【摘要】本文提出在極值教學(xué)中運(yùn)用發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，在教師的引導(dǎo)下，使學(xué)生自覺(jué)地、主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)探索知識(shí)，并得到解決問(wèn)題的方法及步驟。有利于學(xué)生獲得發(fā)現(xiàn)問(wèn)題進(jìn)而提高解決問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】發(fā)現(xiàn)教學(xué)法 極值 高等數(shù)學(xué)

【基金項(xiàng)目】東華理工大學(xué)校級(jí)教改課題——《線性代數(shù)》在實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)的改革研究（1310100027）。

【中圖分類(lèi)號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）02-0143-01

發(fā)現(xiàn)教學(xué)法是在學(xué)習(xí)過(guò)程中不將學(xué)習(xí)內(nèi)容直接提供給學(xué)生，而是向?qū)W生提供問(wèn)題和實(shí)例，讓學(xué)生積極思考，自行發(fā)現(xiàn)并掌握知識(shí)的一種方法[1]。當(dāng)今國(guó)內(nèi)高等教育處于普及型教育、素質(zhì)教育的時(shí)期，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)顯得尤為重要，這就要求教師在教學(xué)上就不能直接給學(xué)生灌輸知識(shí)點(diǎn)，而是應(yīng)該讓學(xué)生變被動(dòng)為主動(dòng)，讓學(xué)生參與思考，對(duì)知識(shí)感興趣，提高學(xué)習(xí)能力[2-3]。《高等數(shù)學(xué)》是我國(guó)大學(xué)生的重要基礎(chǔ)課之一，是學(xué)生踏入大學(xué)校園就開(kāi)始接觸的課程，因此在高等數(shù)學(xué)中就引導(dǎo)學(xué)生自己獨(dú)立思考、自我學(xué)習(xí)可以為以后的學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)。高等數(shù)學(xué)內(nèi)容豐富，公式定理多，邏輯嚴(yán)密且具有一定的抽象性，學(xué)生較難掌握，容易厭學(xué)，這對(duì)教學(xué)方式提出了很高的要求，這時(shí)將發(fā)現(xiàn)教學(xué)法引入教學(xué)中就很有優(yōu)勢(shì)。本文主要討論極值教學(xué)中如何實(shí)施發(fā)現(xiàn)教學(xué)法。

1.引入觀察

高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常對(duì)函數(shù)的局部性質(zhì)進(jìn)行討論，比如某點(diǎn)處的極限、單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間等等。由此引出最大值最小值概念也可以在某鄰域內(nèi)討論，并給出圖1讓學(xué)生觀察。引導(dǎo)學(xué)生觀察在x1的某鄰域內(nèi)，x1處取到最小值，同理觀察到在x2的某鄰域內(nèi)函數(shù)取到最大值，學(xué)生自然會(huì)發(fā)現(xiàn)在x4，x5，x6，處有同樣的性質(zhì)，對(duì)這種性質(zhì)我們引入極值概念：

定義[4] 設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有定義x0∈（a，b），如果在x0的某一區(qū)間鄰域內(nèi)有

f（x）f（x0）），

則稱(chēng)f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值（極小值）。

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)。

2.發(fā)現(xiàn)探索

在圖中學(xué)生可以自己觀察到除x4，x7外，其余點(diǎn)處均可導(dǎo)，則可分可導(dǎo)點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)兩類(lèi)對(duì)極值點(diǎn)進(jìn)行討論。

第一類(lèi)可導(dǎo)點(diǎn)處x1，x2，x5，x6取到極值且容易觀察這些點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零，由此引入費(fèi)馬引理：

引理[4] 設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，那么這函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)為零 即f'（x0）=0。

費(fèi)馬引理說(shuō)的是可導(dǎo)函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)，可直觀的用集合表示：

可導(dǎo)點(diǎn)處{極值點(diǎn)}？奐{駐點(diǎn)}

再引導(dǎo)學(xué)生觀察圖1可知駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn)（例如x3）。

第二類(lèi)不可導(dǎo)點(diǎn)x4為極值點(diǎn)，x7不是極值點(diǎn)，集合表示：

不可導(dǎo)點(diǎn)處{極值點(diǎn)}？奐{不可導(dǎo)點(diǎn)}

總結(jié)第一類(lèi)和第二類(lèi)點(diǎn)可得：

{極值點(diǎn)}？奐{駐點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)}，

但反之不一定包含。那如何確定駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)是否是極值點(diǎn)呢？再次切入圖1中x1，x2，x4，x5，x6這些極值點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察左右兩端函數(shù)的單調(diào)性，可以發(fā)現(xiàn)左右兩端單調(diào)性不一致，自然得到判定極值的充分條件：

定理[4] 設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，在x0的左右鄰域內(nèi)可導(dǎo)

（1）如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f'（x）>0，在x0的某一右鄰域內(nèi)f'（x）<0那么函數(shù)f（x）在x0處取得極大值；

（2）如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f'（x）<0，在x0的某一右鄰域內(nèi)f'（x）>0，那么函數(shù)在處取得極小值；

（3）如果在x0的某一鄰域內(nèi)f'（x）不改變符號(hào)，那么函數(shù)f（x）在x0處沒(méi)有極值。

3.總結(jié)結(jié)論

有上述發(fā)現(xiàn)探索式講解可得判定函數(shù)極值點(diǎn)和極值的步驟：

（1）求出導(dǎo)數(shù)f'（x）；

（2）求出f（x）的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；

（3）通過(guò)上述定理確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值。

經(jīng)過(guò)以上學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)中學(xué)習(xí)知識(shí)，使他們獲得學(xué)習(xí)的成就感，并對(duì)極值內(nèi)容有深刻印象。

進(jìn)一步還可通過(guò)圖1和文中集合表示法讓學(xué)生思考最大值最小值的判別思路，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]布魯納.布魯納教育論著選[M].北京：人民教育出版社，1991.

[2]喻孜，劉寧寧.發(fā)現(xiàn)教學(xué)法在大學(xué)物理課堂中的運(yùn)用[J].內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，16（5）：169-170.

[3]肖俊.發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法在中值定理教學(xué)中的應(yīng)用[J].高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，25（2）：19-20.

[4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

作者簡(jiǎn)介：

樊繼秋（1985—），男，江蘇贛榆人，講師，碩士，主要從事代數(shù)學(xué)的研究。