)控制研究效果的現(xiàn)實(shí)問題，提出基于稀疏表征的降噪方法，并通過引入峭度作為測(cè)度指標(biāo)改進(jìn)基于分離變量的增廣拉格朗日收斂算法(SALSA)的基追蹤降噪方法。然后，提出獲取優(yōu)化的拉格朗日乘數(shù)的方法，從而使得基追蹤降噪可以獲得更佳的降噪性能。最后將降噪信號(hào)反饋給前端控制器，以達(dá)到預(yù)期的控制目的。通過仿真實(shí)例，驗(yàn)證基于SALSA的基追蹤降噪方法的有效性。結(jié)果表明:將該方法用于水潤(rùn)滑軸承實(shí)驗(yàn)的振動(dòng)控制，能夠有效地去除所測(cè)力矩信號(hào)中不同強(qiáng)度的高斯白噪聲，因而可以較好地應(yīng)用在振動(dòng)控制中的反饋環(huán)節(jié)。

稀疏表征;降噪;SALSA算法;峭度;振動(dòng)控制

0 引言

在研究旋轉(zhuǎn)機(jī)械中的軸承、齒輪等零部件的動(dòng)態(tài)特性時(shí)，往往需要對(duì)該部件進(jìn)行動(dòng)態(tài)加載。這一過程就是一個(gè)振動(dòng)控制過程。但在振動(dòng)控制的過程中，扭矩傳感器所采集的力信號(hào)往往會(huì)受到噪聲的影響，使得加載力帶有隨機(jī)誤差，并最終影響加載精度。因此，必須抑制這些噪聲以提高加載器的加載精度。

目前，在振動(dòng)控制的降噪處理中，廣泛是采用小波或小波包進(jìn)行閾值降噪處理［1－2］。Li和Dang［3］提出改進(jìn)的小波閾值降噪算法對(duì)無線通信信號(hào)進(jìn)行降噪。Xu和Wang［4］將小波閾值和解調(diào)技術(shù)相結(jié)合用于激光信號(hào)降噪。Chen等［5］利用斯坦無偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)組提出重疊多小波組閾值降噪方法，并應(yīng)用于軋機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測(cè)。但是以上方法均是采用二進(jìn)小波變換，這雖然能達(dá)到無冗余存貯與重建信號(hào)的目的，但隨著分解層數(shù)的增加，各層、各頻段序列的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)也減半、采樣頻率也減半，當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)太少時(shí)，信號(hào)細(xì)節(jié)會(huì)丟失，并且小波分解的結(jié)果存在著各頻帶間能量的交疊問題［6－7］。于是，學(xué)者們提出了基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?empirical mode decomposition，EMD)的信號(hào)降噪方法。例如，Yang等［8］提出了EMD區(qū)間閾值降噪方法;Tian等［9］提出了清晰首區(qū)間閾值EMD降噪方法(clear first interval thresholded empirical mode decomposition，EMD－CIIT)。但是EMD存在模態(tài)混疊問題，且容易受到強(qiáng)噪聲干擾。

自然環(huán)境和工程中大部分噪聲都是高斯白噪聲，目前信號(hào)降噪方法也主要針對(duì)該類噪聲。為了更好地實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)信號(hào)降噪，本文基于基追蹤(BP)問題，采用了一種新的線性凸優(yōu)化算法——SALSA算法［10－11］，得到了信號(hào)的一種稀疏表示，并通過引入譜峭度作為目標(biāo)函數(shù)來改進(jìn)SALSA算法，從而使改進(jìn)后的SALSA算法在降噪過程中具備更好的適應(yīng)性，將其運(yùn)用在軸承的振動(dòng)控制中，降噪效果好，計(jì)算效率高。

1 稀疏信號(hào)

稀疏信號(hào)就是指信號(hào)可以用少數(shù)幾個(gè)特征向量的線性組合進(jìn)行表示。信號(hào)的稀疏表示，就是找到一種簡(jiǎn)潔的方式來表示信號(hào)，使得絕大部分變換系數(shù)的值接近于零或等于零，從而使得到的變換信號(hào)是稀疏或者近似稀疏的。

對(duì)于某一個(gè)信號(hào)，均可以用欠定方程表示為

其中，A為M×N矩陣，y為長(zhǎng)度為M的向量，x為長(zhǎng)度為N的向量，且N＞M。

該系統(tǒng)未知量的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，同時(shí)矩陣A的寬度大于其長(zhǎng)度，當(dāng)假定AA*可逆時(shí)，則方程組有無窮解。

為解決該方程，常用的方法是基于最小二乘的方法。對(duì)于本文，為使得信號(hào)更加稀疏，采用的是基于基追蹤的降噪方法(BPD)。首先需引入范數(shù)l1定義為

然后求解式(1)的方法就是使得x的絕對(duì)值之和最小，即基追蹤(BP)問題，如下式:

當(dāng)y含有噪聲時(shí)，這種狀況下，需尋求一種近似的目標(biāo)函數(shù)式，該式即為基追蹤降噪(BPD)問題:

對(duì)于傳統(tǒng)的最小二乘法，它是求取平方和的最小值，相比求取絕對(duì)值和的最小值，其對(duì)信號(hào)中的較大值更加敏感，如圖1所示。因此，當(dāng)采用最小二乘法時(shí)，為保證平方和最小，需要取得少量的較大值，因?yàn)橄啾扔谛≈?，它們的影響更大，因此，最后求取的信?hào)中有更多的小值，也就造成了信號(hào)的不稀疏。相反，基于基追蹤降噪(BPD)的方法就不會(huì)包含很多較小值，從而會(huì)獲得更加稀疏的信號(hào)。針對(duì)高斯白噪聲信號(hào)，本文選用冗余傅里葉變換基進(jìn)行降噪，該變換基A定義為

式中，0≤m≤M－1和0≤n≤N－1。

圖1 和x2函數(shù)圖像

2 稀疏表征算法——SALSA

由式(4)發(fā)現(xiàn)，由于‖x‖1不可微，給計(jì)算增加一定難度。并且容易發(fā)現(xiàn)，該問題屬于凸優(yōu)化問題，基于這種性質(zhì)，就有內(nèi)部局部最小值。此外，對(duì)于凸優(yōu)化問題，目前已有很多算法能夠進(jìn)行求解。例如ISTA［12］和Split Bregman迭代算法［13］，其能夠保證在每次迭代后成本函數(shù)值的減小，但是這種算法具有收斂慢的缺點(diǎn)。最近興起的分離變量的增廣拉格朗日收斂算法(SALSA)，其與Split Bregman迭代算法均先采用了分離變量，但SALSA的解決方式是基于增廣的拉格朗日模型，而該模型是解決優(yōu)化問題中更基礎(chǔ)更標(biāo)準(zhǔn)的工具。在實(shí)踐的過程中也證明了該算法有很好的收斂性質(zhì)。

在RN上定義兩個(gè)凸能量函數(shù)f1(x)和f2(x)，其中x為自變量，給出極小化模型:

為分離變量，引入中間變量v，并將v作為函數(shù)f2的自變量，這樣上式就轉(zhuǎn)化為以下約束問題:

該問題顯然等價(jià)于問題(6)。欲解決該問題，可以利用增廣型拉格朗日模型解決，模型如下:

式中，λ為拉格朗日乘數(shù)，μ≥0被稱為懲罰參數(shù)。

對(duì)于該增廣型拉格朗日模型，可以引入序列dk，進(jìn)行迭代，從而達(dá)到不斷收斂的效果，迭代算法過程如下:

要想很好地利用上述模型，必須能夠解決式(9)，可以采用分裂的方法，分別按x和v迭代求極小，從而有效地求得方程的極小值。具體步驟如下:

步驟1:

步驟2:

為了有效解決本文討論的線性凸優(yōu)化問題公式(4)，分別令

由此可以建立完整的SALSA迭代計(jì)算過程，如圖2所示。

相比傳統(tǒng)的懲罰函數(shù)方法，SALSA迭代算法有很多優(yōu)點(diǎn)。首先，它基于l1正則項(xiàng)的問題，使得其收斂速度很快。當(dāng)其收斂很快時(shí)，就可以直接利用無約束問題。其次，λ是一個(gè)固定常數(shù)，只需選擇一個(gè)合適的值使得條件數(shù)達(dá)到最少，從而使迭代優(yōu)化算法快速收斂。通過計(jì)算出的x就可以估算出原始信號(hào)^y=Ax。

圖2 SALSA算法流程圖

3 利用SALSA算法進(jìn)行去噪仿真

現(xiàn)有一組含有500個(gè)采樣點(diǎn)的音頻信號(hào)，其采樣率為16 000，持續(xù)時(shí)間約為31 ms，用s(m)表示，圖形如圖3(a)所示，可以看出該音頻信號(hào)主要集中在低頻部分，但高頻部分仍有部分微弱的信號(hào)。用w(m)表示采樣點(diǎn)數(shù)為500的高斯噪聲信號(hào)，由于其具有隨機(jī)性，因此會(huì)造成信號(hào)的不稀疏。可用y(m)表示含有噪聲的信號(hào)如式(12)，其圖形如圖3(d)所示，頻域圖涵蓋整個(gè)范圍，造成信號(hào)的不稀疏。

圖3 原始信號(hào)、加噪信號(hào)、降噪信號(hào)的時(shí)域波形以及對(duì)應(yīng)的頻域圖

然后利用SALSA算法對(duì)其進(jìn)行稀疏表征。采用50次迭代，得到降噪信號(hào)，如圖3(e)所示?？梢钥闯觯肼曅盘?hào)大大削減，而波形的基本形狀幾乎沒發(fā)生變化，并且與低通濾波不同，高頻部分并沒有完全衰減，仍然保留了原始信號(hào)中的部分高頻成分。

4 基于譜峭度的算法優(yōu)化

前面已經(jīng)討論過，在使用SALSA算法時(shí)，需選取合適的λ。經(jīng)過多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn):若選擇較大的λ，則降噪后的信號(hào)，不僅噪聲大大衰減;有用信號(hào)也大大衰減;反之，若選擇較小的λ，將不能完全把噪聲濾除。

峭度(kur)表示故障形成的大幅值脈沖出現(xiàn)的概率，按下式定義為

式中，Xi為原信號(hào)，為信號(hào)均值。為了將脈沖響應(yīng)與背景噪聲的差距拉大以提高信噪比，峭度系數(shù)取脈沖響應(yīng)幅值的4次方為判斷依據(jù)，準(zhǔn)確度大大提高。于是在尋求算法優(yōu)化階段同時(shí)引入了信噪比和峭度來尋找最佳λ。

在仿真實(shí)驗(yàn)中引入余弦信號(hào)作為模擬仿真信號(hào)，將其與隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行疊加得到一個(gè)模擬試驗(yàn)中的信號(hào)。在仿真實(shí)驗(yàn)中引入一個(gè)比例參數(shù)rate:

從圖中可見，結(jié)論1)是成立的。在同樣的噪聲和λ取值范圍下，令余弦信號(hào)幅值取值范圍為(1.0，0.9，…，0.1)，此時(shí)所得近似最佳λ(1 030)，如表1所示。從表中可知，在隨機(jī)信號(hào)一定時(shí)，rate值不會(huì)發(fā)生很大的變化，由rate值求出的近似最佳λ也是非常接近在信噪比與λ關(guān)系圖上得出的最佳λ(1 030)，于是，在真實(shí)信號(hào)未知的情況下可以參考模擬仿真信號(hào)下得到的rate值反求出一個(gè)十分接近最佳真實(shí)值的λ，從而獲得優(yōu)化的降噪結(jié)果。

圖4 余弦信號(hào)取不同幅值時(shí)降噪結(jié)果信噪比隨λ變化的示意圖

表1 不同余弦信號(hào)幅值對(duì)應(yīng)的近似最佳λ

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

將上述降噪方法運(yùn)用在水潤(rùn)滑軸承激勵(lì)控制中，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖5所示。該實(shí)驗(yàn)臺(tái)能夠通過二通道電液伺服協(xié)調(diào)加載系統(tǒng)對(duì)實(shí)驗(yàn)軸進(jìn)行靜態(tài)加載和動(dòng)態(tài)激勵(lì)。在進(jìn)行動(dòng)態(tài)激勵(lì)時(shí)，可根據(jù)需要，選擇相應(yīng)的波形，如正弦波、三角波、方波等進(jìn)行激勵(lì)。

圖5 軸承加載實(shí)驗(yàn)臺(tái)

對(duì)于本實(shí)驗(yàn)，可采用15 Hz的正弦波進(jìn)行激勵(lì)。通過扭矩傳感器采集到的力矩信號(hào)如圖6(a)所示，通過選定一系列的λ值進(jìn)行降噪，預(yù)估噪聲強(qiáng)度為0.7。根據(jù)前述方法求得真實(shí)信號(hào)近似最佳λ值為110。通過扭矩傳感器采集到的力矩信號(hào)和采用本文方法獲得的降噪信號(hào)如圖6(b)所示?？梢钥闯?，所加載的力矩由于受到噪聲污染，含有許多毛刺，但經(jīng)過本文的方法處理后，具有明顯的降噪效果。將降噪后的信號(hào)反饋給前端控制器，用來不斷修正被控量與輸入量之間的偏差，從而能夠達(dá)到更準(zhǔn)確的控制效果。

圖6 低噪聲時(shí)實(shí)測(cè)信號(hào)與降噪信號(hào)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提方法的有效性，通過調(diào)整信號(hào)調(diào)理裝置，增加噪聲強(qiáng)度，所測(cè)得信號(hào)如圖7(a)所示。采用本文方法所得降噪結(jié)果如圖7(b)所示。同樣地，可以將降噪后的信號(hào)反饋給前端控制器，以提高控制精度。

圖7 高噪聲時(shí)實(shí)測(cè)信號(hào)與降噪信號(hào)

6 結(jié)束語

對(duì)于混有噪聲的振動(dòng)控制信號(hào)，利用本文敘述的方法可以達(dá)到良好的降噪效果，可見引入峭度和反求最佳λ值的方法，使得降噪效果更加明顯，更加具有適應(yīng)性，最后將降噪信號(hào)反饋給前端控制器，用來不斷修正被控量與輸入量之間的偏差，從而能夠提高控制精度。該方法的不足之處在于，為了獲取最佳λ，通常要使λ取值范圍較大，這就會(huì)顯著地增加計(jì)算量。但是就目前計(jì)算機(jī)性能而言，該方法仍然具有很快的計(jì)算速度。

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(編輯:李妮)

De－noising method based on sparse representation and its application invibration control

MENG Libo，QIN Yi，HE Ye，GUO Lei
(National Engineering and Research Center for Mountainous Highways，Chongqing 400044，China)

Aimed at the fact that the control accuracy declines due to the noise effect on the vibration control，a de－noising method based on sparse representation is put forward to improve the control signal.To obtain a better noise－reduction result，the basis pursuit denoising method based on split variable augmented Lagrangian shrinkage algorithm(SALSA)is improved by using kurtosis as measurement index.Then，a method for obtaining the optimized Lagrange multiplier parameter is proposed，which can improve the denoising performance of basis pursuit denoising.Finally the de－noising signal is fed back into the front controller in order to obtain the expected control effect.The simulation result validates the effectiveness of basis pursuit denoising based on SALSA.Finally，the proposed method is applied to the vibration control of a water water－lubricated bearing test，and the results show that this method can effectively remove the noises with different intensity from the sampled torque signals，thus it can be well used in the feedback element of the vibration control.

sparse representation;de－noising;SALSA algorithm;kurtosis;vibration control

A

1674－5124(2016)11－0094－06

10.11857/j.issn.1674－5124.2016.11.020

2016－01－07;

2016－03－04

國(guó)家山區(qū)公路工程技術(shù)研究中心(GSGZJ－2014－04)

孟利波(1977－)，男，重慶市人，研究員，博士，研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)監(jiān)測(cè)與控制。