李 靜，龐 巖，馮咬齊，劉 磊

（1. 大連理工大學(xué) 航空航天學(xué)院，大連 116024；2. 北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094；3. 西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072）

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柔性航天器姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)微振動(dòng)集中隔離與分散隔離對(duì)比研究

李 靜1，龐 巖1，馮咬齊2，劉 磊3

（1. 大連理工大學(xué) 航空航天學(xué)院，大連 116024；2. 北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094；3. 西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072）

摘要：姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)高速旋轉(zhuǎn)誘發(fā)的微振動(dòng)會(huì)降低柔性航天器姿態(tài)穩(wěn)定度。為實(shí)現(xiàn)高穩(wěn)指向，文章研究了姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)的集中隔振與分散隔振技術(shù)。首先建立包含隔振器的柔性航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型；然后仿真研究航天器在作大角度機(jī)動(dòng)和穩(wěn)定控制兩種工況下，姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)的兩種隔振方案的性能，并進(jìn)行了對(duì)比分析。研究結(jié)果表明：航天器進(jìn)行大角度機(jī)動(dòng)時(shí)，對(duì)于高剛度隔振器，兩種隔振均具有穩(wěn)定性，并且指向控制性能相似；對(duì)于低剛度隔振器，集中隔振較分散隔振容易失穩(wěn)；在穩(wěn)定控制工況下，對(duì)于高剛度隔振器和低剛度隔振器，兩種隔振性能基本一致。

關(guān)鍵詞：姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)；集中隔振；分散隔振；姿態(tài)穩(wěn)定度

0 引言

隨著用戶需求的發(fā)展，高分辨率光學(xué)衛(wèi)星的技術(shù)指標(biāo)越來越高，指向精度和穩(wěn)定度要求達(dá)到角秒以上（1″=5μrad）。比如：JWST空間望遠(yuǎn)鏡的光軸抖振要求低于10nrad[1]，空間干涉儀之間的相對(duì)位置測(cè)量精度要求達(dá)到10nm[2-4]，高分辨率地球觀測(cè)衛(wèi)星和星間激光通信要求指向精度和穩(wěn)定度達(dá)到1μrad級(jí)[5-6]。而姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)（如控制力矩陀螺、反作用飛輪等）誘發(fā)的各種微振動(dòng)會(huì)降低航天器的指向精度和穩(wěn)定度[7]。以GOES衛(wèi)星為例，太陽(yáng)電池陣步進(jìn)電機(jī)產(chǎn)生的姿態(tài)抖振為2.8″，反作用飛輪產(chǎn)生的姿態(tài)抖振為2.4″，相機(jī)掃描成像產(chǎn)生的姿態(tài)抖振為5″，姿態(tài)抖振頻帶為0.2～160Hz，指向顫振極大地影響了成像分辨率和清晰度[8-9]。

隨著敏感有效載荷對(duì)衛(wèi)星指向精度和穩(wěn)定度要求越來越高，迫切需要對(duì)姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)行微振動(dòng)隔離抑制[10]。美國(guó)Hubble空間望遠(yuǎn)鏡的每個(gè)姿態(tài)控制飛輪都安裝有被動(dòng)隔振裝置以減小飛輪抖振對(duì)成像質(zhì)量的影響[11]。以JWST為代表的下一代空間望遠(yuǎn)鏡采用飛輪與有效載荷的兩級(jí)隔振方案以減小飛輪振動(dòng)對(duì)望遠(yuǎn)鏡成像的影響[12]。

大型、多功能柔性航天器往往具有多組、多類型姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)，如靜止軌道觀測(cè)衛(wèi)星可能同時(shí)需要反作用飛輪系統(tǒng)與控制力矩陀螺系統(tǒng)。對(duì)該類型姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)的隔振設(shè)計(jì)主要有集中隔振與分散隔振兩種方案。

本文以柔性航天器的高穩(wěn)定度指向控制為目標(biāo)，對(duì)比研究姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)的集中隔振與分散隔振性能，并為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的隔振器設(shè)計(jì)提供技術(shù)支持。

1 集中隔振和分散隔振概念

集中隔振是將所有姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝在一個(gè)大型隔振平臺(tái)上，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，占用空間小。如圖1所示，隔振平臺(tái)上安裝有3個(gè)正交的高速轉(zhuǎn)動(dòng)姿控機(jī)構(gòu)（如飛輪系統(tǒng)），可分別提供沿x、y、z軸的控制力矩，由此，各執(zhí)行機(jī)構(gòu)相互耦合，可能影響柔性航天器指向控制性能。

圖1　執(zhí)行機(jī)構(gòu)集中隔振方案Fig. 1 Concentrated vibration isolation for attitude control actuator

分散隔振是把每個(gè)姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)分別安裝在不同的隔振平臺(tái)上，因而需對(duì)每一組或每一個(gè)隔振器分別進(jìn)行設(shè)計(jì)。包含1個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的隔振器如圖2所示。雖然隔振器較為分散，但是各執(zhí)行機(jī)構(gòu)之間耦合較弱，對(duì)柔性衛(wèi)星指向控制性能影響較小。

本文為了對(duì)比方便，在仿真時(shí)假定集中隔振和分散隔振的隔振器具有相同的參數(shù)。

2 包含隔振器的柔性航天器動(dòng)力學(xué)建模

2.1隔振器動(dòng)力學(xué)模型

首先建立六自由度隔振平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型，六自由度平臺(tái)又叫Stewart平臺(tái)[13]，如圖3所示。

圖3　六自由度平臺(tái)示意圖Fig. 3 Schematic diagram of six-DOF platform

圖中{D}、{U}分別表示基座坐標(biāo)系和上平臺(tái)坐標(biāo)系?；\(yùn)動(dòng)變化率小，因此本文將基座坐標(biāo)系視為慣性系。Ai點(diǎn)表示支腿i的上鉸點(diǎn)，其位置矢量和速度矢量分別為

式中：pi為支腿上鉸點(diǎn)Ai在上平臺(tái)坐標(biāo)系中的位置矢量；t為上平臺(tái)質(zhì)心在基座坐標(biāo)系中的位置矢量；為上平臺(tái)旋轉(zhuǎn)角速度。

將vi沿支腿方向投影可得支腿的伸長(zhǎng)速度為

式中Si為支腿i的方向單位矢量。

式(3)可變換為矩陣形式，則有

將六支腿方程并聯(lián)后，可得

雅可比矩陣是聯(lián)系支腿長(zhǎng)度和上平臺(tái)廣義坐標(biāo)的一個(gè)重要變量，確定了上平臺(tái)的位置和姿態(tài)，就可通過雅可比矩陣求解出各支腿長(zhǎng)度，進(jìn)而求得各支腿作用力。

2.2柔性航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

考慮帶有太陽(yáng)電池陣的航天器的姿態(tài)控制時(shí)，須將航天器視作一帶有撓性附件的中心剛體。工程實(shí)踐上，可基于拉格朗日法推導(dǎo)出以混合坐標(biāo)描述的帶單個(gè)撓性附件的衛(wèi)星的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程和柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程[14]，即

式中：I是整星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ω是衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)角速度矢量；η為撓性附件模態(tài)坐標(biāo)，取n階模態(tài)，δ為撓性附件的撓性振動(dòng)與星體轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合矩陣，；Tu為作用在星體上的控制力矩；Td為干擾力矩；C為撓性附件阻尼陣，C=diag(2ξiσi)，i=1,2,…,n，其中σi為撓性附件第i階模態(tài)的固有頻率，ξi為對(duì)應(yīng)的阻尼；K是撓性附件剛度陣，K=diag(σi2)，i=1,2,…,n。對(duì)于有多個(gè)撓性附件的航天器的動(dòng)力學(xué)方程，只需在轉(zhuǎn)動(dòng)方程中加入對(duì)應(yīng)的耦合項(xiàng)即可。

2.3姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)高頻振動(dòng)干擾模型

姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)的擾動(dòng)力矩主要是由運(yùn)動(dòng)部件動(dòng)量不平衡引起的，而動(dòng)量不平衡是由于動(dòng)量輪質(zhì)量分布不均導(dǎo)致慣量積不為0所致。以x軸安裝的執(zhí)行機(jī)構(gòu)為例，由此產(chǎn)生的y、z方向的誤差力矩可分別表示為[15]

式中：μ為姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動(dòng)不平衡因子；?為姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。本文仿真時(shí)以典型控制力矩陀螺作為航天器的姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)，并采用其微振動(dòng)參數(shù)。

2.4柔性航天器隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

圖4所示為一體化柔性航天器的動(dòng)力學(xué)模型，主要包含了執(zhí)行機(jī)構(gòu)及隔振平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型、航天器本體模型和太陽(yáng)電池陣耦合振動(dòng)模型，并考慮了執(zhí)行機(jī)構(gòu)干擾力矩、隨機(jī)擾動(dòng)以及姿態(tài)傳感器測(cè)量噪聲對(duì)星體的影響。本文對(duì)航天器的姿態(tài)控制采用PD控制器，圖4中r表示期望的姿態(tài)角，n表示姿態(tài)傳感器測(cè)量噪聲，整個(gè)系統(tǒng)是一個(gè)閉環(huán)負(fù)反饋系統(tǒng)。在仿真中將執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型等效為一階慣性環(huán)節(jié)，其時(shí)間常數(shù)T=0.1。

圖4　整器一體化閉環(huán)動(dòng)力學(xué)模型Fig. 4 The closed-loop attitude dynamics model of the flexible spacecraft containing vibration isolators

本文后面將詳細(xì)給出航天器做大角度機(jī)動(dòng)以及其在干擾力矩作用下的姿態(tài)穩(wěn)定度的仿真結(jié)果，并對(duì)比分析集中隔振和分散隔振在這兩種工況下的特點(diǎn)。在仿真過程中，采用的航天器和隔振平臺(tái)參數(shù)如下：

1） 航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

2）隔振器上平臺(tái)質(zhì)量mu=20kg，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iu=diag(6.6 6.6 13.2)（kg·m2）。

3）6支桿的上平臺(tái)鉸點(diǎn)坐標(biāo)為

基座鉸點(diǎn)坐標(biāo)為

5）太陽(yáng)電池陣的前5階固有頻率為0.1、0.4、0.6、1.0、2.1Hz，其耦合系數(shù)矩陣[16]為

6）控制力矩陀螺的動(dòng)不平衡因子μ=5× 10-6kg·m2，最大輸出力矩為10N·m，初始轉(zhuǎn)速?= 614r/min，對(duì)應(yīng)干擾力矩頻率約為100Hz。

3 柔性航天器大角度機(jī)動(dòng)仿真

本節(jié)按照?qǐng)D4所示的柔性航天器一體化閉環(huán)動(dòng)力學(xué)模型研究柔性大角度機(jī)動(dòng)。仿真時(shí)取航天器初始姿態(tài)角度四元數(shù)矢量為[0.1736; -0.5264; -0.2632; 0.7896]，對(duì)應(yīng)的歐拉轉(zhuǎn)角為θ= 2arccos0.1736=160°，期望姿態(tài)角r=0，PD控制器參數(shù)為KP=0.04I，KD=-0.566I。

3.1高頻隔振器閉環(huán)仿真

高頻隔振器的剛度大，每條支腿的剛度k= 100000N/m，阻尼c=790N/(m?s-1)，對(duì)應(yīng)隔振器基頻為10Hz，采用PD閉環(huán)控制的仿真結(jié)果見圖5和圖6。圖中分別給出了集中隔振和分散隔振下柔性航天器本體進(jìn)行PD反饋控制時(shí)的姿態(tài)角和角速度變化，其中3條曲線分別表示x、y、z方向的姿態(tài)變化，可以看出，集中隔振和分散隔振時(shí)的航天器角度和角速度曲線基本重合。此時(shí)，兩種方案都能使航天器的姿態(tài)角和角速度收斂到0附近，保證了柔性航天器閉環(huán)穩(wěn)定性。

圖5　高頻隔振航天器姿態(tài)角變化Fig. 5 The attitude angle variations of spacecraft with high-frequency isolator

圖6　高頻隔振航天器姿態(tài)角速度變化Fig. 6 The attitude angle velocity variations of spacecraft with high-frequency isolator

3.2低頻隔振器閉環(huán)仿真

高剛度隔振器通常能夠滿足機(jī)動(dòng)要求，但隔振穩(wěn)態(tài)性能不足。而為了提高隔振性能，會(huì)采用降低隔振器剛度的方法，比如Hubble空間望遠(yuǎn)鏡執(zhí)行機(jī)構(gòu)的隔振器基頻小于0.5Hz。本節(jié)中取隔振器支腿參數(shù)為k=15N/m，c=9.68N/(m?s-1)，對(duì)應(yīng)隔振器基頻約為0.15Hz。

圖7和圖8分別表示對(duì)姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)行集中隔振，采用圖4模型以及式(7)、式(8)仿真得到的柔性航天器本體的姿態(tài)角和角速度變化?？梢钥闯?，采用低剛度隔振器集中隔振時(shí)，控制系統(tǒng)失穩(wěn)，航天器姿態(tài)角速度和角加速度不能收斂到穩(wěn)態(tài)值。

圖7　低剛度隔振器集中隔振時(shí)航天器姿態(tài)角變化Fig. 7 The attitude angle variations of spacecraft with concentrated vibration isolation using low-stiffness isolator

圖8　低剛度隔振器集中隔振時(shí)航天器姿態(tài)角速度變化Fig. 8 The attitude angle velocity variations of spacecraft with concentrated vibration isolation using lowstiffness isolator

圖9和圖10分別表示對(duì)姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)行分散隔振，采用圖4模型仿真得到的柔性航天器本體的姿態(tài)角和角速度變化?？梢钥闯?，采用分散隔振時(shí)，航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)穩(wěn)定，姿態(tài)角和角速度此時(shí)能夠收斂到穩(wěn)態(tài)值，仍然可以實(shí)現(xiàn)大角度機(jī)動(dòng)功能。

圖9　低剛度隔振器分散隔振時(shí)航天器姿態(tài)角變化Fig. 9 The attitude angle variations of spacecraft with distributed vibration isolation using low-stiffness isolator

圖10　低剛度隔振器分散隔振時(shí)航天器姿態(tài)角速度變化Fig. 10 The attitude angle velocity variations of spacecraft with distributed vibration isolation using lowstiffness isolator

圖11和圖12分別給出了航天器作大角度機(jī)動(dòng)過程中集中隔振平臺(tái)的三軸角度變化和沿x、y、z三軸安裝的分散隔振平臺(tái)在各自安裝方向上的角度變化。從圖11可以看出，在低剛度條件下，航天器進(jìn)行大角度機(jī)動(dòng)時(shí)集中隔振的執(zhí)行機(jī)構(gòu)傾角很大，而且由于各執(zhí)行機(jī)構(gòu)耦合嚴(yán)重，平臺(tái)變化十分劇烈，執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制力矩的傳遞受到很大影響，導(dǎo)致航天器控制失穩(wěn)。從圖12可以看出，分散隔振時(shí)，每個(gè)隔振平臺(tái)安裝傾角只在各自安裝方向上有較大變化，各執(zhí)行機(jī)構(gòu)耦合較弱，平臺(tái)變化相對(duì)平穩(wěn)，航天器最終仍可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制。

圖11　集中隔振姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝平臺(tái)角度變化Fig. 11 The angle variations of the attitude control actuator installation platform with concentrated vibration isolation

圖12　分散隔振姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝平臺(tái)角度變化Fig. 12 The angle variations of the attitude control actuator installation platform with distributed vibration isolation

4 柔性航天器穩(wěn)定控制時(shí)的姿態(tài)穩(wěn)定度仿真

根據(jù)圖4模型，研究在干擾力矩作用下星體的姿態(tài)穩(wěn)定度。圖13表示不考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)隔振，采用與第3章相同的PD控制的柔性航天器的姿態(tài)穩(wěn)定度仿真結(jié)果?？梢钥闯?，航天器姿態(tài)抖動(dòng)較為突出，姿態(tài)穩(wěn)定度不滿足指標(biāo)要求。

圖13　無隔振時(shí)航天器姿態(tài)穩(wěn)定度Fig. 13 Attitude stability of spacecraft without vibration isolator

考慮第3章中低頻隔振器，取隔振器支腿參數(shù)為k=15N/m，c=9.68N/(m?s-1)，對(duì)應(yīng)基頻為0.15 Hz，執(zhí)行機(jī)構(gòu)誘發(fā)如式(7)和式(8)的微振動(dòng)，圖14所示為集中隔振和分散隔振時(shí)柔性航天器姿態(tài)穩(wěn)定度仿真結(jié)果?？梢钥闯?，集中隔振和分散隔振的仿真曲線接近，它們均具有良好穩(wěn)定結(jié)果。與不加隔振器的仿真結(jié)果相比，加入隔振器后航天器穩(wěn)定度提高，由于隔振器基頻低，對(duì)高頻干擾力矩的衰減十分明顯。表1給出了加入隔振器前后的航天器姿態(tài)穩(wěn)定度對(duì)比。

圖14　低頻隔振時(shí)航天器姿態(tài)穩(wěn)定度Fig. 14 Attitude stability of spacecraft with low-frequency isolator

表1　隔振前后姿態(tài)穩(wěn)定度對(duì)比Table 1 Comparison of attitude stability with and without vibration isolator

5 集中隔振與分散隔振的對(duì)比

柔性航天器大角度機(jī)動(dòng)的仿真結(jié)果表明：

1）對(duì)于基頻大的高剛度隔振平臺(tái)，集中隔振和分散隔振性能基本一致，這是因?yàn)槠脚_(tái)剛度大，變形量小，所以兩種隔振方案的控制力矩傳遞誤差都不受影響；

2）對(duì)于基頻小的低剛度隔振平臺(tái)，剛度小，變形量大，集中隔振時(shí)各軸耦合突出，會(huì)導(dǎo)致控制失穩(wěn)，而分散隔振不失穩(wěn)。這是因?yàn)樵诤教炱髯龃蠼嵌葯C(jī)動(dòng)時(shí)，需要的執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制力矩大，隔振平臺(tái)的變形量相對(duì)分散隔振更大、更復(fù)雜，控制力矩傳遞受到的影響更大，嚴(yán)重時(shí)就會(huì)導(dǎo)致衛(wèi)星控制失穩(wěn)。但由于篇幅所限，姿控失穩(wěn)的數(shù)學(xué)原理將在以后文章中分析。

柔性航天器姿態(tài)穩(wěn)定控制仿真結(jié)果表明：執(zhí)行機(jī)構(gòu)的集中隔振和分散隔振表現(xiàn)出相似性能，均滿足高穩(wěn)定指向要求；當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)隔振器平臺(tái)剛度低、基頻小時(shí)，集中隔振仍然沒有失穩(wěn)。這是因?yàn)楹教炱髟谧藨B(tài)保持時(shí)，執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制力矩非常小，即使平臺(tái)剛度很小，平臺(tái)的變形量也不會(huì)太大，各姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)耦合較弱，此時(shí)集中隔振和分散隔振性能相近，均能滿足要求。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文建立了包含六自由度隔振器的柔性航天器一體化動(dòng)力學(xué)模型，分別仿真了在航天器作大角度機(jī)動(dòng)和穩(wěn)定控制兩種工況下，姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)的集中隔振和分散隔振兩種方案的隔振性能，并進(jìn)行了對(duì)比分析。在進(jìn)行大角度機(jī)動(dòng)時(shí)，對(duì)于高剛度隔振平臺(tái)，兩種隔振均具有穩(wěn)定性，并且指向控制性能相似，但隔振性能不足；對(duì)姿控機(jī)構(gòu)采用低剛度集中隔振容易導(dǎo)致航天器失穩(wěn)，而分散隔振可以保持姿控穩(wěn)定性。而在航天器穩(wěn)定控制時(shí)（主要是穩(wěn)定度保持），兩種隔振性能基本一致，在低剛度平臺(tái)下，集中隔振也不會(huì)失穩(wěn)，相對(duì)無隔振情況，兩種隔振可提高姿態(tài)穩(wěn)定度87%以上。

因此，對(duì)于需要做大角度機(jī)動(dòng)并且姿態(tài)穩(wěn)定度要求高的柔性航天器，建議對(duì)姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)采用分散隔振方案，采用小基頻隔振器時(shí)可以獲得很好的高頻隔振性能而不會(huì)影響做大角度機(jī)動(dòng)時(shí)的穩(wěn)定性。對(duì)于不需要做大角度機(jī)動(dòng)的柔性航天器如空間望遠(yuǎn)鏡，執(zhí)行機(jī)構(gòu)集中隔振和分散隔振均可滿足穩(wěn)定性和指向精度要求，因而可根據(jù)航天器總體設(shè)計(jì)要求進(jìn)行選擇。

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（編輯：許京媛）

Comparison of concentrated and distributed isolations of micro vibrations in flexible spacecraft attitude actuators

Li Jing1, Pang Yan1, Feng Yaoqi2, Liu Lei3
(1. School of Aeronautics and Astronautics, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China; 2. Beijing Institute of Spacecraft Environment Engineering, Beijing 100094, China; 3. School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

Abstract:The attitude stability of flexible spacecrafts is reduced because of micro vibrations resulting from rotating attitude control actuators. In this paper, the concentrated vibration isolation and the distributed vibration isolation are studied in the context of high stability pointing. At first, the attitude dynamics model for the flexible spacecraft containing vibration isolators is established. Then, the performances of the passive concentrated vibration isolation and the distributed vibration isolation for the attitude actuators are compared by using the simulation method. It is indicated that by using high-stiffness isolators, the concentrated vibration isolation has a similar performance as the distributed vibration isolation in the satellite maneuvering processes. Using the low-stiffness isolators, the concentrated vibration isolation loses stability more easily than the distributed vibration isolation. The concentrated and distributed vibration isolations have similar performances for attitude stabilizing with both the high-stiffness or the low-stiffness isolators.

Keywords:attitude control actuator; concentrated vibration isolation; distributed vibration isolation; attitude stability

作者簡(jiǎn)介：李 靜（1992—），男，碩士研究生，研究方向?yàn)轱w行器動(dòng)力學(xué)建模與控制；E-mail: 1430139867@qq.com。指導(dǎo)教師：龐 巖（1977—），女，博士學(xué)位，副教授，主要研究方向?yàn)轱w行器動(dòng)力學(xué)建模、控制與仿真，多變量非線性控制理論等；E-mail: ypang@dlut.edu.cn。劉 磊（1981—），男，博士學(xué)位，副教授，主要研究方向?yàn)槲⒄駝?dòng)與光電控制，主動(dòng)光學(xué)等；E-mail: leiliu@nwpu.edu.cn。

基金項(xiàng)目：可靠性與環(huán)境工程技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目（編號(hào)：KHZS20143003），國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（編號(hào)：11402044）

收稿日期：2015-09-14；修回日期：2016-01-10

DOI:10.3969/j.issn.1673-1379.2016.01.010

中圖分類號(hào)：V416.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1673-1379(2016)01-0058-07