徐森

【摘 要】本文通過分析一元函數(shù)和多元函數(shù)微積分中對于變量的含義，討論了多元函數(shù)環(huán)境下，分部積分法的應(yīng)用思路。通過一道二重積分的計算題目，分析了積分變量的確定與認識對于積分計算的意義。

【關(guān)鍵詞】二重積分；分部積分法；積分變量

分部積分法是計算積分的有效方法，但無論是在教學(xué)環(huán)節(jié)還是學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，都主要強調(diào)了一元函數(shù)微積分下的應(yīng)用，在多元函數(shù)環(huán)境下，則討論的較少。本文以一道研究生入學(xué)考試試題為例，討論在多元函數(shù)微積分下的分部積分法的應(yīng)用。

分部積分法的理論基礎(chǔ)在于微積分之間的互逆關(guān)系進行“湊微分”，即利用微分式v'（x）dx=dv（x），進行分部積分運算，∫uv'dx=∫udv=uv-∫vdu=

uv-∫vu'dx[1]。在一元函數(shù)環(huán)境下，由于只有一個變量x，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對于積分變量的認識不夠，往往忽視了“對誰求導(dǎo)”、“對誰積分”的問題。但在多元函數(shù)環(huán)境下，變量選擇的問題就凸顯了出來。實際上，在多元函數(shù)微積分中，微積分之間的“互逆關(guān)系”依然存在，關(guān)鍵是認清楚“對誰求導(dǎo)”、“對誰積分”的問題，保證導(dǎo)數(shù)和積分所對應(yīng)的變量是一致的即可[2]。

本道考題較好的反映了分部積分法在二重積分中的應(yīng)用。在教學(xué)過程中，應(yīng)著重強調(diào)積分中積分變量的含義，認清楚積分變量對于積分計算至關(guān)重要，通過訓(xùn)練可以更加開闊學(xué)生對分部積分法和多元函數(shù)微積分的認識。

【參考文獻】

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2004：114-157.

[2]孫衛(wèi)衛(wèi)，杜美華.巧用分部積分法求解二重積分[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2014（4）：1-2.

[責(zé)任編輯：王楠]