盧春閣，王林山

(中國海洋大學數(shù)學科學學院，山東 青島 266100)

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具有Leakage變時滯的脈沖反應擴散神經(jīng)網(wǎng)絡的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性?

盧春閣，王林山

(中國海洋大學數(shù)學科學學院，山東 青島 266100)

摘要：研究一類具有Leakage變時滯和不確定參數(shù)的脈沖反應擴散神經(jīng)網(wǎng)絡的平衡點的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性。所研究模型中的Leakage時滯為變時滯，脈沖既與神經(jīng)元當前狀態(tài)有關(guān)，又與Leakage時滯和傳輸時滯所產(chǎn)生的歷史狀態(tài)有關(guān)。利用Lyapunov函數(shù)、Razumikhin技巧和線性矩陣不等式(LMI)方法獲得了系統(tǒng)魯棒指數(shù)穩(wěn)定的新的判別條件。最后給出一個實例說明結(jié)果的有效性和實用性。

關(guān)鍵詞：反應擴散神經(jīng)網(wǎng)絡; Leakage時滯； 脈沖； 穩(wěn)定性

LU Chun-Ge， WANG Lin-Shan. Robust exponential stability of impulsive reaction-diffusion neural networks with leakage time-varying delay[J]. Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(2): 146-150.

在神經(jīng)網(wǎng)絡信號傳遞和信息處理中時滯效應難以避免，且時滯可能導致網(wǎng)絡振蕩、失穩(wěn)甚至混沌[1]。 特別的，在實際問題中，時滯可能會存在于泄漏項(Leakage項)中。Leakage時滯的研究正引起越來越多學者的興趣[2-5]。在現(xiàn)有文獻中，研究的Leakage時滯通常是常時滯，所采用的方法多為模型變換方法。有關(guān)Leakage變時滯的研究鮮見報導[4-5]。因此研究具有Leakage變時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性是非常必要的。

另一方面，神經(jīng)網(wǎng)絡常受到脈沖的影響——由切換現(xiàn)象、突然的噪聲等引起的瞬間突變，改變神經(jīng)網(wǎng)絡的動力行為，因此研究脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡是必要的[6-8]。另外，當電子在一個非均勻的電磁場中運行時，擴散現(xiàn)象不可避免[9-10]。因此本文利用Lyapunov函數(shù)、Razumikhin技巧和LMI方法研究一類具有Leakage變時滯和不確定參數(shù)的脈沖反應擴散神經(jīng)網(wǎng)絡的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性。

1模型描述和預備知識

考慮如下脈沖反應擴散神經(jīng)網(wǎng)絡:

(1)

(A1)假設(shè)激活函數(shù)fj(v)連續(xù)有界,且對任意ζ1,ζ2∈R,ζ1≠ζ2,

其中l(wèi)j,Lj是可正、可負或為零的已知常數(shù)。

其中G1k(tk)∈Rn×n，i=1，2，3，k∈Rn×n。

(A3) 假設(shè)不確定參數(shù)表示為:

A(t)=A+ΔA(t),B(t)=B+ΔB(t),

C(t)=C+ΔC(t),Gik(t)=Gik+ΔGik(t),i=1,2,3,k∈N,

其中A,B,C和Gik為已知常數(shù)矩陣，ΔA(t),ΔB(t), ΔC(t)和ΔGik(t)為未知矩陣，表示系統(tǒng)中的參數(shù)不確定，且滿足

[ΔC(t)ΔA(t)ΔB(t)]=E1F1(t)[M1M2M3],

[ΔG1k(t)ΔG2k(t)ΔG3k(t)]=E2F2(t)[U1U2U3],

定義1系統(tǒng)(1)的平衡點u*稱為魯棒指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在標量γ>0，δ>0，使得對κ>0，φ(t,x)∈PCb([-ρ,0]×X;Rn)，當‖φ‖≤δ時，

‖u(t,x)-u*‖2<κe-γ(t-t0),t≥t0。

令y(t,x)=u(t,x)-u*, 則系統(tǒng)(1)改寫為

(2)

其中g(shù)(y(t,x))=f(u)-f(u*),φ(s,x)=φ(s,x)-u*。

顯然，系統(tǒng)(1)的平衡點u*為魯棒指數(shù)穩(wěn)定的與系統(tǒng)(2)的零解為魯棒指數(shù)穩(wěn)定的是等價的。

引理1[11]給定矩陣D,E和F滿足FTF≤I, 標量ε>0, 則

DFE+ETFTDT≤εDDT+ε-1ETE。

引理2[9]設(shè)u(t,x)是系統(tǒng)(1)的解, 則

其中E=(1,1,…,1)T。

2主要結(jié)論

(3)

(4)

其中

則系統(tǒng)(2)的零解是魯棒指數(shù)穩(wěn)定的。

證明由式(4)成立，存在充分小的常數(shù)η>0,h>0,滿足

μ1+μ2e2ητ+μ3e2ησ<1,h<1-μ1-μ2e2ητ-μ3e2ησ,使得

(5)

令

則λ>0,q>1,eλΔmax

定義Lyapunov函數(shù)

V(t,y(t,x))=∫Xe2η tyT(t,x)Py(t,x)dx。

由條件(3), Schur補引理[12]及引理 1, 得到

-Π1+Π2<0,

其中

于是當t=tk時,

V(t)=∫Xe2η tyT(t,x)Py(t,x)dx=

(6)

當t≠tk時,

∫X2e2η tyT(t,x)P[-C(t)y(t-σ(t),x)+A(t)g(y(t,x))+B(t)g(y(t-τ(t),x))]dx。

(7)

由格林公式和引理2, 有

-2e2η t∫XD·P(▽y°▽y)Edx≤0。

(8)

由假設(shè)(A1), 對于對角陣W1>0,W2>0，下列不等式成立:

∫Xe2η t[g(y(t,x))W1g(y(t,x))-

2yT(t,x)W1K1g(y(t,x))+

yT(t,x)W1K2y(t,x)]dx≤0。

(9)

∫Xe2η t[g(y(t-τ(t),x))W2g(y(t-τ(t),x)) -2yT(t-τ(t),x)W2K1g(y(t-τ(t),x))+

yT(t-τ(t),x)W2K2y(t-τ(t),x)]dx≤0。

(10)

令

W(t)=D+V(t)+α(qV(t)-V(t-τ(t)))+

β(qV(t)-V(t-σ(t)))-λV(t),

設(shè)

ξT(t,x)=(yT(t,x),yT(t-τ(t),x),yT(t-σ(t),x),

gT(y(t,x)),gT(y(t-τ(t),x)))。

聯(lián)立(7)～(10), 則

W(t)≤∫Xe2η tξT(t,x)Ψξ(t,x)dx,

其中

Ψ=

Γ11=2ηP+αqP+βqP-W1K2-λP,Γ22=

-αe-2ηTP-W2K2。

由條件(5),Schur補引理[12]及引理 1, 可得Ψ<0。 因此W(t)<0, 于是

D+V(t)+α(qV(t)-V(t-τ(t)))+β(qV(t)-V(t-

σ(t)))<λV(t),t≠tk。

(11)

令λ1=λmax(P),λ0=λmin(P)。 對任意ε>0,存在δ>0，使得qλ1δ2<λ0ε2。

下證當‖φ‖<δ時,

V(t)<λ0ε2,t≥t0-ρ。

(12)

首先當t∈[t0-ρ,t0]時,

V(t)=∫Xe2η tyT(t,x)Py(t,x)dx≤

下證

V(t)<λ0ε2,t∈[t0,t1)。

(13)

即

D+V(t)

β[qV(t)-V(t-σ(t))]<λV(t),

從而

矛盾。所以(12)成立。

假設(shè)存在m∈N,V(t)<λ0ε2,t∈[t0-ρ,tm),下證

V(t)<λ0ε2,t∈[tm,tm+1)。

(14)

由(6),知

(15)

假設(shè)(14)不成立，則存在t*=inf{t∈(tm,tm+1):V(t)≥λ0ε2},V(t*)=λ0ε2。

‖y(t,x)‖2<εe-η t。

證畢。

注1定理1表明即使非脈沖系統(tǒng)本身不穩(wěn)定,當選擇合適的脈沖控制時,可以使系統(tǒng)魯棒指數(shù)穩(wěn)定。

注2文獻[3]研究了具有Leakage時滯的脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性，但模型沒有考慮參數(shù)不確定性和反應擴散的影響，且Leakage時滯為常時滯。因此，本文結(jié)論有更廣泛的應用。

注3如果不考慮反應擴散和Leakage時滯，即

D=0,σ(t)=0,G3k(t)=0,k∈N,t≥0,

則系統(tǒng)(1)是文獻[6-7]研究的模型。

3例子

考慮系統(tǒng)(1)滿足條件(A1)～(A3)的具有Leakage時滯的反應擴散神經(jīng)網(wǎng)絡, 其中

|x-1|,τ(t)=sint,σ(t)=cost, M1=M2=M3=0.1I, G1k=G2k=G3k=0.1I,k∈N, U1=U2=U3=0.1I, E1=E2=0.1I. 易知K1=I,K2=0. 取μ1=0.05,μ2=0.1,μ3=0.1,α=β=0.5, 則當tk-tk-1≤Δmax=0.01時，執(zhí)行Matlab中的LMI工具箱，得到可行解：

由定理 1，系統(tǒng)(1)的平衡點 (0,0)T魯棒指數(shù)穩(wěn)定。

4結(jié)語

本文運用Lyapunov函數(shù)、Razumikhin技巧和LMI方法給出了保證反應擴散神經(jīng)網(wǎng)絡在脈沖擾動下平衡點魯棒指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。所得判定條件以線性矩陣不等式形式給出，能夠有效利用MATLAB中的LMI工具箱求其可行解。最后給出實例說明本文結(jié)論的有效性。

參考文獻：

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WangLS.RecurrentNeuralNetworkswithDelays[M].Beijing：SciencePress, 2008.

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AMS Subject Classification：93D09

責任編輯陳呈超

Robust Exponential Stability of Impulsive Reaction-Diffusion Neural Networks with Leakage Time-Varying Delay

LU Chun-Ge， WANG Lin-Shan

(School of Mathematical Science, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

Abstract:Leakage delay, which exist in the negative feedback terms (known as forgetting or leakage terms) of the system, has great impact on the dynamical behavior of neural networks. It is of practical and theoretical importance to study the stability problem of impulsive neural networks with delays in the leakage term. This paper investigates the robust exponential stability of the equilibrium point of uncertain reaction-diffusion neural networks with time-varying delay in the leakage term under impulsive perturbations. The leakage delay of the system is time varying which has been rarely considered in the literature. Moreover, the encountered instantaneous perturbations depend on not only the current state of neurons at impulse times, but also the state of neurons in the history caused by leakage delay and transmission time delay. Different from model transformation technique, by using Lyapunov functions and Razumikhin techniques, some new robust exponential stability criteria are derived. The stability criterion is given in terms of a linear matrix inequality (LMI), which can be efficiently solved via LMI control toolbox in MATLAB. A numerical example is provided to illustrate the efficiency of the results at the end.

Key words:reaction-diffusion neural networks；leakage time delay；impulses；stability

DOI：10.16441/j.cnki.hdxb.20140152

中圖法分類號：O175

文獻標志碼：A

文章編號：1672-5174(2016)02-146-05

作者簡介：盧春閣(1976-)，女，講師。E-mail:chglu@126.com

收稿日期：2014-04-01；

修訂日期：2014-11-02

基金項目：?國家自然科學基金項目(11171374)；山東省自然科學基金重點項目(ZR2011AZ001)資助

引用格式：盧春閣，王林山. 具有Leakage變時滯的脈沖反應擴散神經(jīng)網(wǎng)絡的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性[J]. 中國海洋大學學報(自然科學版)， 2016, 46(2)： 146-150.

Supported by National Science Foundation of China (11171374); Key National Science Foundation of Shandong Province (ZR2011AZ001)