張凌潔寶雞文理學(xué)院

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淺談高維數(shù)據(jù)變量選擇現(xiàn)狀與方法

張凌潔
寶雞文理學(xué)院

變量選擇是統(tǒng)計(jì)分析理論中的重要內(nèi)容，也是目前學(xué)者們研究的重點(diǎn)。本文在傳統(tǒng)數(shù)據(jù)變量選擇的基礎(chǔ)上，介紹高維數(shù)據(jù)變量選擇方法的研究歷史和研究現(xiàn)狀，總結(jié)已有變量選擇的研究成果，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了總結(jié)和展望。

高維 變量選擇 穩(wěn)健方法

1　變量選擇方法簡(jiǎn)介

從20世紀(jì)60年代至今，變量選擇的研究已有不少文獻(xiàn)與資料。以Akaike 在1974年提出的AIC準(zhǔn)則為標(biāo)志，近幾十年來(lái)，變量選擇是統(tǒng)計(jì)學(xué)者們研究的重點(diǎn)，研究的方法和理論結(jié)果已經(jīng)有了相對(duì)成熟的進(jìn)展。

經(jīng)典的變量選擇包括前進(jìn)法、后退法、逐步回歸法、最優(yōu)回歸子集法等，通過(guò)AIC，BIC，Cp等從候選模型中選出一個(gè)最優(yōu)子集來(lái)擬合回歸模型。建立回歸模型初期，引入很多相關(guān)的變量以減小模型的誤差；選擇對(duì)因變量有明顯影響的重要變量以提高模型預(yù)測(cè)的精度和可解釋性。

實(shí)際中，經(jīng)典的變量選擇方法，適合模型中變量個(gè)數(shù)比較少的模型。但是當(dāng)變量個(gè)數(shù)增多時(shí)，需要解決的問(wèn)題也隨之增多。如由于要求解一個(gè)多項(xiàng)式復(fù)雜程度的非確定性問(wèn)題，從而處理高維和海量問(wèn)題時(shí)失效；對(duì)于成百上千的變量，如果我們選擇過(guò)多的變量，則會(huì)使計(jì)算成本過(guò)大、變量選擇估計(jì)的速度減慢以及模型選擇的精準(zhǔn)度降低，也會(huì)出現(xiàn)過(guò)度擬合現(xiàn)象；如果我們選擇較少的變量，則會(huì)遺漏重要變量或選擇變量不當(dāng)，使結(jié)果誤差較大，也失去了分析研究的意義。只有選取適合的變量選擇方法，才能選擇出有用變量，去除冗余變量，化簡(jiǎn)模型。這樣既節(jié)省了計(jì)算量，也便于分析數(shù)據(jù)使結(jié)果更加精確，所以選擇適合的變量選擇方法是研究高維數(shù)據(jù)時(shí)的重要的步驟。

近年來(lái)，統(tǒng)計(jì)學(xué)者們提出用懲罰函數(shù)同時(shí)進(jìn)行變量選擇和系數(shù)估計(jì)，其基本思想就是在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的同時(shí)，把較小的系數(shù)估計(jì)壓縮，而將較大的系數(shù)估計(jì)保留，從而選擇出重要變量達(dá)到變量選擇的目的──正則化方法。正則化估計(jì)能大大減少計(jì)算量、克服經(jīng)典變量選擇方法的不穩(wěn)定性。目前的懲罰方法有：Tishirani等提出的Lasso、Fan等提出的SCAD、Zou等提出的自適應(yīng)Lasso、Zou等提出的Elast ic Net、Wang等提出的組Lasso、Zhao等提出的分級(jí)Lasso、Candes等提出的Dantzig Selector 以及Xu等提出L1/2正則化、Zhang等提出處理NP維下的非凸懲罰估計(jì)MCP懲罰、Fan等研究超高維非凸懲罰函數(shù)變量選擇問(wèn)題。

2　高維變量選擇穩(wěn)健方法簡(jiǎn)介

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們可以搜集到物理化學(xué)、個(gè)性化醫(yī)療、霧霾分析及其它領(lǐng)域的高維海量數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)計(jì)算的復(fù)雜性和高成本使得經(jīng)典地變量選擇方法不再適用，為此，統(tǒng)計(jì)學(xué)者們開(kāi)始尋找研究高維數(shù)據(jù)的變量選擇方法，即以lasso為代表的懲罰似然方法（通過(guò)系數(shù)壓縮來(lái)實(shí)現(xiàn)變量選擇）。然而實(shí)際中的高維數(shù)據(jù)卻含有異常值點(diǎn)，使得數(shù)據(jù)呈現(xiàn)尖峰或厚尾分布，此時(shí)的變量選擇方法將不再具有優(yōu)良性和穩(wěn)健性，統(tǒng)計(jì)學(xué)者們提出穩(wěn)健估計(jì)方法，即用具有穩(wěn)健性的損失函數(shù)來(lái)替代最小二乘損失函數(shù)，如M-估計(jì)、最小平方中位數(shù)估計(jì)和最小平方修整估計(jì)、分位數(shù)回歸模型、秩回歸、CQR估計(jì)等。

2.1方法的提出和性質(zhì)的研究

1996年Tibshirani提出一般線性模型下的lasso方法，開(kāi)啟了高維數(shù)據(jù)變量選擇的研究，具有劃時(shí)代的意義。Lasso可以使無(wú)明顯影響變量的系數(shù)壓縮為零，同時(shí)進(jìn)行變量選擇和參數(shù)估計(jì)。Lasso在估計(jì)值較大的變量可將重要變量的系數(shù)壓縮較小，而保證參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性。但是lasso方法不具有oracle性。2004年Fan得出SCAD具有oracle性質(zhì)且降低了計(jì)算的復(fù)雜度。2007年Zhao提出lasso不具有相合性也不具有oracle性，Zou對(duì)lasso做相同系數(shù)壓縮提出ALasso方法，證明其在固定維數(shù)時(shí)具有oracle性。2010年Shojaie提出ALasso中調(diào)整系數(shù)A值的ALasso是一種凸優(yōu)化問(wèn)題，可快速有效地得到其全局最優(yōu)解。2005年Zou提出了處理基因微陣列數(shù)據(jù)的Elastic net方法，對(duì)系數(shù)二次懲罰，使得具有組效應(yīng)的數(shù)據(jù)可以進(jìn)行有效的變量選擇，且能解決高維小樣本問(wèn)題。2009年Zou提出的adaptive Elastic Net具有oracle性質(zhì)。為解決Lasso方法過(guò)擬合問(wèn)題，2007年Meinshausen引入壓縮參數(shù)提出Relaxed Lasso，2013張凌潔等分析研究LS+LAD組合損失函數(shù)的高維穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。這些方法一定程度上可以處理高維統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。

2.2方法在各類(lèi)模型中的研究

一般線性模型中有變量選擇，同樣其他模型中也有變量選擇。1996年Tibshirani推出COX模型下的lasso，2001年P(guān)aek提出廣義線性模型下的lasso，2007年Meinshausen提出高斯圖模型中的Graphical lasso，2014年張凌潔等分析研究了分層懲罰鏈接單個(gè)圖模型的估計(jì)的多圖模型，2011年盧穎提出poisson對(duì)數(shù)線性模型下和logist ic回歸模型下的ElasticNet變量選擇方法，同年Nardi提出時(shí)間序列模型下的lasso，Kai等提出的變系數(shù)半?yún)?shù)模型下的SCAD及其理論性質(zhì)，崔靜等提出Poisson對(duì)數(shù)回歸模型下ALasso的定義和性質(zhì)，2012年Li提出半?yún)?shù)模型的lasso，2015年蘇美紅等［4］分析研究了LADElastic Net模型選擇的一致性。

2.3方法研究注意的事項(xiàng)

正則化方法研究的模式通常是“損失函數(shù)+懲罰函數(shù)”，一個(gè)較優(yōu)的懲罰估計(jì)需注意以下幾個(gè)問(wèn)題：

（1）選擇損失函數(shù)。損失函數(shù)的好壞決定著模型的穩(wěn)健性，數(shù)據(jù)模型呈正態(tài)分布時(shí)，其結(jié)果最佳；

（2）選擇懲罰函數(shù)。懲罰估計(jì)的理論性質(zhì)（稀疏性、連續(xù)性和無(wú)偏性）取決于懲罰函數(shù)的選擇；

（3）采用的算法。算法的可行性，運(yùn)算時(shí)間直接影響著估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性；

（4）選擇調(diào)試參數(shù)。調(diào)試參數(shù)對(duì)模型稀疏性和相合性影響較大。

3　總結(jié)與展望

隨著大數(shù)據(jù)應(yīng)用的深廣，人們對(duì)高維數(shù)據(jù)的研究和運(yùn)用也日益普遍。高維數(shù)據(jù)變量選擇是大數(shù)據(jù)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)，也是大數(shù)據(jù)領(lǐng)域不得不關(guān)注的重要問(wèn)題。本文介紹了高維數(shù)據(jù)變量選擇方法的研究歷史和研究現(xiàn)狀，總結(jié)了一些已有的研究成果。高維數(shù)據(jù)變量選擇模型多種多樣，從中選擇與實(shí)際情況相結(jié)合并不斷地修改模型使其具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。如果采用最優(yōu)的函數(shù)和有效的算法，用于模型的建立與算法的實(shí)現(xiàn)，可為高維數(shù)據(jù)變量選擇的應(yīng)用提供研究基礎(chǔ)，有利于推進(jìn)研究工作的進(jìn)一步深化，也有利于體現(xiàn)現(xiàn)實(shí)價(jià)值。

［1］ Tibshi rani， R. Regression shrinkage and selectionvia the Lasso［J］. Journal of the Royal Statistical Society Series B. 1996， 58： 267-288.

［2］張凌潔，蘇美紅，張海。LS，LAD組合損失的高維統(tǒng)計(jì)性質(zhì)分析［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)期刊（自然科學(xué)版），2013，29（5）：536-546.

［3］張凌潔，張海。多圖模型的聯(lián)合估計(jì)的群橋方法［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）.2014，29（2）：127-137.

［4］蘇美紅，張海，張凌潔.基于LAD-Elast ic Net的模型選擇［J］.南京大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，51（4）：894-900.

寶雞文理學(xué)院校級(jí)重點(diǎn)科研項(xiàng)目，項(xiàng)目名稱(chēng)：高維數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)分析。編號(hào)：（ZK16118）。

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張凌潔（1986-），女，陜西鳳翔人，碩士學(xué)位，主要研究方向：機(jī)器學(xué)習(xí)。