潘雪娟，朱尤攀，潘 超，韓 娟，李大慶，張 皓，羅 琳，李澤民

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基于梯度計算的自動聚焦圖像清晰度評價函數(shù)仿真分析

潘雪娟1,2，朱尤攀1,2，潘 超1，韓 娟1，李大慶3，張 皓1，羅 琳1，李澤民1

（1. 昆明物理研究所，云南 昆明 650223；2. 微光夜視技術(shù)重點實驗室，陜西 西安 710065；3. 中國人民解放軍63963部隊，北京 100072）

基于梯度計算的評價函數(shù)在自動聚焦系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛，函數(shù)形式變化多樣，本文基于圖像梯度計算的數(shù)學(xué)原理，通過MATLAB仿真分析，對比了常見梯度類評價函數(shù)的性能，總結(jié)了梯度類評價函數(shù)應(yīng)用中結(jié)合系統(tǒng)成像質(zhì)量控制算法性能的方法。

梯度算子；評價函數(shù)；數(shù)學(xué)原理；自動聚焦；MATLAB

0 引言

在基于圖像處理的自動聚焦方法中，準(zhǔn)確的像質(zhì)評價是聚焦位置搜索（占整個自動聚焦過程的大部分時間[1]）的前提，圖像清晰度評價函數(shù)在閉環(huán)系統(tǒng)中非常重要。由于場景的隨機性、成像系統(tǒng)的成像質(zhì)量、噪聲干擾等問題，目前并沒有一種通用的評價函數(shù)能夠適用于所有場合。在眾多評價函數(shù)中，基于像素梯度計算的評價函數(shù)數(shù)量大、變化多、應(yīng)用廣，各種梯度類評價函數(shù)的差別主要體現(xiàn)在梯度算子的不同，即差分對像素灰度變化不同的近似（方向、階數(shù)），以及像素梯度到評價值的映射處理，即對高頻信息的衡量（取絕對值、平方運算、求模等）。本文從梯度算子的數(shù)學(xué)原理出發(fā)，結(jié)合MATLAB仿真分析，對常見的梯度類評價函數(shù)比較，總結(jié)出一些基本的設(shè)計原則，對設(shè)計梯度類函數(shù)作為自動聚焦系統(tǒng)評價函數(shù)性能的把控提供參考。

1 基于梯度的評價函數(shù)原理

1.1 微分運算的差分近似原理

圖像清晰度評價的原理：清晰圖像比模糊圖像對比度高，邊緣細節(jié)豐富（高頻分量多），評價函數(shù)的實質(zhì)基本都在檢測加強高頻信息，梯度類函數(shù)以像素梯度反映灰度的變化情況?；叶染植孔兓梦⒎謥頇z測，由于變化短促，一階和二階微分特別適合于這種目的[2]。如二維圖像的二階導(dǎo)數(shù)差分近似：拉普拉斯算子（梯度的散度）：

圖像像素位置關(guān)系如下：

一階導(dǎo)數(shù)通常在圖像中產(chǎn)生較粗的邊緣；導(dǎo)數(shù)的幅度可用于檢測圖像中的某個點處是否存在一個邊緣。二階導(dǎo)數(shù)對精細細節(jié)，如細線、孤立點和噪聲有較強的響應(yīng)，導(dǎo)數(shù)對每條邊緣生成兩個值，零交叉點可用于定位粗邊緣的中心。在純粹的二階導(dǎo)數(shù)操作中就會出現(xiàn)對噪聲的敏感現(xiàn)象，三階以上的導(dǎo)數(shù)信息往往失去了應(yīng)用價值。各種梯度算子的存在就是對這種導(dǎo)數(shù)分割原理進行實例化計算。圖像微分的差分近似可以通過卷積濾波實現(xiàn)，式(1)的卷積核為：

正是拉普拉斯4鄰域梯度算子。觀察差分運算式與其濾波模板的對應(yīng)，梯度算子的差異主要在于：梯度方向、梯度計算間隔（微分運算階數(shù)）。大的算子可以用于檢測模糊邊緣，小的算子可用于檢測銳度集中的精細細節(jié)。實際中，數(shù)字圖像都存在被模糊且?guī)в性肼暤倪吘墸：某潭戎饕Q于聚焦機理（如光學(xué)成像中的鏡頭），而噪聲水平主要取決于成像系統(tǒng)的電子元件。梯度算子的選取和設(shè)計正是基于梯度計算邊緣檢測的一大類圖像清晰度評價函數(shù)的重點，圖像數(shù)據(jù)的隨機性、噪聲影響，如何保證邊緣檢測準(zhǔn)確高效是需要考慮的問題。

1.2 梯度算子性能比較分析

1.2.1 單個梯度算子中包含的信息

②階數(shù)，梯度計算的間隔體現(xiàn)微分的階數(shù)[2]，通常使用一階或二階的梯度算子。如梯度平方函數(shù)梯度算子對應(yīng)一階微分，Brenner函數(shù)對應(yīng)二階微分。對于二階微分的近似，Sobel算子進行加權(quán)平均處理。從另一個角度考慮，圖像對比度低的系統(tǒng)，如紅外成像系統(tǒng)，圖像邊緣較粗，使用間隔一個像素計算梯度的函數(shù)評價效果可能更好。文獻[3]中提到通過梯度間隔減弱噪聲干擾，文獻[4-5]對梯度間隔信息反映的頻率特性進行了分析，文獻[6]也討論了梯度間隔信息。

1.2.2 多個梯度算子

對二維圖像數(shù)據(jù)，綜合兩個互相垂直的方向梯度信息是合理的，常見單個梯度算子中只有拉普拉斯（4鄰域）算子包含兩個方向梯度信息，對圖像的梯度算子模板根據(jù)差分近似必需滿足的條件設(shè)計系數(shù)，在單個算子中包含兩個方向不好設(shè)計，最簡單的方法是同時使用計算兩個梯度方向的算子，可對單個方向梯度算子進行處理提高準(zhǔn)確性，如SML（Sum Modified Laplacian）函數(shù)的兩個分別檢測水平垂直方向梯度信息的算子對應(yīng)拉普拉斯4鄰域算子的兩個方向，又如Sobel算子梯度計算間隔1個像素，并進行了加權(quán)平均處理。

2 像素梯度到評價值的映射算法

2.1 單個梯度算子

對單個梯度算子與圖像矩陣卷積得到的梯度矩陣（每個像素點對應(yīng)一個梯度值），將二維矩陣數(shù)據(jù)映射為一個評價數(shù)值，常見的有兩種處理方法，取絕對值累加和平方累加，即梯度幅度均值越大，圖像越清晰，平方運算加強梯度信息，但可能增強遠焦區(qū)的波動，對閾值處理具有依賴性。

2.2 多個梯度算子

3 實驗數(shù)據(jù)與分析

仿真平臺：CPU：Intel(R)b Core(TM) i5-4590 @3.3GHz，3.46GB內(nèi)存，計算環(huán)境：MATLABR2012b。

采用13組圖像數(shù)據(jù)，其中，3組非制冷紅外紅外像，對比度低；6組制冷紅外圖像，對比度較非制冷紅外圖像高；4組可見光圖像，對比度較高。圖像序列依次對應(yīng)離焦-聚焦-離焦的過程。文中采用圖1所示的3組典型圖像數(shù)據(jù)進行分析，第一組可見光圖像對比度高，45幅圖像中第30幅最清晰；第二組制冷紅外圖像，主體水平邊緣豐富，背景云在動，81幅圖像中第41幅最清晰；第3組非制冷紅外圖像，對比度低，22幅圖像，前面的人在第9幅圖最清晰，后面的人在第17、18幅圖像清晰。

圖1 典型圖像數(shù)據(jù)

3.1 單個梯度算子方向與微分階數(shù)對評價函數(shù)性能的影響

本節(jié)使用以下典型微分算子對圖1所示的圖像進行梯度計算，對比分析單個梯度算子的方向、階數(shù)對圖像邊緣信息提取的性能，實驗中整幅圖像的信息綜合都采用取絕對值累加的方法，結(jié)果見圖2～圖4。

一階水平、垂直、－45°、＋45°方向梯度算子（后兩個即Roberts算子）：

二階水平、垂直、－45°、＋45°方向梯度算子：

二階水平、垂直、－45°、＋45°方向梯度算子（間隔一個像素）：

拉普拉斯4鄰域、8鄰域算子、對角方向梯度算子（二階微分算子）：

由圖2可以看出，對于對比度高的可見光圖像，不同方向、階數(shù)的梯度算子都準(zhǔn)確聚焦，波動趨勢基本相同。二階垂直梯度算子效果最好，二階算子比一階算子和相隔一個像素計算的二階梯度算子靈敏度好。

由圖3可以看出，對圖1所示的制冷紅外圖像，聚焦點兩側(cè)二階水平梯度算子靈敏度最好，其次是一階水平梯度算子。垂直方向的梯度算子全部對焦失敗，聯(lián)系圖像序列的特點，主體水平邊緣豐富，背景云在動，評價函數(shù)曲線波動也大。

由圖4可以看出，對實驗中采用的效果最差的非制冷紅外圖像間隔一個像素計算的二階梯度算子性能最好，其次是一階梯度算子，相鄰像素計算的二階梯度算子性能最差。

綜上，梯度算子的方向和階數(shù)對不同圖像的評價并沒有一致性，與實際邊緣方向一致的算子具有更好的性能?？傮w來講，對比度高的圖像，相鄰像素計算梯度的二階微分算子比一階微分算子靈敏度高，一階微分算子比相隔一個像素計算梯度的二階微分算子靈敏度高；對比度低的圖像，梯度算子的靈敏度呈現(xiàn)與上述完全相反的順序，實驗中用到的非制冷紅外圖像邊緣模糊，相隔一個像素計算梯度對邊緣的檢測更靈敏。梯度算子的方向和計算間隔應(yīng)該根據(jù)具體的系統(tǒng)合理設(shè)計。

3.2 單個梯度算子的信息綜合

3.1節(jié)中整幅圖像的信息綜合（像素梯度到評價值的映射算法）都采用取絕對值累加的方法，本節(jié)采用與3.1節(jié)相同的梯度算子，對應(yīng)2.1節(jié)，采用像素梯度平方和累加的方法，對比不同梯度信息綜合算法的性能，結(jié)果見圖5～圖6，結(jié)合圖2～圖4進行分析。

對比圖2～圖4可以看出，梯度絕對值累加的計算方法，圖2顯示對對比度高的圖像波動較小，圖3對比度降低，波動增大，圖4對比度最低的非制冷紅外圖像，函數(shù)曲線波動嚴(yán)重。

由圖5可以看出，梯度平方累加的計算方法，間隔一個像素計算二階梯度算子和一階梯度算子，梯度平方函數(shù)較絕對值函數(shù)性能大大提高，很好地抑制了離焦區(qū)的曲線波動。對單個算子的信息綜合，為了抑制非邊緣像素梯度參與計算產(chǎn)生的影響，可以進一步考慮閾值處理[7,12-14]、像數(shù)據(jù)歸一化、賦權(quán)[15-16]等方法。

由圖6可以看出，梯度絕對值函數(shù)對椒鹽噪聲的抗干擾性比高斯噪聲強，梯度平方函數(shù)對高斯噪聲的抗干擾性比椒鹽噪聲強，梯度絕對值函數(shù)對兩種噪聲的綜合抗干擾性能比梯度平方函數(shù)強。

3.3 多個梯度算子信息綜合

本節(jié)采用以下微分算子，結(jié)合二階水平、垂直方向梯度算子及二階水平、垂直方向梯度算子（間隔一個像素）計算圖像梯度，對應(yīng)2.2節(jié)梯度到評價值的映射算法，綜合比較多個梯度算子的方向、梯度信息及信息綜合方法對評價函數(shù)性能的影響，結(jié)果見圖7～圖10。

圖2 不同梯度算子函數(shù)對可見光圖像的評價效果

圖3 不同梯度算子函數(shù)對制冷紅外圖像的評價效果

圖5 非制冷紅外圖像梯度信息平方累加評價效果

圖6 抗噪性能

Fig.6 Noise suppression performance

Sobel水平、垂直、＋45°、－45°方向梯度算子（一階梯度算子、加權(quán)平均）：

Prewitt水平、垂直、＋45°、－45°方向梯度算子（一階梯度算子、取平均）：

Krisch梯度算子（相鄰卷積核45°夾角）：

由圖7可以看出，對主體水平邊緣豐富的制冷紅外圖像，單個方向梯度算子，垂直方向?qū)故。癙rewitt算子函數(shù)——水平＋垂直”將圖像與Prewitt水平和垂直方向算子分別卷積后取絕對值相加，“二階垂直梯度算子——間隔一個像素-水平＋垂直”將圖像與二階水平、垂直方向梯度算子（間隔一個像素）分別卷積后取絕對值相加，SML函數(shù)將圖像與二階水平、垂直方向梯度算子分別卷積后取絕對值相加，這3種函數(shù)都修正了垂直方向的對焦偏差?；诶绽?鄰域算子取梯度絕對值的函數(shù)性能與SML函數(shù)接近，“Prewitt水平＋垂直梯度算子”將Prewitt水平方向梯度算子和垂直方向梯度算子相加（試圖構(gòu)造類似拉普拉斯4鄰域算子式的同時包含水平和垂直兩個方向梯度信息的算子，實際得到的是Sobel －45°方向梯度算子）后與圖像卷積，取梯度絕對值累加得到評價值，對焦失?。ǖ珜ζ朴幸欢ǖ男拚Ч俅握f明同時包含兩個方向信息的梯度算子設(shè)計困難，聚焦評價函數(shù)包含兩個方向信息（相互垂直）有利于提升算法的準(zhǔn)確性。將拉普拉斯4鄰域算子看作二階水平、垂直方向梯度算子，由于兩個方向梯度值可能符號不同，而SML函數(shù)相當(dāng)于分開計算兩個方向梯度后分別取絕對值相加，從上面的分析也看到兩個互相垂直的梯度算子相加不一定得到一個包含兩個垂直方向信息的算子。所以選用包含兩個方向互相垂直的梯度算子分別于圖像進行卷積后綜合梯度信息的算法比單個梯度算子計算梯度的算法更可靠（注意到計算量大的基于Krisch梯度算子的函數(shù)性能并不是最好的，兩個方向是合理的）。

從圖8可以看出，絕對值和、模和、像素灰度值開平方根求梯度模和，計算量依次增加，但曲線性能十分接近，首選絕對值和。平方和函數(shù)相對于前面3種，曲線更加平滑，靈敏度提高。

從圖9可以看出，梯度積和函數(shù)，Sobel和Prewitt算子對焦失?。▓D像對比度好時，間隔一個像素的二階梯度計算效果不好），Roberts和SML算子對焦正確，兩方向梯度乘積絕對值累加的方法并沒有修正錯誤，最終評價函數(shù)分別在垂直和水平算子的定位點出現(xiàn)峰值，同時看到不同的算子階數(shù)、方向信息和信息綜合算法對同一組圖像數(shù)據(jù)評價效果不同，這也是評價函數(shù)穩(wěn)定性和通用性難以保證的原因。

圖7 制冷紅外圖像兩個梯度算子信息綜合評價效果

圖8 制冷紅外圖像兩個方向梯度信息綜合的4種不同算子比較

圖9 制冷紅外圖像兩個方向梯度信息綜合

圖10 非制冷紅外圖像兩個方向梯度信息綜合

從圖10可以看出，對比度低的紅外圖像，Roberts算子（一階）、Sobel、Prewitt算子（間隔一個像素計算梯度且做加權(quán)平均處理）準(zhǔn)確對焦且很好地抑制離焦區(qū)的波動，而SML函數(shù)基于二階水平和垂直梯度算子，3種綜合方法都沒有平滑函數(shù)曲線。圖9顯示，對角方向Roberts算子函數(shù)性能較好，對于對比度低的第二組圖像，波動較間隔一個像素計算梯度的Sobel和Prewitt函數(shù)大，結(jié)合圖5，再次說明間隔一個像素計算梯度處理對比度低的圖像效果更好。

4 結(jié)論

單個梯度算子，不同的階數(shù)、方向?qū)Σ煌y理的圖像敏感性不同，對比度高的圖像，相鄰像素計算梯度的算子較靈敏，通常二階比一階靈敏，對比度低的圖像，相隔一個像素計算梯度的算子更靈敏；檢測方向與實際邊緣方向一致的算子對像質(zhì)的評價更準(zhǔn)確，同時檢測水平和垂直方向的拉普拉斯4鄰域算子較其他檢測一個方向的算子更穩(wěn)定、通用。

包含多個方向梯度算子的函數(shù)比單個梯度算子的函數(shù)對邊緣的檢測更全面，兩個互相垂直方向比較合適，兩個方向梯度絕對值和相加的處理方法在幾種信息綜合方法中計算量適中、性能也比較穩(wěn)定。

梯度絕對值累加計算評價值的函數(shù)對高斯噪聲和椒鹽噪聲抗擾性能較梯度平方累加的函數(shù)好，后者曲線的平滑性好，但對閾值依賴性大、計算量也較大。

針對具體的成像系統(tǒng)，根據(jù)圖像對比度、常用場景特點，合理地設(shè)計梯度算子的方向、階數(shù)及信息綜合算法，進一步可分析評價函數(shù)的平滑處理，提升算法性能[17-18]。

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Simulation Analysis of Auto Focusing Sharpness Evaluation Function for Images Based on Gradient Operator

PAN Xuejuan1,2，ZHU Youpan1,2，PAN Chao1，HAN Juan1，LI Daqing3，ZHANG Hao1，LUO Lin1，LI Zemin1

Kunming Institute of PhysicsKunmingChinaScience and Technology on Low-light-level Night Vision LaboratoryXianChinaUnitof PLA, BeijingChina

Image sharpness evaluation function based on gradient calculation is widely used in automatic focus system, and these functions vary in form. In this paper, starting from the mathematical principles of image gradient calculation, with simulation experiments under MATLAB, performance of common gradient class evaluation functions was compared and analyzed, and methods combining the characteristics of imaging system to control the performance of these algorithms are presented.

gradient operator，evaluation function，mathematical principles，auto focus，MATLAB

TP391.41，TP242

2016-08-30；

2016-09-28.

潘雪娟（1990-）女，碩士研究生，研究方向為圖像處理，E-mail：1531796807@qq.com。

朱尤攀（1978-）男，研究員級高級工程師，博士研究生，研究方向為光電成像系統(tǒng)，E-mail：zhuypbit@aliyun.com。

A

1001-8891(2016)06-0960-08