童明浩， 王　君

(湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 湖北 武漢 430068)

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四自由度Delta機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解研究

童明浩， 王君

(湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 湖北 武漢 430068)

[摘要]并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)。為使Delta四自由度機(jī)械手達(dá)到完成工作的目的，根據(jù)Delta并聯(lián)機(jī)械手的特點(diǎn)，改進(jìn)了兩種四自由度Delta機(jī)器人設(shè)計(jì)，簡(jiǎn)化模型，建立數(shù)學(xué)模型及運(yùn)動(dòng)方程，推算出運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解公式。根據(jù)機(jī)械手末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)，得到伺服電機(jī)需要轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)角。

[關(guān)鍵詞]并聯(lián)機(jī)器人；運(yùn)動(dòng)學(xué)；逆解

工業(yè)機(jī)械手(又稱工業(yè)機(jī)器人)根據(jù)結(jié)構(gòu)形式可以分為并聯(lián)機(jī)械手和串聯(lián)機(jī)械手兩大類，串聯(lián)機(jī)械手電機(jī)安裝在運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)處，慣量負(fù)載較大，在高速運(yùn)行中易產(chǎn)生振動(dòng)和細(xì)微形變，影響末端執(zhí)行器的精度；并聯(lián)機(jī)械手電機(jī)安裝在固定機(jī)架上，并且一般以質(zhì)量較輕的碳纖維材料作為手臂，因此在較高的速度和加速度下可保證末端執(zhí)行器的精度，對(duì)機(jī)械手系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)性能有顯著的提高。實(shí)際生產(chǎn)中，需要高速搬運(yùn)工作場(chǎng)合一般使用并聯(lián)機(jī)構(gòu)。Delta機(jī)械手屬于并聯(lián)機(jī)械手，它的運(yùn)動(dòng)副由3個(gè)移動(dòng)副和1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副組成。因此，對(duì)Delta并聯(lián)機(jī)器人的研究成為工業(yè)機(jī)器人研究的一個(gè)重要領(lǐng)域[1-4]。傳統(tǒng)的四自由度并聯(lián)機(jī)械手的3個(gè)電機(jī)分別控制3個(gè)大臂運(yùn)動(dòng)，由中間的旋轉(zhuǎn)軸控制末端執(zhí)行器的旋轉(zhuǎn)[4-7]。新型四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)(如H4型、Par4型機(jī)器人)是近年來(lái)發(fā)明的一種Delta結(jié)構(gòu)。Delta并聯(lián)機(jī)器人中的復(fù)合運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)使機(jī)器人的工作效率高于一般的串聯(lián)機(jī)器人，但同時(shí)使其理論研究趨向復(fù)雜[8]。對(duì)于經(jīng)典四自由度Delta機(jī)械手已有較多研究，但對(duì)于運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解求解方式普遍較為繁瑣。新型四自由度高速機(jī)械手省去了中間的旋轉(zhuǎn)軸，動(dòng)平臺(tái)采用平行四邊形結(jié)構(gòu)，在電機(jī)運(yùn)動(dòng)中可實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)，因此運(yùn)動(dòng)更加快速，其運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解計(jì)算同步過(guò)程也更為復(fù)雜[9-12]。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文結(jié)合幾何和代數(shù)的方法，對(duì)已有的傳統(tǒng)四自由度delta結(jié)構(gòu)和新型四自由度delta結(jié)構(gòu)的機(jī)械手分別采用機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的數(shù)學(xué)方法。該方法相對(duì)于傳統(tǒng)代數(shù)計(jì)算方法計(jì)算更為簡(jiǎn)單，推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單、直觀。

1Delta機(jī)構(gòu)模型簡(jiǎn)介

傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)器人主要由靜平臺(tái)、驅(qū)動(dòng)裝置、運(yùn)動(dòng)支鏈(大小臂)、動(dòng)平臺(tái)和末端執(zhí)行器所組成(圖1)。

圖 1　傳統(tǒng)四自由度并聯(lián)機(jī)械手

機(jī)器人的靜平臺(tái)一般安裝在外部固定的支架上，驅(qū)動(dòng)裝置包括電機(jī)和變速帶輪，圖中機(jī)構(gòu)以帶傳動(dòng)代替減速器，成本更低廉。運(yùn)動(dòng)支鏈包括主動(dòng)臂和從動(dòng)臂，為了減輕機(jī)構(gòu)重量，從動(dòng)臂一般使用碳纖維桿。驅(qū)動(dòng)裝置將運(yùn)動(dòng)傳遞給主動(dòng)臂，主動(dòng)臂通過(guò)球鉸來(lái)帶動(dòng)從動(dòng)臂轉(zhuǎn)動(dòng)。從動(dòng)臂由兩根相互平行的碳纖維桿組成，每根碳纖維桿兩端都通過(guò)球鉸與大臂和動(dòng)平臺(tái)連接。通過(guò)6個(gè)球鉸將運(yùn)動(dòng)傳遞給動(dòng)平臺(tái)，驅(qū)動(dòng)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)，保障了機(jī)構(gòu)在高速運(yùn)動(dòng)中的穩(wěn)定性。

新型高速并聯(lián)機(jī)器人主要組成部分和傳統(tǒng)Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)類似，但新型高速并聯(lián)機(jī)構(gòu)小臂使用4組平行四邊形結(jié)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度通過(guò)平行四邊形結(jié)構(gòu)消除，機(jī)構(gòu)只保留了空間x,y,z三維空間平動(dòng)自由度(圖2)。Delta機(jī)構(gòu)的4個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)全部安裝在靜平臺(tái)上，靜平臺(tái)固定在外部支架上，使機(jī)器人在具有良好的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性的同時(shí)還具備較好的動(dòng)力學(xué)特性。簡(jiǎn)單且緊湊的結(jié)構(gòu)使Delta機(jī)構(gòu)成為在目前眾多并聯(lián)機(jī)構(gòu)中較為成功的一類。與傳統(tǒng)Delta機(jī)構(gòu)不同，機(jī)構(gòu)沒(méi)有專用的旋轉(zhuǎn)軸，而是使用了特殊的動(dòng)平臺(tái)機(jī)構(gòu)。動(dòng)平臺(tái)(圖3)為平行四邊形結(jié)構(gòu)，通過(guò)一定運(yùn)動(dòng)學(xué)算法，可以在電機(jī)運(yùn)動(dòng)的同時(shí)帶動(dòng)末端執(zhí)行器的旋轉(zhuǎn)，因此省去中間的旋轉(zhuǎn)軸，同時(shí)也可使工作效率更高。

圖 2　新型四自由度Delta機(jī)械手

圖 3　機(jī)械手的動(dòng)平臺(tái)

運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解就是已知機(jī)器人的目標(biāo)位置參數(shù)，求解各個(gè)電機(jī)的輸入機(jī)構(gòu)的位置參數(shù)；反之，正解是已知電機(jī)位置的輸入?yún)?shù)，求解機(jī)器人末端執(zhí)行器輸出的位置參數(shù)。同時(shí)，由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的耦合關(guān)系，相對(duì)于運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，逆解方式較為簡(jiǎn)單；正解相對(duì)復(fù)雜，主要用于機(jī)器人坐標(biāo)位置的實(shí)時(shí)顯示。本文采用幾何和代數(shù)方法，根據(jù)連桿長(zhǎng)度建立約束方程，便可得到機(jī)器人末端位置與每個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)角之間的位置關(guān)系。

2傳統(tǒng)四自由度并聯(lián)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

如圖4所示，傳統(tǒng)的四自由度delta機(jī)械手有3個(gè)平動(dòng)自由度。分別以靜平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)3個(gè)運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)(轉(zhuǎn)動(dòng)副中心)建立三角形，并且以三角形的中心位置O、O1建立直角坐標(biāo)系。規(guī)定z軸方向?yàn)橄蛏?。Ai為伺服電機(jī)的安裝點(diǎn)，αi為電機(jī)轉(zhuǎn)角，l和L分別為主動(dòng)臂和從動(dòng)臂的長(zhǎng)度。

圖 4　傳統(tǒng)Delta機(jī)械手?jǐn)?shù)學(xué)模型

由圖4可知矢量方程：

OO1=OAi+AiBi+BiCi-O1Ci

(1)

設(shè)電機(jī)轉(zhuǎn)角為αi，則：

(2)

(3)

(4)

將式(2)、式(3)、式(4)帶入式(1)可得：

(5)

(6)

其中：

ai=x2+y2+z2+(r1-r2)2-L2+l2-2(xcosβi+

ysinβi)(r1-r2)+2l(xcosβi+ysinβi-r1+r2)

bi=4lz

ci=x2+y2+z2+(r1-r2)2-L2+l2-2(xcosβi+

ysinβi)(r1-r2)-2l(xcosβi+ysinβi-r1+r2)

令Δi=bi-4aici，帶入式(6)得：

3新型高速并聯(lián)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

新型四自由度高速機(jī)器人如圖2、圖3所示。4個(gè)伺服電機(jī)固定在靜平臺(tái)上作為驅(qū)動(dòng)裝置。動(dòng)平臺(tái)主要由平臺(tái)連接板、平臺(tái)支架、旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和末端執(zhí)行器組成，是用于帶動(dòng)機(jī)器人末端執(zhí)行器旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵機(jī)構(gòu)。平臺(tái)連接板和平臺(tái)支架兩兩平行，通過(guò)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接起來(lái)，組成平行四邊形的四條邊。末端執(zhí)行器固定在動(dòng)平臺(tái)連接板上，由于此種新型并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)采用具有內(nèi)部旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的四邊形結(jié)構(gòu)，當(dāng)平行四邊形內(nèi)角改變時(shí)，末端執(zhí)行器跟著轉(zhuǎn)動(dòng)，故可實(shí)現(xiàn)帶動(dòng)末端執(zhí)行器旋轉(zhuǎn)一定角度的需求，并且還可以加入旋轉(zhuǎn)放大機(jī)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)更大角度的旋轉(zhuǎn)。

在進(jìn)行反解分析時(shí)首先需對(duì)機(jī)械手進(jìn)行結(jié)構(gòu)上的簡(jiǎn)化。

(a)數(shù)學(xué)模型

(b)手動(dòng)平臺(tái)圖 5　新型Delta機(jī)械手

如圖5所示，末端執(zhí)行器的位置為點(diǎn)E；R為電機(jī)安裝點(diǎn)距原點(diǎn)距離；αi為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角度；li為主動(dòng)臂的長(zhǎng)度；Li為從動(dòng)臂的長(zhǎng)度；H、D分別為動(dòng)平臺(tái)支架和動(dòng)平臺(tái)連接板的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)中心距；h、d分別為2個(gè)旋轉(zhuǎn)中心到Ci點(diǎn)的垂距。

機(jī)械手的電機(jī)在靜平臺(tái)上的安裝位置可以簡(jiǎn)化成一點(diǎn)Ai，且

(7)

從動(dòng)臂的上端點(diǎn)處球鉸可簡(jiǎn)化成一點(diǎn)Bi，且

(8)

設(shè)θ為末端執(zhí)行器E與動(dòng)平臺(tái)支架方向的夾角，末端執(zhí)行器E坐標(biāo)為(x,y,z,θ)。則動(dòng)平臺(tái)上Ci點(diǎn)以E為參照點(diǎn)，其

(9)

在四自由度delta機(jī)械手中，可得約束條件:

將式(7)、式(8)帶入式(9)，可得

式中，fij表示代表位姿的變量x,y,z,θ的函數(shù)，i為電機(jī)編號(hào)(i=1,2,3,4)，j為Bi中的x,y,z坐標(biāo)(j=1,2,3)。

求出上式的判別式：

根據(jù)所有的Δi≥0(i=1,2,3,4)， 可得電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角度

αi=2arctanti

4結(jié)論

(1)針對(duì)本文介紹的兩種四自由度Delta機(jī)械手，優(yōu)化其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，使其能實(shí)現(xiàn)三維空間上的移動(dòng)和繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，且成本更低廉、安裝更加方便。

(2)基于Delta結(jié)構(gòu)的并聯(lián)四自由度機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，以桿長(zhǎng)為約束條件，結(jié)合代數(shù)和幾何方法推導(dǎo)出了逆解公式。此計(jì)算過(guò)程更加簡(jiǎn)單，推導(dǎo)更加直觀。逆解公式的結(jié)果是否存在解，與末端執(zhí)行器的位置密切相關(guān)，如果末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)都處于工作空間外，則無(wú)解。

(3)在這兩種結(jié)構(gòu)中，第一種經(jīng)典結(jié)構(gòu)應(yīng)用已較為廣泛，第二種屬于新型高速結(jié)構(gòu)，主要應(yīng)用在需要高速工作的環(huán)境中，能顯著增加生產(chǎn)效率。

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[責(zé)任編校： 張眾]

Inverse Kinematics Analysis of 4-DOF Delta Manipulator

TONG Minghao， WANG Jun

((SchoolofMechanicalEngin.，HubeiUniv.ofTech.，Wuhan430068，China)

Abstract：Parallel robot kinematics analysis is the basis of Parallel institutions. In order to achieve the purpose of the robot work, this paper, based on the characteristics of Delta parallel robot, designed and improved two kinds of 4-DOF Delta robots, established the mathematical model and the equations, and also presented the inverse kinematics. According to the actuator end position and posture, it finally got the servo motor rotation.

Keywords：parallel robot; kinematics; inverse solution

[中圖分類號(hào)]TH12

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]：A

[文章編號(hào)]1003-4684(2016)01-0042-04

[通訊作者]王君(1977-)，男，湖北蘄春人，工學(xué)博士，湖北工業(yè)大學(xué)教授，研究方向?yàn)闄C(jī)器人學(xué)，先進(jìn)制造技術(shù)與裝備，新

[作者簡(jiǎn)介]童明浩(1991-)， 男， 湖北天門人，湖北工業(yè)大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)構(gòu)，并聯(lián)機(jī)器人及操作器人

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金(51405140)；湖北省自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(2015CFA112)；

[收稿日期]2015-11-23

湖北省教育廳優(yōu)秀中青年科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(T201505)

能源技術(shù)