蔡榮文杭州萬向職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州310023

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基于改進(jìn)的Bernoulli矩陣壓縮感知圖像重構(gòu)算法

蔡榮文
杭州萬向職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州310023

摘要：為克服傳統(tǒng)測量矩陣穩(wěn)定性差的弱點(diǎn)，本文利用Logistic混沌序列優(yōu)良的隨機(jī)性質(zhì)，對Bernoulli測量矩陣進(jìn)行改進(jìn)，提出一種復(fù)雜度很低的混沌Bernoulli測量矩陣。通過Logistic混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌序列，之后運(yùn)用符號(hào)函數(shù)進(jìn)行映射生成Bernoulli分布的隨機(jī)矩陣，將該序列用來構(gòu)造測量矩陣。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于Bernoulli測量矩陣圖像重構(gòu)的信噪比優(yōu)于Bernoulli矩陣和Gaussion矩陣，從而證明該算法的可靠性和有效性。

關(guān)鍵詞：Bernoulli矩陣；混沌序列；Logistic系統(tǒng)；圖像重構(gòu)算法

壓縮感知理論是近些年來重點(diǎn)研究的采樣理論，最先由Donoho[1]和Cande[2]等人提出。壓縮感知理論打破傳統(tǒng)采樣理論對采樣頻率的限制，在獲取數(shù)據(jù)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)采樣信號(hào)的壓縮，可以降低數(shù)據(jù)采樣量、節(jié)約計(jì)算時(shí)間以及節(jié)約數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)空間。壓縮感知理論主要涉及三個(gè)核心問題：（1）信號(hào)的稀疏變換；（2）設(shè)計(jì)測量矩陣；（3）構(gòu)造重構(gòu)算法。其中，測量矩陣設(shè)計(jì)質(zhì)量的好壞直接影響后面重構(gòu)信號(hào)的誤差大小。當(dāng)前測量矩陣主要分為確定性測量矩陣和隨機(jī)性測量矩陣。

Lei Yu[3]運(yùn)用混沌序列構(gòu)造一個(gè)測量矩陣，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明構(gòu)造出的矩陣滿足RIP性質(zhì)并且驗(yàn)證出該矩陣是可行的。顧國生等人[4]提出一種基于符號(hào)混沌系統(tǒng)的偽隨機(jī)序列將其作為構(gòu)造壓縮感知觀測矩陣，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明該方法是可行的和有效的，但該方法具有復(fù)雜度高和計(jì)算量大的缺點(diǎn)。

針對Bernoulli測量矩陣存在穩(wěn)定性差的缺點(diǎn)，本文利用Logistic混沌序列優(yōu)良的隨機(jī)性質(zhì)，對Bernoulli測量矩陣進(jìn)行改進(jìn)，提出一種復(fù)雜度很低的混沌Bernoulli測量矩陣。通過Logistic混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌序列，之后運(yùn)用符號(hào)函數(shù)進(jìn)行映射生成Bernoulli分布的隨機(jī)矩陣，將該序列用來構(gòu)造測量矩陣。通過二維圖像的不同隨機(jī)矩陣的仿真對比發(fā)現(xiàn)，本文算法構(gòu)造出的矩陣是有效的和可行的。

1　壓縮感知

1.1改進(jìn)的粒子群算法

假設(shè)一維信號(hào)X∈RN×1，X可通過一組N×N正交基ψ＝{ψ1，ψ2，…，ψN}進(jìn)行表達(dá)，其表達(dá)式如公式（1）所示[5，6]：

公式（1）中，θk＝＜X，ψk＞，X，θ均為N×1維向量。當(dāng)信號(hào)X在某個(gè)正交基ψ上當(dāng)且有K＜＜N個(gè)非0系數(shù)θk，此時(shí)Ψ是信號(hào)X的稀疏基。

稀疏采樣時(shí)，信號(hào)X可以被投影在測量矩陣Φ上，因此采樣數(shù)據(jù)Y可以表示成：

其中，Y表示M×1的被測量矩陣，Φ表示M×N（M＜＜N）的測量矩陣。由公式（1）和公式（2）可以得到采樣數(shù)據(jù)和變換矩陣之間的關(guān)系式（3）：

稀疏采樣可以大大減少采集數(shù)據(jù)的數(shù)量，提高數(shù)據(jù)采集效率。然而，稀疏采樣也會(huì)導(dǎo)致信號(hào)的重構(gòu)和恢復(fù)出現(xiàn)“病態(tài)”問題。壓縮感知理論認(rèn)為信號(hào)重構(gòu)問題可以轉(zhuǎn)化成求解l0范數(shù)最小化問題[7]：

2　基于混沌矩陣的Bernoulli測量矩陣的構(gòu)造

已知Logistic混沌系統(tǒng)的表達(dá)式如公式（5）所示：

公式（5）中，xn∈[-1，1]，μ∈[1.872，2.0]，當(dāng)公式（5）的初始值x0＝0.23，0.37或0.7的時(shí)候，其產(chǎn)生的序列為混沌序列。

將Logistic混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列{xn}，通過公式（6）符號(hào)映射函數(shù)轉(zhuǎn)換成新的映射序列{an}。

根據(jù)參考文獻(xiàn)[9]可知，當(dāng)μ＝2.0時(shí)，Logistic混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列xn符合Bernoulli分布，同時(shí)滿足RIP性質(zhì)，所以將Logistic混沌序列進(jìn)行符號(hào)映射所產(chǎn)生的映射序列an作為壓縮感知的測量矩陣。

混沌矩陣的Bernoulli測量矩陣的構(gòu)造步驟如下：

（1）根據(jù)公式（5）Logistic混沌系統(tǒng)生成混沌序列{xn}，該序列長度為n，其中n＝M×N-1。依據(jù)反復(fù)實(shí)驗(yàn)對比的結(jié)果可知，當(dāng)μ＝2.0時(shí)，初始值x0＝0.23，0.37或0.7時(shí)，它們重構(gòu)誤差分別為0.098，0.083，0.090，由此可知，本文選取初始值xo＝0.37，μ＝2.0。

（2）將步驟（1）生成的Logistic混沌序列通過公式（6）進(jìn)行符號(hào)函數(shù)映射，生成映射序列{an}。

（3）設(shè)定截?cái)嚅L度為N，將映射序列{an}截?cái)啵瑯?gòu)造出維度大小為M×N的測量矩陣Φ。

參考文獻(xiàn)[5]中算法的復(fù)雜度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于o（N2），而本文提出算法的復(fù)雜度為o（M×N）（M＜＜N），復(fù)雜度遠(yuǎn)低于相關(guān)參考文獻(xiàn)中算法的復(fù)雜度。

圖1　序列和直方圖對比圖Fig.1　Comparison between sequence and histogram（a）Bernoulli sequence（b）Histogram of Bernoulli sequence（c）Logistic_Bernoulli sequence（d）Histogram of Logistic_Bernoulli sequence

由Logistic-Bernoulli和Bernoulli隨機(jī)序列對比圖和直方圖對比圖可知，Logistic-Bernoulli隨機(jī)序列中1和-1的數(shù)量差不多多，比值接近于1，說明Logistic-Bernoulli隨機(jī)序列的穩(wěn)定性和平均性較好，優(yōu)于未改進(jìn)的Bernoulli隨機(jī)序列。

3　基于Logistic-Bernoulli測量矩陣的OMP算法信號(hào)重構(gòu)

3.1OMP算法

匹配追蹤類方法進(jìn)行信號(hào)稀疏重建的實(shí)質(zhì)是求解最小lo范數(shù)的問題，本文采用正交匹配追蹤（OMP）算法。OMP算法利用Gram-Schmidt正交化方法將所選原子進(jìn)行正交處理，經(jīng)過正交化之后的信號(hào)投影在正交原子的空間上，獲得信號(hào)在原子投影空間上的信號(hào)分量和信號(hào)余量，之后運(yùn)用同樣方法繼續(xù)分解信號(hào)余量。

匹配追蹤類算法相關(guān)系數(shù)u，主要通過計(jì)算信號(hào)余量r和感知矩陣Φ中各個(gè)原子之間內(nèi)積的絕對值獲得[8]：

同時(shí)運(yùn)用最小二乘法實(shí)現(xiàn)信號(hào)逼近和余量更新：

基于Logistic-Bernoulli測量矩陣的OMP算法的算法流程如下：

輸入：維度大小為M×N的Logistic-Bernoulli測量矩陣Φ

Step1：初始余量ro＝Y(jié)，迭代次數(shù)n＝1，索引值集合Λ＝?，J＝?

Step2：計(jì)算相關(guān)系數(shù)u，并將u中最大值對應(yīng)的索引值存入J中；

Step3：更新ΦΛ，其中Λ＝Λ∪J0；

Step5：若∥rnew-r∥≥ε2，令r＝rnew，n＝n＋1，轉(zhuǎn)步驟Step2；否則，停止迭代。

3.2評價(jià)指標(biāo)

假設(shè)W，H分別表示圖像的寬度和高度，I，?分別表示原始圖像和重構(gòu)圖像。本文運(yùn)用圖像信噪比作為重構(gòu)效果的評價(jià)指標(biāo)。二維圖像的信噪比公式如（10）所示：

4　仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，同時(shí)為降低實(shí)驗(yàn)計(jì)算量，圖像采用大小為256’256的標(biāo)準(zhǔn)測試圖像，以Lena圖像為研究對象，研究在壓縮比等于0.5時(shí)，基于Logistic-Bernoulli測量矩陣、Bernoulli測量矩陣和Gaussion測量矩陣三者之間的圖像重構(gòu)效果，對比圖如圖2所示：

圖2　不同測量矩陣的重構(gòu)效果Fig.2　Reconstruction results of different measurement matrix（a）Lena image（b）Measurement matrix of Logistic_Bernoulli（c）Measurement matrix of Bernoulli（d）Measurement matrix of Gaussion

由圖2不同測量矩陣的重構(gòu)效果可知，基于Logistic-Bernoulli測量矩陣的圖像重構(gòu)效果優(yōu)于Bernoulli測量矩陣和Gaussion測量矩陣的重構(gòu)效果。為了進(jìn)一步驗(yàn)證算法的有效性和可靠性，分別以Lena、Cameraman和Barbara三幅標(biāo)準(zhǔn)測試圖像，對比不同壓縮比下，重構(gòu)圖像的信噪比，其對比結(jié)果如圖3所示：

圖3　不同圖像，壓縮比和信噪比的變化圖Fig.3　Different image, variation of compression ratio and PSNR（a）Lena（b）Cameraman（c）Barbara

由圖3不同圖像，壓縮比和信噪比的變化圖可知，隨著壓縮比的提高，圖像重構(gòu)信噪比不斷增加，此外基于Logistic-Bernoulli測量矩陣圖像重構(gòu)的信噪比優(yōu)于Bernoulli矩陣和Gaussion矩陣，從而證明了本文算法的可靠性和有效性。

5　結(jié)論

針對傳統(tǒng)測量矩陣具有隨機(jī)性和平均性差的缺點(diǎn)，將Logistic混沌序列引入壓縮感知理論，構(gòu)造出新的Logistic-Bernoulli測量矩陣并將其應(yīng)用于壓縮感知代替?zhèn)鹘y(tǒng)的測量矩陣，構(gòu)建出基于Logistic-Bernoulli測量矩陣的OMP信號(hào)重構(gòu)算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于Logistic-Bernoulli測量矩陣圖像重構(gòu)的信噪比優(yōu)于Bernoulli矩陣和Gaussion矩陣，從而證明了本文算法的可靠性和有效性。

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Image Compressed Sensing Reconstruction Algorithm Based on Improved Bernoulli Chaotic Matrix

CAI Rong-wen
Hangzhou Wanxiang Ploytechnic,Hangzhou 310023，China

Abstract:To break through the shortcoming of poor stability in the traditional measurement matrix，this paper used an excellent stochastic property of Logistic to turn the Bernoulli measurement matrix into chaotic one with a very low complexity. Chaotic sequence was generated by Logistic chaotic system and then used the sign function to become the stochastic matrix of Bernoulli distribution to be used to construct the measurement matrix. Experimental results showed that signal-to-noise ratio of image reconstruction based on the chaotic Bernoulli measurement matrix was better than Bernoulli and Gaussion matrix，which proved the reliability and effectiveness of the proposed algorithm.

Keywords:Bernoulli measurement matrix；chaotic sequence；Logistic system；map reconstruction algorithm

作者簡介：蔡榮文（1974-），男，浙江蒼南人，本科，講師，主要研究方向計(jì)算機(jī)應(yīng)用. E-mail:wxxycrw@126.com

基金項(xiàng)目：浙江省高等學(xué)校訪問學(xué)者教師專業(yè)發(fā)展項(xiàng)目:基于圖像處理的火災(zāi)煙霧智能探測研究（FX2014196）

收稿日期：2014-10-11修回日期: 2014-12-23

中圖法分類號(hào)：TP391.1文獻(xiàn)標(biāo)示碼：A

文章編號(hào)：1000-2324（2016）01-0107-04